2022-2023學(xué)年廣東省重點學(xué)校三校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共7小題，共35.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  已知集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  的展開式中的常數(shù)項為(    )A.  B.  C.  D. 4.  要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象(    )A. 向左平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度5.  如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不顏色可供選用，
則不同的涂色方案數(shù)為(    )
A.  B.  C.  D. 6.  已知，，，則(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知雙曲線的左、右焦點分別為，，設(shè)點為右支上一點，點到直線的距離為，過的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則下列說法正確的是(    )A. 的最小值為
B.
C. 直線的斜率的取值范圍是
D. 的內(nèi)切圓圓心到軸的距離為二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）8.  已知向量，滿足，，，則， ______ ．9.  在正四棱臺中，上、下底面邊長分別為，該正四棱臺的外接球的表面積為，則該正四棱臺的高為______ ．10.  已知拋物線，焦點為，過定點且斜率大于的直線交拋物線于，兩點，，線段的中點為，則直線的斜率的最小值為______ ．11.  對，，函數(shù)都滿足：；；；則 ______ ．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）12.  本小題分
已知銳角中，角、、所對的邊分別為、、；且．
若角，求角；
若，求的最大值．13.  本小題分
如圖，三棱柱中，，是的中點，．
證明：平面；
若，點到平面的距離為，求三棱錐的體積．
14.  本小題分
正數(shù)數(shù)列，滿足，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．
求，的通項公式；
求證：．15.  本小題分
在世界杯期間，學(xué)校組織了世界杯足球知識競賽，有單項選擇題和多項選擇題都是四個選項兩種：
甲在知識競賽中，如果不會單項選擇題那么就隨機猜測已知甲會單項選擇題和甲不會單項選擇題隨機猜測的概率分別是問甲在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他會這道單項選擇題的概率；
甲在做某多項選擇題時，完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇，他選擇一個選項、兩個選項、二個選項的概率分別為，，已知多項選擇題每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得分，部分選對得分，有選擇錯誤的得分某個多項選擇題有三個選項是正確的，記甲做這道多項選擇題所得的分數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．16.  本小題分
已知橢圓：的離心率為分別為橢圓的左右頂點，，分別為橢圓的左右焦點，是橢圓的上頂點，且的外接圓半徑為．
求橢圓的方程；
設(shè)與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點在軸的兩側(cè)，記直線，，，的斜率分別為，，，．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)若，則求的面積的取值范圍．17.  本小題分
已知函數(shù)，，其中，．
當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；
是否存在實數(shù)，使得只有唯一的，當(dāng)時，恒成立，若存在，試求出，的值；若不存在，請說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由集合，，
所以．
故選：．
先求得，結(jié)合集合的交集的概念及運算，即可求解．
本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：由足，得，
．
則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于第四象限．
故選：．
把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出的坐標得答案．
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：展開式的通項公式為，
令，解得，
則展開式的常數(shù)項為，
故選：．
求出展開式的通項公式，令的指數(shù)為，由此即可求解．
本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：，
即只需把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，即可得到的圖象．
故選：．
利用輔助角公式進行化簡，根據(jù)函數(shù)角的關(guān)系進行求解即可．
本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，先利用輔助角公式進行化簡，然后利用角的關(guān)系進行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，
首先涂一個陜西，有種結(jié)果，再涂湖北省，有種結(jié)果，
第二步涂安徽，分類若安徽與陜西同此時江西有三種，再湖南有三種，即
若安徽與陜西不同，則安徽有三種涂法，江西，湖南也各有三種涂法，即
共有
故選：．
本題是一個分步計數(shù)問題，首先涂一個陜西，有種結(jié)果，再涂湖北省，有種結(jié)果，第二步涂安徽，分類若安徽與陜西同此時江西有三種，再湖南有三種，若安徽與陜西不同，則安徽有三種涂法，江西，湖南也各有三種涂法，根據(jù)計數(shù)原理得到結(jié)果．
本題考查分步計數(shù)原理，對于計數(shù)原理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分清事情分成幾部分，注意做到不重不漏．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
設(shè)，
，
令得，
所以在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
因為，
所以，
所以，
所以，
，
，
因為，
所以，
所以，
所以，
所以，
故選：．
根據(jù)題意可得，，設(shè)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，進而可得與的大小關(guān)系，又，，，可得與的大小關(guān)系，即可得出答案．
本題考查數(shù)的大小關(guān)系，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：：由題設(shè)及下圖知：當(dāng)與右頂點重合時，最小為，錯；
：令且，則，錯；
：由漸近線方程為，過的直線與雙曲線的右支有兩個交點，
結(jié)合圖知：直線的斜率的取值范圍為，錯；
：若內(nèi)切圓與三邊相切于，，，如下圖，則，，，
又，即，
由，，即與右頂點重合，易知的內(nèi)切圓圓心到軸的距離為，對．
故選：．
數(shù)形結(jié)合判斷；令且，應(yīng)用兩點距離、點線距離及點在雙曲線上列式化簡判斷；結(jié)合雙曲線漸近線及直線與雙曲線交點情況確定直線斜率范圍判斷；利用雙曲線定義及內(nèi)切圓性質(zhì)確定圓心橫坐標，即為雙曲線右頂點橫坐標判斷．
本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：，
，，
，
故答案為：．
利用求解．
本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的模及夾角，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】或 【解析】解：設(shè)正四棱臺的外接球的半徑為，則，解得，
連接，相交于點，連接，相交于點，連接，
則球心在直線上，連接，，
如圖，當(dāng)球心在線段上時，

