重慶八中2023—2024學(xué)年度（上）高二年級(jí)開學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小通5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到軸的距離的最大值為（    ）A．2 B．3 C． D．3．已知向量，，，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．14．如圖所示，圓錐的底面直徑和高均是4，過的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的表面積為（    ）A． B． C． D．5．在三棱錐中，已知平面，，若，，則與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．6．如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則，則的最小值（    ）A．1 B．3 C．5 D．87．解放碑是重慶的標(biāo)志建筑物之一，因其特有的歷史內(nèi)涵，仍牽動(dòng)著人們敬仰的目光，在海內(nèi)外具存非凡的影響．某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量其高度，在地面上共線的三點(diǎn)，，處分別測(cè)得點(diǎn)的仰角為30°，45°，60°，且，則解放碑的高度約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．8．在中，，，，為中點(diǎn)，若將沿著直線翻折至，使得四面體的外接球半徑為1，則直線與平面所成角的正弦值是（    ）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．設(shè)，是空間中不同的直線，，，是不同的平面，則下列說法正確的有（    ）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，，，則10．下列結(jié)論正確的有（    ）A．兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則B．直線的方向向量，平面的法向量，則C．若，，，則點(diǎn)在平面內(nèi)D．若是空間的一個(gè)基底，則也是空間一個(gè)基底11．已知直線：，：，設(shè)兩直線分別過定點(diǎn)，，直線和直線的交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)B．C．面積的最大值為5D．若，，則點(diǎn)恒滿足12．半正多面體亦稱“阿基米德體”、“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不完全相同的正多邊形為面的多面體．某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成．在如圖所示的正半多面體中，若其棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．該半正多面體的表面積為B．該半正多面體的體積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．若點(diǎn)，分別在線段，上，則的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．如圖所示是利用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的的直觀圖，已知軸，軸且，則的周長(zhǎng)為______．14．直線的傾斜角的取值范圍是______．15．已知三角形中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則的取值范圍是______．16．德國(guó)機(jī)械學(xué)家萊洛設(shè)計(jì)的菜洛三角形在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．如圖，分別以等邊三角形的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形．若該等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，．（1）求過慮且平行于的直線方程；（2）求過點(diǎn)且與、距離相等的直線方程．18．（12分）已知三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若底面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，，求三棱錐的體積．19．（12分）如圖，已知的外接圓的半徑為4，．（1）求中邊的長(zhǎng)：（2）求．20．（12分）如圖，是圓的直徑，是圓上異于，的一點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．21．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求證：；（2）求的最小值．22．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，為等邊三角形，平面平面，點(diǎn)在棱上，直線平面．（1）證明：．（2）設(shè)二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若的取值范圍是，求的取值范圍． 重慶八中2023—2024學(xué)年度（上）高二年級(jí)開學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練參考答案題號(hào)123456789101112答案BBDBCDBDADACDABDBCD13．    14．    15．    16．1．解：∵，∴．故選B．2．解：圓．即圓，圓心為，半徑，得點(diǎn)到軸的距離的最大值．故選B．3．解：因?yàn)?/span>向量，，所以，，又因?yàn)?/span>，所以，解得．故選D．4．解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則，，圓錐的母線長(zhǎng)為，過的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為，故選：B．5．解，如圖，取，，的中點(diǎn)，，連接，，，∵，，∴（或其補(bǔ)角）即為與所成的角．∵平面，∴，∴，則．∵，，．取的中點(diǎn)，連接，．∴，∴平面．∴．又，．∴∴，∴與所成角的余弦值為．故選：C．6．解：由題意可知，，又是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則可設(shè)，且，所以則．所以．則，，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8，故選：D．