2022-2023學(xué)年四川省成都東部新區(qū)養(yǎng)馬高級中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列幾何體中，面的個數(shù)最小的是（    ）A．四面體 B．四棱錐 C．三棱柱 D．三棱臺【答案】A【分析】根據(jù)棱柱棱錐得結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.【詳解】四面體有個面，四棱錐有個面，三棱柱有個面，三棱臺有個面，所以下列幾何體中，面的個數(shù)最小的是四面體.故選：A.2．已知，，則的值為 （    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式可求得的值.【詳解】由題意知，，故選：D.3．在△ABC中，已知角A、B、C所對邊長分別為a，b，c，其中a，c為方程的兩根，，則△ABC的面積為（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的面積公式可求解.【詳解】因為a，c為方程的兩根，所以所以故選：C4．一個菱形的邊長為4，一個內(nèi)角為60°，將菱形水平放置并且使較長的對角線成橫向，則此菱形的直觀圖的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出菱形面積，根據(jù)直觀圖和原圖面積之間的關(guān)系，即可得答案.【詳解】如圖，菱形，,  則為正三角形，故,故菱形面積為,根據(jù)直觀圖面積與原圖面積的關(guān)系式,可得此菱形的直觀圖的面積為，故選：C5．在中，內(nèi)角的對邊分別為，則“”是“是鈍角三角形”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可化簡求得，可知充分性成立；通過反例可說明必要性不成立，由此可得結(jié)論.【詳解】由得：，，，即，，，，，為鈍角三角形，充分性成立；若為鈍角三角形，且為鈍角，則，，必要性不成立；綜上所述：“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件.故選：A.6．已知，則（    ）A．－3 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡條件，再利用二倍角公式將目標(biāo)式化為齊次式，代入正切值可得.【詳解】因為，所以.故選：B.7．在中，已知角所對邊長分別為，且滿足，為的中點，，則（    ）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立關(guān)系式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，為的中點，，如圖，在中，根據(jù)余弦定理可得，，在中，根據(jù)余弦定理可得，，又因為，所以故有，得到，即，所以，故選：C.8．已知點A在線段BC上（不含端點），O是直線BC外一點，且，則的最小值是（    ）A． B．C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線定理推論可得且，再根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】由，得，又因為點A在線段BC上（不含端點），O是直線BC外一點，所以且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是.故選：B. 二、多選題9．以鈍角三角形的某條邊所在的直線為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體可以是（    ）A．兩個圓錐拼接而成的組合體B．一個圓臺C．一個圓錐D．一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐【答案】AD【分析】考慮以鈍角三角形的最長邊還是較短邊為軸旋轉(zhuǎn)，判斷得到的幾何體形狀，可確定A,D，排除B,C.【詳解】以鈍角三角形的最長邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是兩個同底圓錐拼接而成的組合體，所以A正確；以鈍角三角形的較短邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體都是一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐，所以D正確；同時排除B,C；故選：AD.10．函數(shù)，則以下結(jié)論中正確的是（    ）A．在上單調(diào)遞減 B．直線 為圖象的一條對稱軸C．的最小正周期為 D．在上的值域是【答案】AC【分析】化簡得到，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸和周期值域依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，對選項A：在上單調(diào)遞減，正確；對選項B：不是圖像的對稱軸，錯誤；對選項C：的最小正周期為，正確；對選項D：，則，，錯誤.故選：AC11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，則（    ）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或【答案】ABD【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求出可判斷A；求出向量、以及的模，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷B；根據(jù)投影向量的定義求出在方向上的投影向量可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出與垂直的單位向量，判斷D.【詳解】因為，所以，A正確因為，所以，所以，即為直角三角形，B正確；設(shè)與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量為，C錯誤；因為，設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，D正確，故選：ABD．12．在中，角所對的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C．若，則的面積是15 D．若，則外接圓半徑是【答案】AD【分析】設(shè)，，，，求出，，，根據(jù)正弦定理可判斷A正確；根據(jù)平面向量數(shù)量積和余弦定理可判斷B不正確；根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可判斷C不正確；根據(jù)余弦定理和正弦定理可判斷D正確.【詳解】設(shè)，，，，則，，，對于A ，，故A正確；對于B ，，故B不正確；對于C，若，則，，，所以，所以，所以的面積是，故C不正確；對于D，若，則，則，則，，，所以，，所以外接圓半徑為.