二〇三中學(xué)2023年秋季開學(xué)質(zhì)量檢測高2022級數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘  總分：150分班級：             姓名：             考號：           一、單選題（每小題5分，共40分）1．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的坐標(biāo)為（        ）A．    B．    C．    D．2．體育老師記錄了班上10名同學(xué)1分鐘內(nèi)的跳繩次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116．這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（        ）A．98     B．99     C．99.5     D．1003．如圖，等腰梯形ABCD中，，點(diǎn)E為線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則（        ）A．  B．  C．  D．4．將四位數(shù)2023的各個數(shù)字打亂順序重新排列，則所組成的不同的四位數(shù)（含原來的四位數(shù)）中兩個2不相鄰的概率為（        ）A．     B．     C．     D．5．已知兩個平面，，兩條直線l，m，則下列命題正確的是（        ）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若l，m是異面直線，，，，，則6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動，已知點(diǎn)，，，則的最大值是（        ）A．2     B．4     C．6     D．7．在正四棱臺中，已知，，則側(cè)棱與底面ABCD所成角的正弦值為（        ）A．     B．     C．     D．8．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°．若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（        ）．A．    B．    C．    D．二、多選題（每小題5分，共20分，少選得2分，多選得0分）9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題，其中為真命題的是（        ）A．    B．z的虛部為1   C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．10．設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（        ）A．若，則點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)M是的重心C．若，則點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線D．若，則11．設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，若，，則下列結(jié)論中正確的是（        ）A．若，則     B．若，則A，B相互獨(dú)立C．若A與B相互獨(dú)立，則   D．若A與B相互獨(dú)立，則12．如圖，在正方體中，P為線段上的一個動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（        ）A．         B．平面平面C．存在唯一的點(diǎn)P，使得為90°   D．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時，取得最小值三、填空題（每小題5分，共20分）13．過圓錐的軸的截面是頂角為120°的等腰三角形，若圓錐的體積為，則圓錐的母線長為             ．14．在平面四邊形ABCD中，，，，若，則的面積為             ．15．三棱錐P?ABC，平面ABC，，，，（單位：cm）則三棱錐P?ABC外接球的體積等于             ．16．設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)比方差大4，則的最大值是             ．四、解答題（每小題12分，共70分）17．（共10分）已知，． （1）若，求與的夾角（2）若與的夾角為45°，求的值18．（共12分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角C的大小．（2）若，的面積為，求邊長c的值． 19．（共12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，，，，，（1）求證：直線平面SBC；（2）求證：直線平面SAB；20．（共12分）某公司為了解員工對食堂的滿意程度，對全體100名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對食堂打分，將最終得分按，，，，，分成6段，并得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這100名員工打分的眾數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)從，，這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取11個人，求這組抽取的人數(shù)．21．（共12分）如圖，在直三棱柱中，平面平面，側(cè)面是邊長為2的正方形，D，E分別是AC與的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：；22．（共12分）在路邊安裝路燈，燈柱AB與地面垂直（滿足），燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直，且，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知是固定的，路寬．設(shè)燈柱高，．（1）經(jīng)測量當(dāng)，時，路燈C發(fā)出錐形燈罩剛好覆蓋AD，求；（2）因市政規(guī)劃需要，道路AD要向右拓寬6m，求燈柱的高h（用來表示）；（3）在（2）的條件下，若燈桿BC與燈柱AB所用材料相同，記此用料長度和為S（m），求S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值。