絕密★啟用前山西省懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題試卷總分：150分；考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題（共12小題，每小題5.0分，共60分）1．直線的傾斜角為（    ）A．              B．                C．             D．2．某地有四個(gè)信箱，現(xiàn)有三封信需要郵寄出去，所有郵寄方式一共有（    ）A．               B．                C．                D．3．大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村的小學(xué)進(jìn)行支教，若每個(gè)村的小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村的小學(xué)的概率為（    ）A．               B．                 C．                D．4．如圖，，分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，，，，則異面直線與所成的角為（    ）A．              B．                C．             D．5．的展開式中，的系數(shù)（    ）A．              B．5                  C．35                D．506．過點(diǎn)且與原點(diǎn)相距為1的直線共有（    ）A．0條               B．1條               C．2條               D．3條7．已知某種商品的廣告費(fèi)支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間具有線性相關(guān)關(guān)系，利用下表中的五組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為．根據(jù)該回歸方程，預(yù)測當(dāng)時(shí)，，則（    ）234562539505664A．9.4                B．9.5                C．9.6                D．9.88．有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有（    ）A．240種             B．192種             C．96種              D．48種9．已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率（    ）A．               B．                 C．                D．10．某次數(shù)學(xué)小測一共7道題，其中選擇題4道，填空題3道，從中任意選3道題，下列事件中概率等于的是（    ）A．有1道或2道填空題                      B．有2道或3道填空題C．至少有1道填空題                        D．恰有2道填空題11．已知，兩點(diǎn)以及圓，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是（    ）A．             B．               C．             D．12．（    ）A．          B．            C．        D． 二、填空題（共4小題，每小題5.0分，共20分）13．若隨機(jī)變量，則________．14．如圖，在平行四邊形中，，分別為邊，的中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．若，則________．15．對(duì)一個(gè)物理量做次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測量________次（若，則）．16．如圖，點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下面四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積不變；②平面；③；④平面平面．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．（寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)） 三、解答題（共6小題共70分，17題10分，其余各題每題12分）17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)、、．（1）求邊所在直線的方程；（2）邊上中線的方程為，邊上高線過原點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來務(wù)工人員選擇就地過年．某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格： 區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)外來務(wù)工人數(shù)/萬3456就地過年人數(shù)/萬2.5344.5（1）請用相關(guān)系數(shù)說明與之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求關(guān)于的線性回歸方程；（2）假設(shè)該市政府對(duì)外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼．（ⅰ）若該市區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；（ⅱ）若區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為，，該市政府對(duì)甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1500元，求的取值范圍．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．19．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為與的交點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．20．有一名高中學(xué)生盼望2021年進(jìn)入某大學(xué)學(xué)習(xí)，假設(shè)具備以下條件之一均可被該大學(xué)錄取：①2021年年初通過M考試進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)（考試資格需要通過參加比賽獲得）；②2021年3月參加自主招生考試，考試通過，參加2021年6月高考且高考分?jǐn)?shù)達(dá)到本科一批分?jǐn)?shù)線；③2021年6月參加高考且分?jǐn)?shù)達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于本科一批分?jǐn)?shù)線）．已知該學(xué)生具備參加比賽、自主招生考試和高考的資格，且該學(xué)生估計(jì)自己通過各種考試的概率如下表：獲得考試資格通過自主招生考試高考分?jǐn)?shù)達(dá)到本科一批分?jǐn)?shù)線高考分?jǐn)?shù)達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線0.50.60.90.7若該學(xué)生獲得考試資格，則該學(xué)生估計(jì)自己進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)的概率是0.2，若進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，則提前錄取，若未被錄取，則按②③的順序依次嘗試．若該學(xué)生因具備某一條件被錄取后，不再考慮是否具備后面的條件．