2022-2023學年江西省撫州市樂安縣第二中學高一下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先求集合，比較集合后判斷選項.【詳解】由三角函數(shù)性質(zhì)可知，又因為，所以.故選：C2．設向量，，則與一定不是（    ）A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量【答案】C【分析】根據(jù)已知向量的坐標，結合、、、的坐標表示判斷參數(shù)是否存在，即可確定正確選項.【詳解】假設，即，，假設，即，，假設，即，無解，假設，即，，故選：C．3．如圖，在平行四邊形中，，E是邊上一點，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結合平面向量的線性運算法則、向量的數(shù)乘即可得解.【詳解】由題意，所以.故選：D.【點睛】本題考查了平面向量線性運算法則及平面向量數(shù)乘的應用，考查了平面向量基本定理的應用，屬于基礎題.4．已知，且，則的最大值為（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由變形，利用積化和差得到，進而得到，然后展開，利用商數(shù)關系求解.【詳解】因為，由積化和差公式可知，則，所以，即，即，即，解得，所以的最大值為，故選：C.5．已知角的頂點在坐標原點，始邊在x軸非負半軸上，且角的終邊上一點，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的定義即可求解【詳解】因為角的終邊過一點，所以，故選：D．6．已知函數(shù)，則A．是偶函數(shù)，最大值為1 B．是偶函數(shù)，最大值為2C．是奇函數(shù)，最大值為1 D．是奇函數(shù)，最大值為2【答案】B【解析】利用誘導公式進行化簡，得到，結合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以是偶函數(shù)；又由的最大值為1，的最大值為2；故選：B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導公式，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.7．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向右平移個單位后關于原點中心對稱，則下列結論中不正確的是（    ）A．B．是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．函數(shù)在上的值域為【答案】D【分析】由函數(shù)向右平移個單位后關于原點對稱得，進而得，接著逐一驗證各個選項即可.【詳解】解：將函數(shù)向右平移個單位后得為奇函數(shù).則，所以.又因為，所以，故A正確.因為，所以，當時，，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B正確.當時，，所以是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C正確.當時， ，所以，所以，所以，函數(shù)在上的值域為，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱軸、對稱中心、最值，屬于中檔題.8．在中，內(nèi)角，，，.若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，則，并確定的取值范圍，再由關于的一元二次不等式恒成立，求出間的不等量關系，利用的取值范圍，即可求出結果.【詳解】在中，，記，則，因為，所以，，從而，所以可化為，即恒成立，所以依題有，化簡得，即得恒成立，又由，得或.故選：D．【點睛】方法點睛：本題主要是轉化為一元二次不等式恒成立的問題，考查同角間的三角函數(shù)關系，考查不等式的關系，屬于較難題.  二、多選題9．已知復數(shù)，則（    ）A． B．z在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限C． D．【答案】ABD【分析】利用復數(shù)除法化簡復數(shù)，再由模長公式、復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)及其平方運算判斷各項正誤.【詳解】，故，對應點位于第一象限，，.故選：ABD10．若函數(shù)，則（    ）A．的最大值是4B．的最小正周期是C．的圖象關于直線對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BC【分析】由三角恒等變換可得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求其最值、最小正周期，以及對稱軸、單調(diào)減區(qū)間，進而判斷各選項的正誤.【詳解】，∴最大值為，最小正周期為，A錯誤，B正確；由關于對稱，令，則，當時，C正確；由在遞減，令，有，易知，D錯誤.故選：BC11．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（    ）A．若將的圖象向右平移個單位得到，則函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象關于中心對稱D．若，則的最小值為【答案】ACD【分析】利用三角函數(shù)圖象變換以及正弦型函數(shù)的對稱性求出的值，再利用三角函數(shù)圖象以及余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項；利用正弦型函數(shù)的周期可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為的圖象關于直線對稱，則，所以，，則，所以，，將的圖象向右平移個單位得到，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，A對；對于B選項，當時，則，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，因為，所以，函數(shù)的圖象關于中心對稱，C對；對于D選項，因為，且，則或，故的最小值為函數(shù)最小正周期的一半，即，D對.故選：ACD.12．如圖，在中，，，點D與點B分別在直線AC兩側，且，，當BD長度為何值時，恰有一解（    ）A．6 B． C． D．【答案】ABD【分析】在中，利用余弦定理可得，進而可得，在中，利用正、余弦定理可得，，在中，利用余弦定理分析運算即可.【詳解】在中，設，由余弦定理可得：，則，即，解得或（舍去），則，可得.在中，設，由余弦定理可得：，即，由正弦定理可得，則，在中，由余弦定理可得：，則，因為，則，若恰有一解，則或，可得或，，，故A、B、D正確，C錯誤.故選：ABD.【點睛】方法點睛：在處理解三角形的范圍（或最值）問題時，常利用正、余弦定理進行邊化角，再結合三角函數(shù)分析求解. 三、填空題13．