則，
因為上、下底面邊長分別為，
所以，，
由勾股定理得，，
此時該正四棱臺的高為，
如圖，當(dāng)球心在的延長線上時，

同理可得，，
此時該正四棱臺的高為．
故答案為：或．
求出外接球半徑，找到球心的位置，分球心在線段上和在的延長線上兩種情況，求出高．
本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)直線的方程為，，，
代入拋物線方程可得，，，
，
，，，，
，，，，，
由，可得拋物線的焦點為，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故直線的斜率的最小值為．
故答案為：．
設(shè)直線的方程為，，，利用，可求，進而可得焦點坐標，可得，可求最小值．
本題考查拋物線幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：由題意，有，，，又，所以，，
所以，有，，，又，所以，，
所以當(dāng)，，即，
又，所以，所以，所以．
故答案為：．
對函數(shù)的變量進行轉(zhuǎn)化，先得出的表達式，再得出的表達式，進而得出的表達式．
本題主要考查遞推數(shù)列，屬于中檔題．
 12.【答案】解：，
，
即，
，
，
，即，
又，，，則，
；
由得，則，
由正弦定理得，
，
，
由正弦定理得，
則，
，
，
，
，
為銳角三角形，且，
，
，
，
當(dāng)時，取得最大值，
故的最大值為． 【解析】運用兩角和差的正余弦公式進行化簡即可；
根據(jù)中結(jié)論運用正弦定理得到，然后等量代換出，再利用降次公式化簡，結(jié)合內(nèi)角取值范圍及求解．
本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 13.【答案】證明：，是的中點，，
，，平面，
又平面，，
，是的中點，，
，且，平面；
解：由知，，，，
平面，
，，取的中點，連接，，
可得，平面即為平面，
又平面，平面平面，
過點作于點，則平面，可得，
在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，，
，，可得，則，
又，．
平面，． 【解析】由已知得，結(jié)合，得平面，進一步得到，再說明，即可證明平面；
由知平面，證明平面平面，過點作于點，可得，進一步求得所用邊長，結(jié)合平面，再由等體積法求三棱錐的體積．
本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體的體積，是中檔題．
 14.【答案】解：，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，
，，
數(shù)列，為正數(shù)數(shù)列，
，
當(dāng)時，，
，
，
，，
，，
，，，
數(shù)列時以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，滿足上式，．
證明：，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，

，
綜上所述，對一切正整數(shù)，有． 【解析】由條件可得，，由兩式化簡可求得，；
通過放縮法得，再由裂項相消法和放縮法即可證明．
本題考查求數(shù)列的通項公式和前項和、放縮法證明不等式成立，屬于中檔題．
 15.【答案】解：記事件為“該單項選擇題回答正確”，事件為“甲會該單項選擇題”，
因為，
所以，
甲在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，會這道單項選擇題的概率是．
由題意知：所有可能的取值為，，，
設(shè)事件表示甲選擇了個選項，事件表示選擇的選項是正確的，
所以，
，
，
所以隨機變量的分布列為： 所以期望為． 【解析】記事件為“該單項選擇題回答正確”，事件為“甲會該單項選擇題”，根據(jù)獨立事件和互斥事件的概率公式，求得，結(jié)合條件概率的公式，即可求解．
由題意得到所有可能的取值為，，，求得相應(yīng)的概率，得出隨機變量的分布列，利用期望的公式，即可求解．
本題主要考查條件概率的求法，離散型隨機變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 16.【答案】解：已知橢圓的離心率為，
所以，
即，
所以，，，
又，且外接圓半徑為，
所以，
解得，
所以橢圓的方程為；
取的中點為，連接，
因為是的中位線，
所以，
設(shè)，，
代入橢圓方程中，
由點差法可得，
(ⅱ)因為，在軸的兩側(cè)，
若直線平行軸，
此時，不滿足條件；
若直線斜率存在，
設(shè)直線為，
聯(lián)立，消去并整理得
，
此時，
由韋達定理得，，
由(ⅰ)知，
同理可得，
所以，
因為，
所以，
由韋達定理可得，
解得或，
又，在軸的兩側(cè)，
所以，
解得，
所以，
即直線恒過，
此時，
令，，
則，
故的面積的取值范圍為 【解析】由題意，結(jié)合離心率公式和正弦定理列出等式即可求出橢圓的方程；
取的中點為，連接，易得，設(shè)，，代入橢圓方程中，利用點差法即可求出的值；
(ⅱ)因為，在軸的兩側(cè)，對直線平行軸和直線斜率存在分別進行討論，設(shè)直線為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合(ⅰ)中所求得到的表達式，結(jié)合韋達定理以及，在軸的兩側(cè)，求出的值，得到直線恒過，代入三角形面積公式中，利用換元法再進行求解即可．
本題考查橢圓的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力．
 17.【答案】解：當(dāng)時，，
由，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，．
當(dāng)時，恒成立，等價于：當(dāng)時，恒成立，
，，
當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，
要使得恒成立，只需即可，
得，此時不唯一，舍去；
當(dāng)時，可得，單調(diào)遞增，
當(dāng)，單調(diào)遞減，
若時，，，滿足，此時不唯一舍去，
若時，，，由零點存在性定理得，，且，
當(dāng)時，與題意矛盾舍去，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，只需，此時不唯一，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減，
要使恒成立，且唯一，
只需，所以，
令，
，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，解得，符合題意，
綜上所述，存在實數(shù)，使得只有唯一的，當(dāng)時，恒成立，，． 【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題．
當(dāng)時，，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可得出答案．
當(dāng)時，恒成立，等價于：當(dāng)時，恒成立，，，分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即可解得，的值．
 

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