2022-2023學年江西省撫州市樂安縣高二（下）期中數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  設是可導函數(shù)，且，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  根據(jù)教育部的規(guī)定，從年月日以來，全國各地的中小學都開展了課后延時服務．各個學校都及時安排老師參加課后延時服務工作，學校要求張老師在每個星期的周一至周五要有三天參加課后延時服務．若張老師周五一定參加課后延時服務，則他周四也參加課后延時服務的概率為(    )A.  B.  C.  D. 3.  在等差數(shù)列中，已知，則(    )A.  B.  C.  D. 4.  數(shù)列，滿足，，則的前項和為(    )A.  B.  C.  D. 5.  利用獨立性檢驗的方法調(diào)查大學生的性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機詢問名不同的大學生是否愛好某項運動，利用列聯(lián)表，由計算可得參照附表，得到的正確結(jié)論是(    ) A. 有以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
B. 有以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
C. 在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”
D. 在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”6.  已知等差數(shù)列中，為其前項和，，，則(    )A.  B.  C. 或 D. 或7.  已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則的最大值為(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.  下列四個數(shù)列中的遞增數(shù)列是(    )A. ，，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，，10.  設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，在區(qū)間上的導函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上為凸函數(shù)則下列函數(shù)中，為區(qū)間上的凸函數(shù)的是(    )A.  B.
C.  D. 11.  已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，滿足，為自然對數(shù)的底數(shù)，且，則(    )A.  B.
C. 在處取得極小值 D. 無極大值12.  阿基米德公元前年公元前年是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學之神”的稱號．拋物線上任意兩點、處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”已知拋物線：的焦點為，過、兩點的直線的方程為，關于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是(    )A.  B.
C. 點的坐標為 D. 第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知的展開式中各項系數(shù)和為，則展開式中常數(shù)項為        ．14.  已知數(shù)列的前項和為，若是和的等比中項，設，則數(shù)列的前項和為______．15.  設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．16.  已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
已知點在圓上，點，．
求點到直線距離的最大值；
當最小時，求線段的長．18.  本小題分
已知函數(shù)．
求曲線在點處的切線方程；
直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點坐標．19.  本小題分
如圖，已知三棱柱中，，，四邊形是菱形．
求證：平面；
若，，，求二面角的正弦值．
20.  本小題分
已知拋物線：的焦點到準線的距離為，圓：．
若第一象限的點，是拋物線與圓的交點，求證：點到直線的距離大于；
已知直線：與拋物線交于，兩點，，若點，關于軸對稱，且，，三點始終共線，求的值．21.  本小題分
已知，是方程兩個根，數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，且
求，的通項公式；
記，求數(shù)列的前項和．22.  本小題分
函數(shù)．
Ⅰ當時，求證：函數(shù)有兩個零點；
Ⅱ若，求證：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的求解，解題的關鍵是導數(shù)定義的靈活應用．
由題意可得，結(jié)合已知可求．
【解答】
解：，
．
故選B．  2.【答案】 【解析】解：解法一：學校要求張老師在每個星期的周一至周五要有三天參加課后延時服務．
如果張老師周五一定參加課后延時服務，
則他參加課后延時服務的安排方案有種，
其中周四參加課后延時服務的安排方案有種，
所以他周四也參加課后延時服務的概率為．
解法二：設事件為張老師“周五參加課后延時服務”，
事件為張老師“周四參加課后延時服務”，
則，，
故他周四也參加課后延時服務的概率為．
故選：．
法一：他參加課后延時服務的安排方案有種，其中周四參加課后延時服務的安排方案有種，由此能求出他周四也參加課后延時服務的概率；
法二：設事件為張老師“周五參加課后延時服務”，事件為張老師“周四參加課后延時服務”，則，，利用條件概率能求出他周四也參加課后延時服務的概率．
本題考查概率的運算，考查古典概型、條件概率等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
 3.【答案】 【解析】【分析】本題考查等等差數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式，注意等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．
根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又由，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，
若，則，即，
所以．
故答案選：．  4.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查裂項相消法求和，屬于基礎題．
先根據(jù)已知條件計算出數(shù)列的通項公式，然后運用裂項相消法計算出前項和即可．【解答】解：由題意可得，
故的前項和為


