2022-2023學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，則集合的子集個數(shù)為（    ）A．6 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】若集合A中有n個元素，則集合A有個子集求解.【詳解】解：因為集合中有兩個元素，所以集合的子集個數(shù)為，故選：B2．化為角度是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)弧度化角度公式直接求解即可.【詳解】.故選：B3．已知扇形弧長為，圓心角為，則該扇形面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)扇形弧長及面積公式計算即可. 【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則，解得，所以扇形的面積為．故選：C. 4．已知向量，，則（      ）A． B．2 C． D．50【答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示即可得答案.【詳解】由題意向量，，則向量，故，故選：A5．在中，為的中點，為的中點，設(shè)，，則（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形特征進(jìn)行向量運算即可.【詳解】因為為的中點，為的中點，所以，又因為，，所以.故選：C6．中若有，則的形狀一定是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用三角函數(shù)恒等變換公式對原式化簡變形可得結(jié)論【詳解】由，得，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以為直角三角形，故選：B7．足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點，使得最大，這時候點就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點處時，根據(jù)場上形勢判斷，有、兩條進(jìn)攻線路可選擇，若選擇線路，甲到達(dá)最佳射門位置時，需要帶球距離為（   ）  A．碼 B．碼C．碼 D．碼【答案】D【分析】選擇線路，設(shè)，利用基本不等式結(jié)合結(jié)合兩角差的正切公式求出正切值的最大值，利用等號成立的條件求出的值，即可得解.【詳解】若甲選擇線路，設(shè)，因為，，，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，此時，，因此，若選擇線路，甲到達(dá)最佳射門位置時，需要帶球距離為碼.故選：D.8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，點D在邊AB上，，則的外接圓的面積是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理將統(tǒng)一成角的形式，化簡后可求出，在中利用正弦定理可求出，則可求出，然后在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出外接圓的半徑，從而可求出圓的面積.【詳解】因為，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，在中，由正弦定理得，，所以，因為，所以，得，所以在中，由余弦定理得，，所以，設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理得，所以，所以的外接圓的面積是，故選：B 二、多選題9．下列各式中值為1的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用三角函數(shù)恒等變換公式逐個計算判斷即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：CD10．下列說法中正確的是（    ）A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短有關(guān)【答案】ABC【分析】根據(jù)角度制與弧度制的定義，以及角度制和弧度制的換算公式，以及角的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】根據(jù)角度制和弧度制的定義可知，度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確；由圓周角的定義知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正確；根據(jù)弧度的定義知，一定等于弧度，所以C正確；無論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短無關(guān)，只與弧長與半徑的比值有關(guān)，故D不正確.故選：ABC.11．已知函數(shù)（，）的部分圖象所示，點，，則下列說法中正確的是（    ）  A．直線是圖象的一條對稱軸B．的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到C．的最小正周期為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】先求出，利用代入檢驗法判斷A；利用三角函數(shù)圖象的平移變換法則判斷B；利用周期公式判斷C；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】由得，∴.又，∴，∴.根據(jù)“五點法”可得，解得，故.令，得，為最大值，故直線是圖象的一條對稱軸，故A正確；把的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，故B不正確；的最小正周期為，故C正確；當(dāng)時，，故此時單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD12．