2023-2024年中考專題13 二次函數(shù)解答壓軸題（共62題）（原卷版+解析卷）

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?專題13 二次函數(shù)解答壓軸題（62題）

一、解答題
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．
(1)當(dāng)時，
①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
②當(dāng)時，求的取值范圍．
(2)當(dāng)時，的最大值為2；當(dāng)時，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．








2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．
(1)當(dāng)時，求和的值；
(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時，求的取值范圍；
(3)求證：．







3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）在二次函數(shù)中，
(1)若它的圖象過點(diǎn)，則t的值為多少？
(2)當(dāng)時，y的最小值為，求出t的值：
(3)如果都在這個二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．









4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)，（，是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對應(yīng)取值如下表所示：

…

0
1
2
3
…

…

1

1

…
(1)若，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?br /> (3)若在m、n、p這三個實(shí)數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求的取值范圍．








5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
??
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求四邊形的面積；
(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．



6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
??
(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個動點(diǎn)，請求出的最小值．

7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．
????
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)，求長的取值范圍．


8．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時，．
??
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？
(3)保持時的矩形不動，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．
9．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．
??
(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；
(2)P是拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．
①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在y軸上時，請直接寫出四邊形的周長．



10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
??
(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
11．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)．
??
(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．




12．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A，B，三點(diǎn)，其對稱軸為．
??
(1)求該拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是該拋物線上位于第一象限的一個動點(diǎn)，直線分別與軸，直線交于點(diǎn)，．
①當(dāng)時，求的長；
②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

13．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)，在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，連接，．
??
(1)求此拋物線的解析式．
(2)當(dāng)點(diǎn)與此拋物線的頂點(diǎn)重合時，求的值．
(3)當(dāng)?shù)倪吪c軸平行時，求點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差．
(4)設(shè)此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為．當(dāng)時，直接寫出的值．




14．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．
??
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．
15．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．
①當(dāng)取得最大值時，求的值和的最大值；
②當(dāng)是等腰三角形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．




16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．
????
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)過點(diǎn)作y軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
17．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．
（?。┊?dāng)時，求與的面積之和；
（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請說明理由．




18．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．
??
(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．
①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．
(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．




19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．
??
(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)點(diǎn)是對稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)是銳角三角形時，求的取值范圍．



20．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對稱軸過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，且垂直于軸．過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交直線于點(diǎn)，其中點(diǎn)、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．
??
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點(diǎn)，連接、，其中交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．
21．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)．
??
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上時，連接交于點(diǎn)D．如圖1．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；
(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)M，連接，將沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在y軸上時，請直接寫出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．




22．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動：在中，，D為上一點(diǎn)，，動點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系
??
(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B時，
①當(dāng)時，_______．
②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．
(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．
(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．
①_______；
②當(dāng)時，求正方形的面積．





23．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，，，垂足分別為，，，．求證：；
【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點(diǎn)．
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求直線的解析式；
【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，，連接．拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．????
????

24．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)時停止．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時，請在圖1中過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動時，點(diǎn)從點(diǎn)同時出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)停止運(yùn)動時點(diǎn)也停止運(yùn)動．連接，，求的最小值．



25．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問題：
①若拋物線與拋物線有一個交點(diǎn)，求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．
26．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
??
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)是線段上一點(diǎn)，連接，且．
①求證：是直角三角形；
②的平分線交線段于點(diǎn)是直線上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．



27．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：經(jīng)過點(diǎn)B．

(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
(2)求b，c的值；
(3)平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．
28．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．
??
(1)如果四個點(diǎn)中恰有三個點(diǎn)在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．
①________；
②如圖1，已知菱形的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；
③如圖2，已知正方形的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．
(2)已知正方形的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．













29．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
??
(1)請求出拋物線的表達(dá)式．
(2)如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．



30．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，軸于H，且．
??
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，直線交于點(diǎn)，求的最大值；
(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點(diǎn)，交的延長線于，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
31．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．
????
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)H是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


32．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
??
(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

33．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．














34．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．
(1)若，且該二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，求的值；
(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)D在上且在第二象限內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點(diǎn)，．
??
①求證：．
②當(dāng)點(diǎn)在線段上，且．的半徑長為線段的長度的倍，若，求的值．
35．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．
??
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①當(dāng)時，求的值；
②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．
36．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于兩點(diǎn)（在的左邊），交軸于點(diǎn)．
??
(1)直接寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點(diǎn)，連接．若與相似，求的值；
(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點(diǎn)為原點(diǎn)．直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作直線（異于直線）交拋物線于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．問點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．