參考答案：1．B【分析】將化簡即可得出答案【詳解】∵，∴z所對應(yīng)的向量坐標(biāo)為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)數(shù)的計(jì)算及其幾何意義，較簡單．2．C【分析】根據(jù)分位數(shù)的定義即可求得答案．【詳解】這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是．3．B【分析】利用平面向量的加法和減法以及平面向量的基本定理求解．【詳解】由題可得：．故選：B．4．A【分析】運(yùn)用列舉法求古典概型的概率即可．【詳解】將2023各個數(shù)字打亂順序重新排列所組成的不同四位數(shù)（含原來的四位數(shù)）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9個，所組成的不同四位數(shù)（含原來的四位數(shù)）中兩個2不相鄰的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5個，所以所組成的不同四位數(shù)（含原來的四位數(shù)）中兩個2不相鄰的概率為．故選：A．5．D【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系一一判斷求解．【詳解】對于A，若，，則或或l與相交，A錯誤；對于B，若，，，則與可以相交或平行，B錯誤；對于C，若，，，，則與可以相交或平行，C錯誤；對于D，因?yàn)?/span>，，所以存在直線，，因?yàn)?/span>l，m是異面直線，所以l與m′相交，因?yàn)?/span>，，，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，D正確，故選：D．6．C【分析】設(shè)，再求出和，利用向量數(shù)量積可得，最后由x的最大值為1可得的最大值為6．【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．7．B【分析】根據(jù)題意，做出其截面圖，然后結(jié)合線面角的定義即可得到結(jié)果．【詳解】由題意可得正四棱臺的截面圖，如圖所示，且為等腰梯形，過點(diǎn)做，過點(diǎn)做，由線面角的定義可知，側(cè)棱與底面ABCD所成角即為，由條件可得，，，，則，，則，所以為等腰直角三角形，所以，即．故選：B．8．C【分析】根據(jù)條件算出母線長和底面半徑即可求出側(cè)面積．【詳解】如圖：其中O是底面圓心，設(shè)半徑為r，則，，∵，∴，由于SA，SB都是母線，所以，的面積，，在等腰直角三角形SAO中，，所以側(cè)面積；故選：C．9．ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解．【詳解】，故虛部為1，B對；其共軛復(fù)數(shù)為，C錯誤；，A正確；，故D正確，故選：ABD10．ACD【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，以及重心的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解．【詳解】對于A中，如圖（1）所示，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，若，可得M為BC的中點(diǎn)，所以A正確；圖（1）對于B中，若M為的重心，則滿足，即，所以B不正確；對于C中，由，可得，即，所以M，B，C三點(diǎn)共線，所以C正確；對于D中，如圖（2）所示，由，圖（2）可得，所以D正確．故選：ACD11．BD【分析】根據(jù)并事件的概率的計(jì)算公式即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件及對立事件的交事件的概率公式即可判斷BD；根據(jù)相互獨(dú)立事件的并事件的概率公式即可判斷C．【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，因?yàn)?/span>，，所以，所以A，B相互獨(dú)立，故B正確；對于C，A與B相互獨(dú)立，則，也相互獨(dú)立，則，故C錯誤；對于D，A與B相互獨(dú)立，則，也相互獨(dú)立，所以，故D正確．故選：BD．12．AB【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合空間位置關(guān)系，對選項(xiàng)逐一分析，得到正確結(jié)果．【詳解】對于A項(xiàng)，利用正方體的特征可知，，且，所以平面，可得，所以A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，因?yàn)槠矫?/span>即為平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，所以B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長為1，，，在中，在中，，當(dāng)時，，即，或，所以當(dāng)P與重合或P為的中點(diǎn)時，滿足為90°，所以滿足條件的點(diǎn)P不唯一，所以C項(xiàng)不正確；對于D項(xiàng)，將正方體的對角面進(jìn)行翻折，可得圖形如圖所示：根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間直線段最短，所以當(dāng)P為圖中的點(diǎn)時，取得最小值，顯然P不為中點(diǎn)，所以D項(xiàng)不正確；故選：AB．【點(diǎn)睛】該題以正方體為載體，考查空間線面位置關(guān)系，涉及到線線、線面和面面垂直等基礎(chǔ)知識，要注意空間與平面間的相互轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題目．13．2【分析】根據(jù)題意，求出圓錐的底面半徑和高，代入公式即可．【詳解】由題意可知，如圖圓錐的軸截面的頂角，所以在直角三角形中，，圓錐的底面半徑為，高，所以該圓錐的體積為：，解得，∴圓錐的母線長為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積，求出圓錐的底面半徑和高是解決問題的關(guān)鍵，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．14．