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】證明出當(dāng)時，，利用該不等式以及二倍角的余弦公式可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】先證明出當(dāng)時，，如下圖所示：  設(shè)點，設(shè)，其中，設(shè)點在軸上的射影點為，過點作軸的垂線交射線于點，則，，，由圖可知，，即，故當(dāng)時，，因為、，則，因為，則，因為，則，故選：BC. 三、填空題13．設(shè)向量滿足，，則      ．【答案】5【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合已知條件求解即可【詳解】因為，，所以，故答案為：514．已知，向量與垂直，則實數(shù)          .【答案】【分析】先求出，再由向量與垂直，能求出實數(shù).【詳解】，，向量與垂直，，解得實數(shù).故答案為：.15．關(guān)于的方程的一個解           【答案】（答案不唯一）【分析】令，推導(dǎo)出該函數(shù)為偶函數(shù)，由原方程可得，由偶函數(shù)的基本性質(zhì)可得出原方程的一個解.【詳解】令，其中，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，由，可得，則原方程的一個解滿足，可解得.故答案為：（答案不唯一）.16．如圖，已知直線，A是直線，之間的一定點，并且點A到，的距離分別為，，B，C分別為直線，上的動點，且滿足，則面積的最小值為      ．  【答案】【分析】當(dāng)B,C在直線DE同側(cè)時，設(shè)，利用直角三角形邊角關(guān)系表示出，再利用三角形面積公式結(jié)合和差角的余弦公式求解，驗證不在同側(cè)的情況作答.【詳解】依題意，當(dāng)點在過點垂直于的直線同側(cè)時，，設(shè)，則，在中，，因此的面積，而，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號， 當(dāng)與重合時，，，，當(dāng)與重合時，，同理，當(dāng)在過點垂直于的直線兩側(cè)時，則有，，或，，，所以面積的最小值為.故答案為：【點睛】思路點睛：若（為定值），求或的最值，可以設(shè)，利用對偶思想求解. 四、解答題17．已知為第二象限角，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)為第二象限角，得到，進(jìn)而得到正切值；（2）根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡，分子分母同時除以，代入即可.【詳解】（1）因為為第二象限角，，所以，所以（2）原式，分子分母同時除以，則原式.18．已知.(1)把寫成的形式，并指出它是第幾象限角;(2)求，使與的終邊相同，且.【答案】(1)，第三象限角(2)或. 【分析】（1）利用終邊相同的角的表示方法可將表示為的形式，再判斷所在的象限.（2）由（1）可得，然后解不等式，求出整數(shù)的值，代入可求出的值.【詳解】（1）因為于是，它是第三象限角.（2）由（1）知，因為，所以，即，因為，所以或.當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以或.19．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時，求的最小值及取得最小值自變量的值.【答案】(1)(2)最小值為，當(dāng)時取得. 【分析】（1）根據(jù)二倍角公式，輔助角公式將函數(shù)化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合的范圍進(jìn)行求解.【詳解】（1），故最小正周期為（2）由于，則，注意到在上滿足，上，于是要求的最小值只用考慮的情況，由在上單調(diào)遞減，，于是在上遞減，故時，即，取到最小值.20．已知內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).(1)求；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由三角形的面積公式可得，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）原式化簡可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的內(nèi)角；（2），，，.21．如圖，在平面四邊形中，，，.(1)若，求的面積；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再在中由銳角三角函數(shù)定義求出，再由三角形的面積公式即可求得；（2）由題中條件得，在和中，由正弦定理及積化和差公式求出，最后由求得.【詳解】（1），，所以，在中，，，的面積.（2），，，，在中，，，在中，由正弦定理有，即，由積化和差公式有，，將此結(jié)果代入式中化簡可得：，解得（舍負(fù)），.22．如圖，設(shè)中的角A，B，C所對的邊是a，b，c，AD為∠BAC的角平分線，已知，，，點E，F分別為邊AB，AC上的動點，線段EF交AD于點G，且的面積是面積的一半.  (1)求邊BC的長度；(2)設(shè)，，，當(dāng)時，求k的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由，可得，過D分別作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于點M，N，由平行線分線段成比例可得，，進(jìn)而可得,結(jié)合余弦定理可得,即可得答案；（2）由的面積是面積的一半，可得①，由三點共線，得，由，得②，由①②即可得答案.【詳解】（1）解：由，得,又因為，所以，又因為，過D分別作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于點M，N，  所以，，所以,所以,又因為,所以；（2）解：因為，，，的面積是面積的一半，所以，所以①，，由，得，又因為三點共線，所以，即，所以，又，所以，又因為，所以②，由①②解得，所以.【點睛】結(jié)論點睛：為平面內(nèi)共線的三點，為平面內(nèi)任意一點，當(dāng)時，則一定有. 

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