故D正確.故選：AD 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)z滿足，i是虛數(shù)單位，則      .【答案】【分析】由，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)即可．【詳解】由，得.故答案為：.14．如圖是函數(shù)的部分圖象，則      ．【答案】【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的周期，即可求得，再利用待定系數(shù)法求出，即可得解.【詳解】由圖可知，則，所以，則，由，且點在減區(qū)間上，得，所以，又，所以，所以，故.故答案為：.15．如圖，某林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個觀測點B和C，在B點處觀測到C的方位角為，B點和C點相距25千米．某日兩個觀測站都觀測到了A處出現(xiàn)火情，在B點處觀測到A的方位角為．在C點處，觀測到A的方位角為，則觀測站C與火情A之間的距離為        ．【答案】千米【分析】由正弦定理求解即可【詳解】在中，，，，，由正弦定理可得，即，所以（千米），所以觀測站與火情之間的距離為千米故答案為：千米16．在中，若，AD是BC邊上的高，，則AD的最大值為      ．【答案】【分析】先利用余弦定理求出角，再利用基本不等式結(jié)合三角形得面積公式求出三角形面積得最大值，再利用等面積法即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，又，所以，即，所以AD的最大值為.故答案為：. 四、解答題17．已知向量,.(1)當(dāng)時,求；(2)當(dāng)，，求向量與的夾角.【答案】(1)或(2) 【詳解】（1）向量,，則，.由,可得即，即，解得或,當(dāng),則,則,所以，當(dāng)，， ，綜上    .（2）由,,則由,可得,解得,所以,, 又,所以.18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值及取得最小值時x的值.【答案】（1）π；；（2）當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為．【分析】（1）利用二倍角降冪公式、輔助角公式可得出，利用周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期，解方程可得出函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)；解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由，計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)的最小值以及對應(yīng)的的值.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為.由，可得，函數(shù)的對稱中心為；解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為．【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期、對稱中心、單調(diào)區(qū)間以及最值的求解，解題的關(guān)鍵就是要將三角函數(shù)解析式化簡，借助正弦函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19．在中，，，，D是邊BC上一點，，設(shè)，．(1)試用，表示；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意可得、，結(jié)合平面向量的線性運算即可求解；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，結(jié)合數(shù)量積的運算律計算即可求解.【詳解】（1）∵D是邊BC上一點，，∴，又∵，，得，∴．（2）∵，，，∴，．20．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換可得，即可求解；（2）利用正弦定理可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）由結(jié)合正弦定理可得，因為，所以，所以，即因為，所以，因為，所以；（2）由正弦定理可得所以，因為，所以，所以21．目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣表平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰為37°，測得基站頂端A的仰角為45°.(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當(dāng)x多大時，觀測基站的視角∠ACB最大？參考數(shù)據(jù):.【答案】(1)(2)，∠ACB最大 【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；（2）易得，分別在在和在中，求出，再根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式求出取得最大值時，的值，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由題意可知，，在中，，所以，在中，，所以出山高；（2）由題意知，且，則，在中，，在中，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以取得最大值時，，又因為，所以此時最大，所以當(dāng)時，最大.22．已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且，．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若的圖像經(jīng)過點，，求函數(shù)在區(qū)間，上的取值范圍．【答案】(1)(2)， 【分析】(1)通過兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用對稱軸求出，求解函數(shù)的周期．(2)通過的范圍求出相位的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）向量，，，函數(shù)，所以，由直線是圖像的一條對稱軸，可得，所以，即．又，，所以時，．所以的最小正周期是．（2）由(1)可知，若的圖像經(jīng)過點，，則，解得，所以，由，得，所以，得，故函數(shù)在區(qū)間，上的取值范圍為，． 

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