（1）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；（2）求該學(xué)生參加考試的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）求該學(xué)生被該校錄取的概率．21．已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線對(duì)稱，與軸相切，被直線截得的弦長為．（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)，求過點(diǎn)的圓的切線方程．22．“碳達(dá)峰”“碳中和”成為今年全國兩會(huì)熱詞，被首次寫入政府工作報(bào)告．碳達(dá)峰就是二氧化碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后再慢慢減下去；碳中和是指在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量通過植樹造林、節(jié)能減排等方式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．2020年9月，中國向世界宣布了2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和的目標(biāo)．某城市計(jì)劃通過綠色能源（光伏、風(fēng)電、核能）替代煤電能源，智慧交通，大力發(fā)展新能源汽車以及植樹造林置換大氣中的二氧化碳實(shí)現(xiàn)碳中和．該城市某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了若干汽車5年內(nèi)所行駛的里程數(shù)（萬千米）的頻率分布直方圖，如圖．（1）求的值及汽車5年內(nèi)所行駛里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）據(jù)“碳中和羅盤”顯示：一輛汽車每年行駛1萬千米的排碳量需要近200棵樹用1年時(shí)間來吸收．根據(jù)頻率分布直方圖，該城市每一輛汽車平均需要多少棵樹才能夠達(dá)到“碳中和”？（3）該城市為了減少碳排量，計(jì)劃大力推動(dòng)新能源汽車，關(guān)于車主購買汽車時(shí)是否考慮對(duì)大氣污染的因素，對(duì)300名車主進(jìn)行了調(diào)查，這些車主中新能源汽車車主占，且這些車主在購車時(shí)考慮大氣污染因素的占20%，燃油汽車車主在購車時(shí)考慮大氣污染因素的占10%．根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)情況，補(bǔ)全下面列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認(rèn)為購買新能源汽車與考慮大氣污染有關(guān)． 考慮大氣污染沒考慮大氣污染合計(jì)新能源汽車車主   燃油汽車車主   合計(jì)   附：，其中．0.100.0250.0100.0050.0012.7065.0246.6357.87910.828高二理科數(shù)學(xué)月考三答案解析一、選擇題DDCBA    CBBBA    DD二、填空題13．10    14．    15．32    16．（1）（2）（4）三、解答題17．答案：（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)解析：解：（1）由、得邊所在直線方程為，即          4分（2）∵在上，，又∵高過原點(diǎn)，∴，∴，綜上．          6分18．答案：（1）（2）（ⅰ）估計(jì)該市政府需要給區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為1750萬元（ⅱ）解析：（1）由題，，，，，，所以相關(guān)系數(shù)，因?yàn)?/span>與之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，所以可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，，故關(guān)于的線性回歸方程為．          5分（2）（ⅰ）將代入，得，故估計(jì)該市政府需要給區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為（萬元）          2分（ⅱ）設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，，，．所以，所以，由，得，又，所以，故的取值范圍為．          5分19．答案：（1）見解析；（2）解析：（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以．又，所以平面．又平面，所以平面平面．          4分（2）解法一  設(shè)，在菱形中，由，可得，．因?yàn)?/span>，所以在中可得．由平面，得為直角三角形，則，得．如圖，過點(diǎn)作直線，因?yàn)?/span>平面，所以平面，又，所以建立空間直角坐標(biāo)系．，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．          8分解法二  設(shè)，則，，．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，與平面所成角的大小為．因?yàn)?/span>平面，平面，所以．因?yàn)?/span>，所以為等腰直角三角形．因?yàn)?/span>，所以，．因?yàn)?/span>，所以，所以．在中，，，則．在中．．由，得．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．20．答案：（1）0.9；（2）；（3）0.838解析：（1）設(shè)該學(xué)生獲得考試資格為事件，該學(xué)生獲得考試資格后，進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)為事件，則，，該學(xué)生參加自主招生考試的概率．          4分（2）該學(xué)生參加考試的次數(shù)的所有可能取值為2，3，4，，，．所以的分布列為2340.10.50.4．          4分（3）設(shè)該學(xué)生通過自主招生考試并且高考分?jǐn)?shù)達(dá)到本科一批分?jǐn)?shù)線被錄取、未通過自主招生考試但高考分?jǐn)?shù)達(dá)到該校的錄取分?jǐn)?shù)線被錄取分別為事件、事件．則，，，所以該學(xué)生被該校錄取的概率          4分21．答案：（1）；（2）或解析：（1）由題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，∵圓關(guān)于直線對(duì)稱，∴∵圓與軸相切：∴①點(diǎn)到的距離為：，∵圓被直線截得的弦長為，∴，結(jié)合①有：，∴，又，∴，，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．          6分（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為．又圓的圓心為，半徑，由，解得．所以直線方程為，即即直線的方程為或．          6分22．答案：（1）由，解得．設(shè)為汽車5年內(nèi)所行駛里程的平均值，則（萬千米）        3分（2）由（1）可知，一輛汽車1年內(nèi)所行駛里程的平均值為（萬千米）．因?yàn)橐惠v汽車每年行駛1萬千米的排碳量需要近200棵樹用1年時(shí)間來吸收，所以每一輛汽車平均需要（棵）樹才能夠達(dá)到“碳中和”．          4分（3）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下： 考慮大氣污染沒考慮大氣污染合計(jì)新能源汽車車主104050燃油汽車車主25225250合計(jì)35265300所以．因?yàn)?/span>，所以沒有99%的把握認(rèn)為購買新能源汽車與考慮大氣污染有關(guān)．          5分

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