2022-2023學(xué)年山西省懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則下列關(guān)系中正確的是A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A. 3．設(shè)平面向量，，若，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩向量平行得出坐標(biāo)中的，即可求出的值.【詳解】由題意，∵，，，∴，解得，∴∴故選：A.4．在中，若，，，則的面積為（    ）．A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)面積公式即可求解.【詳解】∵，∴，∴面積．故選：B5．圓臺(tái)的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺(tái)的高為 (　　)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由題意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.故選A.6．已知，是第三象限的角，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再根據(jù)，最后利用二倍角余弦公式求得可得答案．【詳解】解：，是第三象限的角故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．7．在中，，的面積為2，則三角形外接圓的半徑為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的面積公式，求得，再由余弦定理求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由三角形的面積公式，可得，解得，又由，可得，由正弦定理，所以.故選：C.8．將函數(shù)的圖象向左或向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先化簡(jiǎn),則,再由可得是的對(duì)稱軸,進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>,則,由得函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以,所以,因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),可得,即,即的最小值為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查三角函數(shù)的平移變換,考查正弦型函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用. 二、多選題9．已知，復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則B．若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，則C．若復(fù)數(shù)z的模為，則D．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則【答案】ABD【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)類型判斷A，B選項(xiàng)，再根據(jù)模長(zhǎng)判斷C選項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限得出參數(shù)范圍判斷D選項(xiàng)即可. 【詳解】，A中，若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則，且，得．故A正確；B中，若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，則，得．故B正確；C中，若復(fù)數(shù)z的模為，則，得．故C不正確；D中，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，且，得．故D正確．故選：ABD. 10．已知向量，，則下列結(jié)論正確的有（    ）．A． B．與同向的單位向量是C． D．與垂直【答案】ABC【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可判斷A；根據(jù)單位向量和數(shù)乘向量的概念可判斷B；根據(jù)向量夾角公式可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，，所以，故A正確；對(duì)于B，，所以與同向的單位向量是，即，故B正確；對(duì)于C，由，因?yàn)?/span>，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span> ，所以與不垂直，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.11．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D為AB的中點(diǎn)，且，，則（    ）．A． B．面積的取值范圍為C．周長(zhǎng)的取值范圍為 D．CD長(zhǎng)度的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可由余弦定理求解A，結(jié)合不等式即可求解BC,利用向量的模長(zhǎng)，即可求解D.【詳解】由正弦定理可得，整理得，所以，又，所以．故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以,故面積的取值范圍為，B正確，對(duì)于C，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由于故周長(zhǎng)的范圍，故C正確，對(duì)于D，由于，所以，由于，所以，故D正確，故選：BCD12．設(shè)函數(shù)（，是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則下列說法正確的是（    ）A．的最小正周期為πB．的單調(diào)遞減區(qū)間為，C．圖像的對(duì)稱軸為直線，D．的圖像可由的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】ABD【分析】由單調(diào)性和函數(shù)值分析周期，得出相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，求得周期后得，然后得值，最后利用余弦函數(shù)性質(zhì)確定減區(qū)間，對(duì)稱軸，并利用圖象變換判斷各選項(xiàng)．【詳解】由在區(qū)間上具有單調(diào)性可知，的最小正周期T滿足，所以.又因?yàn)?/span>，所以，在同一個(gè)周期內(nèi)且，故圖像的一條對(duì)稱軸為直線.又由，知圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，且所求得的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心是相鄰的，所以，得，即，故A正確；又因?yàn)?