7．解：由題知，設(shè)，則，，，又，所以在中，①，在中，②，聯(lián)立①②，解得．故選：B．8．解：∵，，，∴，又為中點(diǎn)，∴，則，即為等邊三角形，設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，取中點(diǎn)，連接，，，，，，∵，，∴，即外接球半徑為1，又四面體的外接球半徑為1，∴為四面體外接球的球心，由球的性質(zhì)可知：平面，又平面，∴，∵，，∴；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，又與均為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴，直線與平面所成角的正弦值為．故選D．9．解：在選項(xiàng)A中，，，，由線面平行判定定理得，，故A項(xiàng)正確；在選項(xiàng)B中，，，，則與平行或?面，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，，，，，則與相交或平行，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，由面面平行的性質(zhì)定理得D項(xiàng)正確．故選：AD．10．解：因?yàn)?/span>，所以，故A正確：因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，則，所以，但是當(dāng)直線在平面內(nèi)，直線與平面不平行，故B不正確；因?yàn)?/span>，所以，，共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)，故C正確；若是空間的一個(gè)基底，假如，，中有向量共線情況，則，，就會(huì)出現(xiàn)向量共線情況，不合題意，則，，中的任意兩個(gè)都不共線．又設(shè)對(duì)空間任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使得，于是，由，，的唯一性，得，，也是唯一的，所以也是空間一個(gè)基底．故D正確．故選：ACD．11．解：對(duì)于A，可化作，可發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)，同理，過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，∵，可得恒成立，因此是以為直徑的圓上的點(diǎn)，根據(jù)定義，，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題可知在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，若，則，化簡(jiǎn)可得，與的方程相同，故D正確．故選：．12．解：該半正多面體的表面積為，A錯(cuò)誤；該半正多面體所在正四面體的高為，體積為，該半正多面體的體積為，B正確；該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，記球心為，則，故該半正多面體外接球的表面積為，C正確；該半正多面體的展開圖如圖所示，，，，，D正確．故選：BCD．13．解：先由斜二測(cè)畫法得，，即可求解．由題意得，，且，則，則的周長(zhǎng)為．故答案為：．14．解：設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率，即，所以．故答案為：．15．解：，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?/span>，所以，所以的取值范圍是．16．解：設(shè)，，則：其中，∴，∴，∴時(shí)，取最小值．故答案為：．17．解：（1）由于，，所以，故過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，整理得；（2）①由于，，故直線垂直于軸，所以過點(diǎn)的直線當(dāng)垂直于軸時(shí)，即直線時(shí)，滿足條件：②由于，，故中點(diǎn)．故經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線滿足條件，即的直線方程為，整理得．綜上所述，滿足條件的直線方程為或．18．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，則為的中點(diǎn)又是的中點(diǎn)，，又面，面，所以面；（2）解：，是的中點(diǎn)，，又面，面，，，面，面．平面平面，所以是三棱錐的高，又，所以；19．（1）∵，∴，∴，即且，又的外接圓的半徑，∴，∴；（2）如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)?/span>，且，所以四邊形是平行四邊形．所以．所以．所以．所以．20．（1）證明：∵垂直于圓所在的平面，圓所在的平面，∴，∵是圓的直徑，∴，又∵，∴平面，平面，∴平面平面；（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∵，，則，．則，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，∴平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．則，令，則，，∴平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面所成的銳二面角為．．∴平面與平面所成的鏡二面角的余弦值．21．（1）證明：在中，，由正弦定理得，又，∴，∴，∴，又，∴，且，∴，∴；（2）由（1）可得得，∴，，∵，，∴．當(dāng)且僅當(dāng)即，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為．22．解：（1）證明：連接交于，連接．因?yàn)?/span>，，所以根據(jù)相似的性質(zhì)可得．因?yàn)橹本€平面，平面，平面平面，所以，則，所以．（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以不妨設(shè)，則，．因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以平面，，平面，所以，．又因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以，而，所以，又，，平面，則平面，又平面，則，所以是二面角的平面角，即．設(shè)，則，得．過作交于，連接，由于平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，即．，，．因?yàn)?/span>，所以，則．因?yàn)?/span>，所以．故的取值范圍為． 

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