“且”是“且”的      條件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）．【答案】充分不必要【分析】由不等式的同向可加性和同向正可乘性可判斷充分性，取特值可判斷必要性.【詳解】若且，則由不等式的同向可加性可得：，由不等式的同向正可乘性可得：，即“且”是“且”的充分條件，反之，“且”，則“且”不一定成立，如.所以，“且”是“且”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.14．已知 ，則的值為        ．【答案】/【分析】根據(jù)誘導公式化簡可得，然后代入結合特殊角的三角函數(shù)值即得.【詳解】∵，∴.故答案為：.15．在平面斜坐標系中，，平面上任一點關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若（其中，分別為，軸方向相同的單位向量），則的坐標為，若關于斜坐標系的坐標為，則      【答案】【分析】由斜坐標定義用，表示，然后平方轉化為數(shù)量積求得模．【詳解】由題意，，故答案為：．16．已知當時，函數(shù)（且）取得最小值，則時，的值為          ．【答案】3【分析】先根據(jù)計算，化簡函數(shù)，再根據(jù)當時，函數(shù)取得最小值，代入計算得到答案.【詳解】或當時，函數(shù)取得最小值：或（舍去）故答案為3【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，輔助角公式，函數(shù)的最值，綜合性較強，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力. 四、解答題17．（1）已知求的值（2）已知，且為第四象限角，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由誘導公式得，進而由，將所求的式子化為二次齊次式，進而得到含的式子，從而得解（2）由，結合角的范圍可得解.【詳解】（1）由，得，所以，.（2），所以，又為第四象限角，所以，所以.18．已知，，，，.（1）求；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先利用向量的坐標運算公式計算，然后再求出即可；（2）可變形為，故可結合基本不等式，利用“乘1法”求出最值.【詳解】（1），，，；（2）∵，，，∴，，，∴，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為.【點睛】本題考查了向量的坐標運算，考查了向量結合基本不等式求最值，屬于中檔題.在應用基本不等式求最值時，要注意遵循“一正二定三相等”原則.19．設函數(shù)，已知函數(shù)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關于點對稱.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間：，，無遞減區(qū)間(2) 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)周期性，結合函數(shù)圖象過的點的坐標，代值計算即可求得參數(shù)，則解析式可求；利用整體法代換法，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中所求解析式，利用正切函數(shù)的單調(diào)性，即可解得不等式.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝，即，因為ω>0，所以ω＝2，從而f(x)＝tan(2x＋φ)，因為函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點M對稱，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.因為0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，即所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，得Z，即Z所以不等式－1≤f(x)≤的解集為.20．如圖，在平面直角坐標系中，點，點在單位圓上，.(1)若點，求的值;(2)若，求.【答案】(1);(2)【分析】（1）計算得到，再利用和差公式展開得到答案.（2）根據(jù)得到，再利用二倍角公式計算得到答案.【詳解】(1)由三角函數(shù)定義，得，∴.(2)∵，∴，即，∴，∴，，∴.【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義，三角恒等變換，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.21．如圖，某公園摩天輪的半徑為，點距地面的高度為，摩天輪做逆時針勻速轉動，每分鐘轉一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處．(1)已知在時刻（分鐘）時點距離地面的高度，，求分鐘時刻點距離地面的高度；(2)當離地面以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈中有多少時間可以看到公園全貌？【答案】(1)(2)分鐘 【分析】（1）首先確定，由此可求得，結合可求得，從而得到；代入即可求得結果；（2）令即可求得的范圍，由此可得結果.【詳解】（1）由題意知：，，，；又，即，又，；；，即分鐘時點所在位置的高度為.（2）由（Ⅰ）知：；令，，即，解得：，即；，轉一圈中有分鐘時間可以看到公園全貌．22．已知向量，．設函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．(2)當時，方程有兩個不等的實根，求的取值范圍；(3)若方程在上的解為，，求．【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由題可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）令，根據(jù)方程有兩個不等的實根，則需函數(shù)在上的圖象與有兩個交點，求解即可；（3）令，則函數(shù)變形為，從而等價于，根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知與的兩交點的橫坐標，滿足，則，即，代入，求解即可.【詳解】（1）由題意可知，，由，可得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）令，當時，令，則且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，若使得方程有兩個不等的實根則需函數(shù)與有兩個交點即，與有兩個交點，所以，即；（3）由，令，則所以又因為時，圖象關于對稱，且，時，圖象關于對稱，且，所以等價于，設為與的兩交點的橫坐標，則，，為方程的兩個解，，即，即，，所以. 

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