．
故選：．  5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了獨立性檢驗，即兩個變量之間的關系的可信程度與臨界值表的應用問題，是基礎題．
將所給的同表格所給的臨界值進行比較，看大于哪一個臨界值，得到說明兩個變量有關系的可信程度．
【解答】
解：計算，
對照表中數(shù)據(jù)得出有的幾率說明這兩個變量之間的關系是不可信的，
即有的把握說明兩個變量之間有關系，
故選：．  6.【答案】 【解析】解：等差數(shù)列中，為其前項和，
，，
，
解得或，
或．
故選：．
利用等差數(shù)列列方程組，求出首項和公差，由此能求出．
本題考查等差數(shù)列的前項和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
 7.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列和都是等差數(shù)列，
則有，
又由，則有，
若為整數(shù)，必有是正整數(shù)，
又由，則是的大于的約數(shù)，故的值有，，，，，共個；
所以使得為整數(shù)的正整數(shù)有個．
故選：．
根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由此分析的大于的約數(shù)，即可得答案．
本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，屬于基礎題．
 8.【答案】 【解析】解：不等式對恒成立，
即為，即對恒成立，
設，由，可得在遞增，且，
當時，；，，作出的圖象，
再設，，可得表示過，斜率為的一條射線不含端點，
要求的最大值，且滿足不等式恒成立，可求的最大值，由于點在軸上移動，
只需找到合適的，且與切于點，如圖所示：
此時，即有的最大值為，
故選：．
由題意可得對恒成立，設，--，，考慮它們的圖象，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，以及射線的性質(zhì)，即可得到所求最大值．
本題考查不等式恒成立問題解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查運算能力和推理能力，屬于難題．
 9.【答案】 【解析】解：選項，數(shù)列中的項是越來越小的，不屬于遞增數(shù)列；
選項，數(shù)列的項成周期變化，也不是遞增數(shù)列；
選項，數(shù)列是遞增數(shù)列；
選項，數(shù)列是遞增數(shù)列，
故選：．
由遞增數(shù)列的定義可知，遞增數(shù)列必須是后一項總比前一項大的數(shù)列．依據(jù)這一標準從四個答案中判斷正確選項即可．
本題主要考查了遞增數(shù)列概念的理解能力，屬于基礎題．
 10.【答案】 【解析】解：對選項，，，
，，，
不是凸函數(shù)，選項錯誤；
對選項，，，
，，，
是凸函數(shù)，選項正確；
對選項，，，
，，，
不是凸函數(shù)，選項錯誤；
對選項，，，
，，，
是凸函數(shù)，選項正確．
故選：．
根據(jù)題意，求出的二階導函數(shù)，再判斷二階導函數(shù)的符號，即可求解．
本題考查新定義的應用，導數(shù)的基本運算，屬基礎題．
 11.【答案】 【解析】解：設，則，
可設，則，解得，
故，即，
令，則，故在上單調(diào)遞增，
，即，則，A錯誤；
，令，解得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，在處取得極小值，無極大值，
則、、均正確
故選：．
設，對其求導可得，因此設，根據(jù)題意可得，的解析式，對：利用導數(shù)判斷的單調(diào)性分析判斷，對、、：利用導數(shù)判斷的單調(diào)性分析判斷．
本題考查導數(shù)的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：由，消去得，，，解得，，
可得，故A正確；
由，得，，則，，，故，故B正確；
直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程可得交點，故C錯誤；
，，，故AB，故D正確．
故選：．
聯(lián)立直線方程與拋物線方程可解出，兩點坐標，可求的長，以及，的斜率，從而可判斷，求得直線，的方程，解出交點坐標可判斷，求出的斜率與的斜率可判斷．
本題主要考查了拋物線的定義，以及拋物線的性質(zhì)和運算能力，是中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：由已知，令，則，解得，
 展開式的通項公式為，，，，
令，解得，則，
則展開式中常數(shù)項為，
故答案為：．
將代入，可得展開式中的各項系數(shù)和，從而解出；利用展開式的通項公式求出展開式中含的項，與 相乘，即為展開式中的常數(shù)項．
本題考查二項式定理的系數(shù)和，考查二項式展開式中的特定項，考查學生計算能力，屬于基礎題．
 14.【答案】 【解析】解：由題意可得，，
當時，，解可得，，
同理可得，，，，
所以，
數(shù)列的前項和
．
故答案為：．
由已知歸納出通項公式，然后利用分組求和即可求解．
本題主要考查了利用遞推公式求解數(shù)列的通項公式，分組求和的應用是求解問題的關鍵，屬于中檔試題．
 15.【答案】 【解析】解：依題意，函數(shù)的定義域，，，解得，，
的遞減區(qū)間，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，則應，，
答案為：．
首先運用導數(shù)求函數(shù)的遞減區(qū)間，然后建立的不等式解之．
本題考查了運用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是基礎題．
 16.【答案】 【解析】解：因為，
設，定義域，
，所以為奇函數(shù)，
，所以單調(diào)遞增，
不等式，即為，
即，所以，
即，
解得，
即實數(shù)的取值范圍是
故答案為：
設，求出的單調(diào)性和奇偶性，將不等式合理轉(zhuǎn)化，即可求得結(jié)論．
本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，構(gòu)造是解題的關鍵，屬于中檔題．
 17.【答案】解：直線的方程為，即，
圓心到直線的距離，
則點到直線距離的最大值為．
當直線在和圓相切時，如圖，最小，
此時． 【解析】求出圓心到直線的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)得到最大值距離為．
根據(jù)圖象得到直線在和圓相切時，最小，然后利用切線長公式進行求解即可．
本題主要考查直線和圓位置關系的應用，根據(jù)切線長公式以及直線和圓相離時的性質(zhì)進行計算是解決本題的關鍵，是中檔題．
 18.【答案】解：由，得
，，
曲線在點處的切線方程為，即；
設切點為，，
切線方程為，
切線經(jīng)過原點，
，
，．
則，
所求的切線方程為；
切點為． 【解析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在時的導數(shù)，即切線的斜率，然后由直線方程的點斜式得答案；
設出切點坐標，求出函數(shù)過切點的切線方程，由切線過原點求得切點橫坐標，則直線方程與切點坐標可求．
本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，關鍵是區(qū)分切線所經(jīng)過的點是否為切點，是中檔題．
 19.【答案】解：證明：四邊形是平行四邊形，，
四邊形是矩形，則，
又，，，、平面，
平面，
又平面，則，
四邊形是菱形，
，
，，，、平面，
平面；
由得平面，
又面，則平面平面，
四邊形是菱形，，則是正三角形，
取、的中點分別為、，連，，
則，，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
建立以點為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標系，如下圖所示：