/span>圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，所以，，由知，，則，由，，解得，，故B正確；令，，得，，故C錯(cuò)誤；的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖像，故D正確.故選：ABD. 三、填空題13．已知與是兩個(gè)單位向量，且向量與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為        ．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】向量在向量上投影向量為，故答案為：14．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則        ．【答案】2【分析】由已知可求得，再由正弦定理即可求出【詳解】由，得，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，．由正弦定理，得．故答案為：2.15．已知函數(shù)y=sin（x+）（>0, -<）的圖象如圖所示，則=________________ .  【答案】【詳解】由圖可知， 16．已知直三棱柱，，，，，則直三棱柱的外接球的表面積為      ．【答案】【分析】利用余弦定理求出,再利用正弦定理求出底面外接圓的圓心，根據(jù)幾何關(guān)系求出直三棱柱的外接球半徑，最后利用外接球表面積公式即可求解.【詳解】過球心作底面的垂線,連接,,由已知得,,設(shè)圓的外接圓半徑為，直三棱柱的外接球的半徑為，因?yàn)?/span>為△的外心，所以由正弦定理得，解得，所以,所以,故答案為：.   四、解答題17．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．(1)求b的值；(2)若，求復(fù)數(shù)的模和的共軛復(fù)數(shù)．【答案】(1)(2)；的共軛復(fù)數(shù)為 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可根據(jù)純虛數(shù)的定義求解，（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可由共軛復(fù)數(shù)的定義以及模長(zhǎng)公式求解.【詳解】（1）．因?yàn)?/span>z是純虛數(shù)，所以且，所以．（2）,所以．的共軛復(fù)數(shù)為．18．已知，，．(1)求的值；(2)求向量與夾角的正切值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；（2）先求得，，再根據(jù)夾角公式可得，進(jìn)而根據(jù)同角三角關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，因?yàn)?/span>，則，所以．（2）由（1）可得：，，所以，，設(shè)與的夾角為，則，可得，則，所以，即向量與夾角的正切值是．19．據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．（1）試計(jì)算出圖案中圓柱與球的體積比；（2）假設(shè)球半徑．試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.【答案】（1）（2）體積：. 表面積：【解析】（1）利用球和圓柱的體積公式求解即可；（2）由球的半徑得出圓錐的底面半徑以及高，進(jìn)而得出母線長(zhǎng)，再由圓錐的體積公式以及圓的面積公式，扇形的面積公式得出圓錐的體積和表面積.【詳解】（1）設(shè)球的半徑為，則圓柱底面半徑為，高為圓柱的體積 球的體積 圓柱與球的體積比為：（2）由題意可知：圓錐底面半徑為，高為圓錐的母線長(zhǎng)： 圓錐體積：. 圓錐表面積：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的體積和表面積，圓柱和球的體積，屬于中檔題.20．中，.（1）求；（2）若，且，求面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）通過正弦定理把中的邊換成角的正弦值，化簡(jiǎn)求得cosB，進(jìn)而求得sinB．（2）通過余弦定理求得c，代入三角形的面積公式，進(jìn)而求得△ABC的面積．【詳解】（1）由正弦定理，得即sinBcosC+cosBsinC＝3sinAcosB∴sin（B+C）＝3sinAcosB∵A+B+C＝180°∴sinA＝3sinAcosB∵0°＜A＜180°∴cosB∴sinB（2）由余弦定理，cosB，再由b＝4，a＝c，cosB得c2＝24∴S△ABCacsinBc2sinB＝821．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x-．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象．若關(guān)于x的方程g（x）-k=0，在區(qū)間[0，]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（Ⅰ）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]，k∈Z（Ⅱ）[，1]【分析】（Ⅰ）先化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)三角形的函數(shù)的最小正周期的定義和函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出， （Ⅱ）根據(jù)圖象的變換可得g（x），求出g（x）的值域即可求出k的范圍．【詳解】（Ⅰ）f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T==π，由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為+kπ，+kπ]，k∈Z，（Ⅱ）將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到g（x）=sin（x+），∵0≤x≤,∴≤x≤，∴≤sin（x+）≤1，∴≤g（x）≤1∴關(guān)于x的方程g（x）-k=0，在區(qū)間[0，]上有實(shí)數(shù)解，即圖象g（x）與y=k，有交點(diǎn)，∴≤k≤1，故k的取值范圍為[，1]．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的運(yùn)用能力和化簡(jiǎn)能力，平移變換的規(guī)律，數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．22．記△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦的二倍角公式以及兩角和的余弦公式求解；（2）利用正弦定理以及基本不等式求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，即，所以；（2）由（1）知，，所以，所以，則，而，所以，即有,所以,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為． 

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