【分析】利用余弦定理求出AC、，進(jìn)而可求得，再利用三角形的面積公式可求得的面積．【詳解】連接AC，如下圖所示：由余弦定理可得，由余弦定理可得，則為銳角，所以，，因此，．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有a、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理．15．【分析】補(bǔ)充圖形為長方體，三棱錐P-ABC的外接球，與棱長為1，1，的長方體外接球是同一個外接球，用長方體的對角線長求外接球的半徑，可得球的體積．【詳解】三棱錐P-ABC中，平面ABC，，，，畫出幾何圖形如圖所示；補(bǔ)充圖形為長方體，則棱長分別為1，1，；∵對角線長為，∴三棱錐D-ABC的外接球的半徑為1，∴該三棱錐外接球的體積為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體問題，構(gòu)建長方體是問題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【詳解】數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，所以，，即，則，因?yàn)?/span>，所以，故當(dāng)時，的最大值是．故答案為：．17．（1）；（2）1【分析】（1）直接根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)向量的模計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）由向量夾角的公式得，因?yàn)?/span>，所以（2）因?yàn)槿?/span>與的夾角為45°，所以由向量模的計(jì)算公式得：，所以．18．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得平面SAB，再用面面垂直的判定定理證平面平面SBC；（2）先利用平行四邊形證得，再利用線面平行的判定定理證平面SBC；（3）利用空間向量求二面角，先分別求得面SAD的法向量為，平面SCD的法向量，利用夾角公式即可求得．【詳解】（1）∵，∴，又，，由勾股定理知，，又，∴面ABCD，面ABCD，∴，又，即，且，∴平面SAB，又面SBC，∴平面平面SBC．（2）如圖所示，過D作，則在直角△DEC中，∵，，可得，，∴，∴四邊形ABED為矩形，∴，又平面SBC，平面SBC，∴平面SBC．【點(diǎn)睛】本題考查了證明面面垂直和線面平行，考查了線面平行的判定定理，線面垂直的判定與性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理，考查了面面角，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面的法向量，屬于中檔題．19．（1）（2）【分析】（1）先利用正弦定理邊化角，然后整理即可；（2）先利用面積公式求出a，再利用余弦定理求邊長c的值．【詳解】（1）∵∴由正弦定理得，又，∴，∴，又，∴；（2）由已知可得，∴，∴，∴．20．（1）眾數(shù)為75，中位數(shù)為71.4；（2）7人．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖即可得出答案；（2）根據(jù)頻率分布直方圖分別求出，，的人數(shù)，任何根據(jù)分層抽樣即可求出從抽取的人數(shù)．【詳解】解：（1）由題意得眾數(shù)為75，的頻率為，的頻率為，設(shè)中位數(shù)為a，，∴．（2）的人數(shù)：，的人數(shù)：，的人數(shù)：，抽樣比例為，從抽取的人數(shù)：．21．（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）證明平面，取中點(diǎn)F，只需證明；（2）要證，只需證明平面，由線面垂直的性質(zhì)及直三棱柱得證；（3）由等體積法，求出點(diǎn)C到平面BDE的距離，根據(jù)直線與平面所成角的定義求解即可．【詳解】（1）取中點(diǎn)F，連接EF、AF，則，，，，所以，，所以四邊形AFED是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面．（2）連接，∵是正方形，∴，又平面平面且交線為，平面，∴平面，又平面，∴，又∵直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，又，∴平面，又平面∴．（3）設(shè)C到平面BDE的距離為h，因?yàn)?/span>，D為AC中點(diǎn)，所以，，，，，，，，記直線CD與平面BDE所成角為，則．所以直線CD與平面BDE所成角的正弦值為．22．（1）（2）（3），S最小值為．【分析】（1）由余弦定理求出AC，則發(fā)現(xiàn)為等邊三角形可得解；（2）分別在與中由正弦定理化簡即可得解；（3）根據(jù)正弦定理分別表示各邊長及S，再根據(jù)三角函數(shù)求值域的方法可得最值．【詳解】（1）在中，當(dāng)時，，所以，由余弦定理，所以，在中，又，所以是等邊三角形，即．（2），，，在中，由正弦定理得，所以所以在中，由正弦定理得，所以，所以；（3）在中，由正弦定理得，所以，所以所以，因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)，即時，S取最小值，故S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，S最小值為．   

相關(guān)試卷

重慶市育才中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份重慶市育才中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題，共4頁。

重慶市第八中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題：

這是一份重慶市第八中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題，共28頁。

山東省泰安第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）：

這是一份山東省泰安第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案），共7頁。試卷主要包含了下列說法中正確的是，設(shè)向量，給出下列四個結(jié)論，，則，如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部