37．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知．點(diǎn)E位于第二象限且在直線上，，，連接．
??
(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；
(2)求證：；
(3)直線EA交x軸于點(diǎn)．將經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的拋物線向左平移2個單位，得到拋物線．
①若直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，求t的值；
②若拋物線的頂點(diǎn)P在直線上，求t的值；
③將拋物線再向下平移，個單位，得到拋物線．若點(diǎn)D在拋物線上，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
38．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的值；
(3)如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
39．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．
???????
(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，______；
(2)如圖1，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的邊上的動點(diǎn)，，記的最小值為m．
①求m的值；
②設(shè)的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．












40．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
??
(1)求拋物線的解析式．
(2)過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．
(3)拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

41．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
??
(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
42．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時，面積最大，并求出最大值．
43．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．
??
(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點(diǎn)，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點(diǎn)，，并與動直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．
①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時，求的面積；
②探究直線在運(yùn)動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．
44．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若，且，求證：三點(diǎn)共線；
(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運(yùn)動，只要三點(diǎn)共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．




45．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．
??
(1)求拋物線的解析式；
(2)若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？
(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．


46．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其對稱軸為．
??
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)D是線段上的一動點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖2，動點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)P作直線的垂線，分別交直線，線段于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)F作軸，垂足為G，求的最大值．



47．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線過點(diǎn)．過作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以長為邊向上構(gòu)造矩形．
??
(1)求拋物線的解析式；
(2)將矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上．
①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
②直線交拋物線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，求的值；
③拋物線與邊分別相交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對稱軸同側(cè)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．





48．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動點(diǎn)．
??
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，求周長的最小值；
(3)如圖2，過動點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值．



49．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
??
(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．
(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時，有最大值，最大值是多少？













50．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．

51．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，且經(jīng)過點(diǎn)．
??
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N，射線、分別與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，求的面積；
(3)點(diǎn)M是y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)最大時，求M的坐標(biāo)．

52．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
??
(1)求這個二次函數(shù)的解析式．
(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
53．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過點(diǎn)，且平行于軸，與拋物線交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
????　　??
(1)當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．
54．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性、形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．?dāng)?shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．?dāng)?shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．
同學(xué)們，請你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問題．
在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為整點(diǎn)．設(shè)函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）的圖象為圖象．
(1)求證：無論取什么實(shí)數(shù)，圖象與軸總有公共點(diǎn)；
(2)是否存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)的值；若不存在，請說明理由．



55．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
??
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．
56．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過B、C兩點(diǎn)作直線．
??
(1)求a的值．
(2)將直線向下平移個單位長度，交拋物線于、兩點(diǎn)．在直線上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D，無論m取何值時，都是點(diǎn)D到直線的距離最大，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．




57．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，為常數(shù)，的頂點(diǎn)為，與軸相交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸相交于點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，過點(diǎn)作，垂足為．
(1)若．
①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．



58．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
??
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接，點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)不重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)面積是面積的3倍時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)是拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，是軸正半軸上的動點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），使得，求的取值范圍．


59．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．
??
(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時，求的值．
(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．
60．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接．
??
(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結(jié)果）
(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，求的度數(shù)；
(3)如圖2，若動直線與拋物線交于兩點(diǎn)（直線與不重合），連接，直線與交于點(diǎn)．當(dāng)時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值，請說明理由．




61．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究
如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且，連接，．
??
(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動點(diǎn)，連接，，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)D是線段(包含點(diǎn)B，C)上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)Q，交直線于點(diǎn)N，若以點(diǎn)Q，N，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(4)將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線平移過程中，當(dāng)?shù)闹底钚r，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，的最小值為______．







62．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．
??
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
(1)請分別直接寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；
【技能訓(xùn)練】
(2)如圖2，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【能力提升】
(3)如圖3，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動點(diǎn)P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與x軸平行．當(dāng)動點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動時，點(diǎn)P到直線l的距離始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線l：的距離．
請閱讀上面的材料，探究下題：
(4)如圖4，點(diǎn)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，請求出的面積．