2022-2023學(xué)年江西省樂安縣第二中學(xué)高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若直線經(jīng)過，兩點，則直線AB的傾斜角為（    ）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】B【分析】首先根據(jù)斜率公式求出斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系計算可得；【詳解】解：因為，，所以，設(shè)直線AB的傾斜角為，則，因為，所以故選：B2．已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，，則公比A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得：，又等比數(shù)列是遞增數(shù)列，∴，∴故選D3．已知等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，則最大值時的值為（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)解得：然后求得：，當(dāng)時取最大值，且；【詳解】因為所以因為，所以所以當(dāng)時取最大值，且；故選：B4．若數(shù)列的通項公式為，則其前項和為(　　)A． B． C． D．【答案】D【分析】由利用裂項相消法求和即可.【詳解】解：∵，∴故選：D5．若函數(shù)的最小值是，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的極小值，然后對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值為，因為函數(shù)的最小值為，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，函數(shù)在上無最小值，不合乎題意；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，函數(shù)在上的極小值為，且，則，綜上所述，.故選：A.6．已知函數(shù)的極值點為，函數(shù)的最大值為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】對求定義域，求導(dǎo)，觀察出導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在性定理得到，對求定義域，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和極值，最值，得到，判斷出.【詳解】的定義域為，在上單調(diào)遞增，且，，所以，．的定義域為，由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極大值，也是最大值，，即．所以．故選：A7．已知橢圓，直線與的一個交點為，以為圓心的圓與軸相切，且被軸截得的弦長等于的焦距，則的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨設(shè)，故圓半徑為，得到，解得答案.【詳解】當(dāng)，解得，不妨設(shè)，故圓半徑為，根據(jù)題意：，即，故.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.8．不等式對任意都成立，則實數(shù)的最大值為（    ）A． B． C． D．-1【答案】A【分析】由不等式對任意都成立可知，將實數(shù)分離開來，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求出的最小值即可求得結(jié)果.【詳解】由不等式，可得，設(shè)，即使得的最小值滿足條件即可，又，令，則，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立.因此當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即實數(shù)的最大值為.故選：. 二、多選題9．已知直線，其中，則（    ）A．直線l過定點B．當(dāng)時，直線l與直線垂直C．若直線l與直線平行，則D．當(dāng)時，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)【答案】ABD【分析】A. 令判斷；B.由兩直線的位置關(guān)系判斷；C. 由兩直線的位置關(guān)系判斷；D.由直線的方程判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，，與a的取值無關(guān)，故直線l過定點，所以A正確；對于B，當(dāng)時，直線l的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為，所以當(dāng)時，直線l與直線垂直，所以B正確；對于C，若直線l與直線平行，則，解得或，所以C錯誤；對于D，當(dāng)時，直線l的方程為，橫截距和縱截距分別是，1，互為相反數(shù)，所以D正確.故選：ABD10．下列說法正確的是（    ）A．“”是“”的充要條件B．函數(shù)既是奇函數(shù)又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增C．若函數(shù)，則對于任意的有D．若，則【答案】BCD【分析】利用必要不充分條件的定義可判斷A，利用函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的概念可判斷B，利用不等式的性質(zhì)及基本不等式可判斷C，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷D.【詳解】A選項，應(yīng)為必要不充分條件；B選項，函數(shù)定義域為R，，且函數(shù)單調(diào)遞增，故B正確；C選項，原不等式可化為，即，即，故正確；D選項，原不等式可化為，因為，所以，所以，故正確.故選：BCD．11．已知正項數(shù)列滿足：，是的前項和，則下列四個命題中正確的是（    ）A． B．C． D．是遞增數(shù)列【答案】ABC【分析】對A，由題可得，利用累乘法可判斷；對B，由題可得出，即可得出結(jié)論；對C，可得，即可判斷；對D，舉特例可說明.【詳解】是正項數(shù)列，則由可得，，即，即，故A正確；，， ，……，，，即，即，則，故B正確；由可得，則，即，則，故C正確；對D，若是正項等比數(shù)列，如公比為3，則，即是常數(shù)列，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確利用已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.12．已知橢圓的左、右焦點分別為，且，點在橢圓內(nèi)部，點在橢圓上，則以下說法正確的是（    ）A．的最小值為B．橢圓的短軸長可能為2C．橢圓的離心率的取值范圍為D．若，則橢圓的長半軸長為【答案】AC【分析】利用橢圓的定義計算判斷A；點在橢圓內(nèi)建立不等式，推理計算判斷BC；求出點的坐標(biāo)，列出方程計算判斷D作答.【詳解】對于A，由，得，則，當(dāng)三點共線時取等號，A正確；對于B，由點在橢圓內(nèi)部，得，則，有，橢圓的短軸長大于2，B錯誤；對于C，因為，且，于是，即，解得，即，因此，橢圓的離心率的取值范圍為，C正確；對于D，由，得為線段的中點，即，則，又，即，解得，則，橢圓的長半軸長為，D錯誤.故選：AC    【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍． 三、填空題13．若圓與圓（）相內(nèi)切，則         ．【答案】1【分析】由兩圓相內(nèi)切知圓心距等于半徑差的絕對值，列方程求解即可.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為2；圓的圓心為，半徑為1．所以兩圓圓心間的距離為，由兩圓相內(nèi)切得，解得：．由于，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14．已知是數(shù)列的前項和，若，，.則          ．【答案】【分析】根據(jù)遞推得到，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列中公式求解即可.【詳解】，則，所以,,.當(dāng)時，，,.所以從第二項起，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.【點睛】由求通項公式一定要注意檢驗的情況，本題中很容易錯解認(rèn)為數(shù)列是等比數(shù)列.15．已知函數(shù)在處取得極值10，則a＝      ．【答案】4【分析】根據(jù)函數(shù)在處有極值10，可知（1）和（1），可求出.【詳解】由，得，函數(shù)在處取得極值10，（1），（1），，或，當(dāng) 時，，在處不存在極值；當(dāng)時，，，，，，符合題意.故答案為：4.16．