則，
，，，
平面的一個法向量為，
設面的一個法向量為，
則，令，則，
設二面角的大小為，
則，
又，則，
故二面角的正弦值為． 【解析】利用線面垂直判定定理，即可證明結(jié)論；
建立空間直角坐標系，利用向量的方法，即可得出答案．
本題考查直線與平面垂直和二面角，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：證明：由拋物線的方程可得焦點，準線方程為：，
所以焦點到準線的距離，
所以拋物線的方程為：，即，，在第一象限，
聯(lián)立，解得，，
所以直線的方程：，即，
所以焦點到直線的距離，
即證得點到直線的距離大于；
設，，由題意，
直線的方程為，，
聯(lián)立，整理可得：，
，可得，，，
要使，，三點共線，則，
即恒成立，
即，
整理可得：，
整理可得，而，
所以，
所以． 【解析】由拋物線的方程可得焦點到準線的距離，由題意可得的值，進而求出拋物線的方程，聯(lián)立拋物線的方程與圓的方程，求出，的坐標，求出直線的方程，進而求出焦點到直線的距離，可證得焦點到直線的距離大于；
設，的坐標，由題意可得的坐標，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得兩根之和及兩根之積，求出直線，的斜率相等，將兩根之和及兩根之積代入，可求得的值．
本題考查了求拋物線的方程，直線與拋物線的綜合應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：，是方程兩個根，且數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，
，，
，，，
等差數(shù)列的通項公式為；
在數(shù)列中，當時，，
當時，，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
故其通項公式為；
由可知，
則，
，
，



． 【解析】根據(jù)題意及等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，方程思想，即可求解；
根據(jù)錯位相減法求和，即可求解．
本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的求解，錯位相減法求和，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 22.【答案】證明：Ⅰ當時，，
則，
當時，，則單調(diào)遞減，
當時，，則單調(diào)遞增，
又，，，
所以存在使得，
則函數(shù)存在兩個零點，，
所以函數(shù)有兩個零點；
Ⅱ當，等價于，
由題意可知，，
令，可得，
當時，，則單調(diào)遞減，
當時，，則單調(diào)遞增，
所以當時，取得最小值，且，
由題意，只需證明，
令，則，
則只需證明，即，
令，，
故只需證明即可，
則，
當時，，故，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，所以，
故成立． 【解析】Ⅰ求出，進而求出，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的正負，由零點的存在性定理即可證明；
Ⅱ將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值，問題轉(zhuǎn)化為，利用換元法，令，構(gòu)造函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為證明即可，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明．
本題考查了導數(shù)與函數(shù)、導數(shù)與不等式的綜合應用，解決函數(shù)零點或方程根的問題，常用的方法有：方程法直接解方程得到函數(shù)的零點；圖象法直接畫出函數(shù)的圖象分析得解；方程圖象法令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解屬于難題．
 
 

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