已知函數(shù)與有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為       .【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，并確定在處的切線方程，根據(jù)恒過定點，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】的定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；，在處的切線方程為：；恒過定點，若與有兩個不同交點，則與圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)或時，與有兩個不同交點；即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)，（1）求在處的切線方程；（2）當(dāng)時，求的最小值.【答案】（1）；（2）1【詳解】分析：(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線的斜率為 ，再根據(jù)點斜式求切線方程，(2)先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最小值取法.詳解：,, (2),,,,1[1,2]2 +0-0+  1 點睛：利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用或求單調(diào)區(qū)間；第二步：解得兩個根；第三步：比較兩根同區(qū)間端點的大小；第四步：求極值；第五步：比較極值同端點值的大?。?/span>18．已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的項和．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）通過證明為常數(shù)，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列.（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列的通項式，帶入，利用錯位相減法即可求出數(shù)列的項和.【詳解】解：（1）因為，①所以.②當(dāng)時，由①-②得，即，所以.當(dāng)時，，即，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知所以所以，③則，④由③-④，得，所以.【點睛】本題主要考查了數(shù)列通項的求法，以及求數(shù)列前項和中的錯位相減法，屬于中檔題.19．近期衢州市文化藝術(shù)中心進(jìn)行了多次文藝演出，為了解觀眾對演出的喜愛程度，現(xiàn)隨機調(diào)查了、兩地區(qū)的200名觀眾，得到如下所示的2×2列聯(lián)表. 非常喜歡喜歡合計6030  合計   若用分層抽樣的方法在被調(diào)查的200名觀眾中隨機抽取20名，則應(yīng)從區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”的觀眾中抽取8名.(1)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.(2)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從地區(qū)隨機抽取3人，設(shè)抽到喜愛程度為“非常喜歡”的觀眾的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.050.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)表格見解析，沒有(2)2 【分析】（1）補全列聯(lián)表，根據(jù)公式計算結(jié)合臨界表值進(jìn)行判斷即可；（2）由題意分析計算觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率為，隨機變量然后結(jié)合二項分布的概率公式得分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）依題意，B區(qū)為“非常喜歡”的觀眾人數(shù)為，表格補充完整如下 非常喜歡喜歡合計6030908030110合計14060200零假設(shè)為：觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)無關(guān).所以沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系．（2）從A地區(qū)隨機抽取1人，抽到的觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率從A地區(qū)隨機抽取3人，則，X的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123所以．20．已知為數(shù)列的前項和，，，.（1）求證：為等差數(shù)列；（2）若，問是否存在，對于任意，不等式成立.【答案】（1）證明見解析；（2）存在,或.【分析】（1），可得，可得：，時，．時，，化為，進(jìn)而證明結(jié)論．（2）由（1）可得：，可得．通過作差：，可判斷數(shù)列的單調(diào)性．【詳解】（1）證明：，，可得：，時，．時，，，可得．為等差數(shù)列，公差為，首項為．（2）解：由（1）可得：．．．可知：．可得時，；時，．．存在或，對于任意，不等式成立．【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、作差法、數(shù)列的單調(diào)性、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21．已知橢圓C：的離心率為，點P（1，）在橢圓C上，直線l過橢圓的右焦點與橢圓相交于A，B兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）在x軸上是否存在定點M，使得為定值？若存在，求定點M的坐標(biāo)；若不在，請說明理由．【答案】（1）；（2）在軸上存在定點，使得為定值.【分析】（1）由橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，以及，，的關(guān)系，解方程可得，，，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）假設(shè)在軸上存在定點，使得得為定值．設(shè)，，，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運算性質(zhì)可得，令，解得即可得出．【詳解】解：（1）橢圓：的離心率為，可得，，點在橢圓上，可得，解得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）假設(shè)在軸上存在定點，使得為定值.設(shè)，，橢圓的右焦點為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，化為，則，，.令，解得，可得，因此在軸上存在定點，使得為定值.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、定值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．22．已知函數(shù)（）.（1）若曲線在點處的切線方程為，求a的值；（2）若是函數(shù)的極值點，且，求證：.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）求出切線方程，與對比系數(shù)即可；（2），令，通過討論知，且，從而，再由確定出的范圍即可獲證.【詳解】解：（1）由題意知，的定義域為，，則，又， 所以曲線在點處的切線方程為，即， 所以，解得.（2）由（1）得，，顯然.令，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增取b滿足，則，，所以.又，所以存在，使得，此時. 又當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增， 所以為函數(shù)的極小值點，且.令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，∴ ；令，則.所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以，所以.【點睛】本題考查已知切線方程求參數(shù)值以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，涉及到了不等式放縮，這里要強調(diào)一點，在證明不等式時，通常是構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理，本題是一道有高度的壓軸解答題. 

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