2022-2023學(xué)年山東省臨沂市蘭陵縣第十中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=，則=（　?。?/span>A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即得.【詳解】因?yàn)?/span>，∴所以.故選：B.2．已知向量，若，則λ=（    ）A．-2或 B．-2或C．-2 D．【答案】B【分析】根據(jù)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，消去解一元二次方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，且，所以，即，消去可得，解得或，故選：B.3．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（　?。?/span>A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系和平面與平面的位置關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對選項(xiàng)A，若，，則與的位置關(guān)系是平行，相交和異面，故A錯誤.對選項(xiàng)B，若，，則與的位置關(guān)系是平行和相交，故B錯誤.對選項(xiàng)C，若，，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得與的位置關(guān)系是平行，故C正確.對選項(xiàng)D，若，，則與的位置關(guān)系是平行和相交，故D錯誤.故選：C4．若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件利用平方法得到向量數(shù)量積的數(shù)值，結(jié)合向量數(shù)量積與夾角之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：非零向量與滿足，平方得，即，則，由，平方得，得，即，則，，設(shè)向量與夾角為，則向量與夾角的余弦值，，，故選：．5．已知一張邊長為2的正方形紙片繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)弧度，則該紙片掃過的區(qū)域形成的幾何體的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可知該幾何體為圓柱的八分之一，求其表面積即可.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)邊長為2的正方形紙片繞著一條邊旋轉(zhuǎn)弧度，所形成的幾何體為柱體的一部分，是底面半徑r為2,高h為2的圓柱的八分之一，所以其表面積，故選：C6．如圖在梯形中，，，設(shè)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題中，由向量的線性運(yùn)算，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，又，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查用基底表示向量，熟記平面向量基本定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.7．正方體 中，分別為的中點(diǎn)，則與平面所成角的正切值為A． B．C． D．【答案】D【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以是與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為，則，所以與平面所成的角的正切值為.故選：D.【解析】直線與平面所成的角.8．棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn).下列說法不正確的是（    ）A．點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，三棱錐體積不變B．點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，直線始終與平面平行C．平面平面D．三棱錐的體積為【答案】D【分析】點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，的面積不變，到平面的距離不變，即可判斷A；通過證明平面平面，結(jié)合平面判斷B；由面面垂直的判定定理判斷C；利用三棱錐的體積公式求出判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，的面積為矩形的面積的一半，到平面的距離不變，又，所以三棱錐的體積不變，故A說法正確；選項(xiàng)B，點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，由分別是的中點(diǎn)，可得，，又，，平面，平面，所以平面平面，又平面，始終與平面平行，故B說法正確；選項(xiàng)C，因?yàn)樵谡襟w中，，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C說法正確；選項(xiàng)D，，利用等體積法知，故D說法錯誤，    故選：D 二、多選題9．若復(fù)數(shù)，則（    ）A．|z|=2 B．|z|=4C．z的共軛復(fù)數(shù)=+i D．【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤.，C選項(xiàng)正確.，D選項(xiàng)錯誤.故選：AC10．在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】ACD【分析】對于選項(xiàng)A，利用是平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，從而判斷出結(jié)果的正誤；對于選項(xiàng)B，先假設(shè)結(jié)論成立，從而得出，再利用條件得出矛盾，從而判斷出結(jié)果的正誤；對于選項(xiàng)C，利用線面平行的判斷定理，通過條件易得，從而得出結(jié)果的正誤；對于選項(xiàng)D，由條件易知，再利用，從而得出結(jié)果的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，如圖連接，，，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又平面，故平面，故A正確；選項(xiàng)B，若平面，DD1在面BDD1B1內(nèi)，則，因?yàn)?/span>，所以，顯然矛盾，所以與平面不垂直，故B錯誤；選項(xiàng)C，連接，在中，因?yàn)?/span>，分別是，的中點(diǎn)，所以為中位線，所以，又平面，平面，故平面，故C正確；選項(xiàng)D，由題意知平面，因?yàn)?/span>平面，所以，又，所以，故D正確.故選：ACD.11．在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（    ）A．，，則的外接圓半徑是4B．若，則C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則【答案】BC【解析】根據(jù)正弦定理可求出外接圓半徑判斷A，由條件及正弦定理可求出，可判斷B,由余弦定理可判斷C，取特殊角可判斷D.【詳解】由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故A錯誤；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；因?yàn)?/span>，所以C為鈍角，一定是鈍角三角形，故C正確；若，顯然，故D錯誤.故選：BC12．如圖，已知分別是的中點(diǎn)，分別在上，，二面角的大小為，且平面，則以下說法正確的是（    ）  A．四點(diǎn)共面B．平面C．若直線交于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D．若的面積為6，則的面積為3【答案】ACD【分析】由題意證出即可判斷A項(xiàng)；假設(shè)B項(xiàng)正確，然后利用直線與平面平行的性質(zhì)得出，從而推出與已知條件矛盾的結(jié)論，可判斷B項(xiàng)；利用基本事實(shí)3可判斷C項(xiàng)；通過作出二面角的平面角，從而找到與的公共邊上的高之間的關(guān)系，從而求出結(jié)果，可判斷D項(xiàng).【詳解】由知EF平行且等于，又分別是的中點(diǎn)，所以GH平行且等于，∴，因此E，F，G，H四點(diǎn)共面，A項(xiàng)正確；假設(shè)平面ADC成立，因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以，又G是BC的中點(diǎn)，所以F是AB的中點(diǎn)，與矛盾，B項(xiàng)不正確；因?yàn)橹本€交于點(diǎn)，所以，，因?yàn)?/span>平面，，所以平面，同理平面，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，所以P，A，C三點(diǎn)共線，因此C正確；在平面內(nèi)作，垂足為，連接，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，又因?yàn)?/span>平面，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，即，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，所以，所以，D正確.故選：ACD. 三、填空題13．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為           .【答案】【分析】利用純虛數(shù)概念即可求出結(jié)果.【詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，則，故答案為：.14．如果，則           .【答案】【分析】利用向量運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】由，得.故答案為：.15．在三棱錐中，，G為的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為         .【答案】8【分析】如圖所示，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F．過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N．可得四點(diǎn)EFMN共面，進(jìn)而得到，根據(jù)比例可求出截面各邊的長度，進(jìn)而得到周長．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F  過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N.由作圖可知：EN∥FM，∴四點(diǎn)EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.∴可得EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.∴截面的周長為8.故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理，屬于中檔題．16．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)，，處測得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度           米.【答案】【分析】設(shè)，由邊角關(guān)系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結(jié)合可解得的值，進(jìn)而可得長.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因?yàn)?/span>，所以①②兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：. 四、解答題17．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量與夾角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)，可得，即可求出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；（Ⅱ）首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依題意，可得，即，所以，因?yàn)?/span>，所以與的夾角大小是．18．如圖，該幾何體的三個(gè)側(cè)面，，都是矩形.（1）證明：平面∥平面；（2）若，，為中點(diǎn)，證明：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】由側(cè)面是矩形可得，利用線面平行的判定定理可得平面，同理可得：平面，再由面面平行的的判定定理即可得證；由側(cè)面是矩形可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得，利用已知條件，為中點(diǎn)可得，，利用線面垂直的判定定理即可得證.【詳解】證明∵側(cè)面是矩形，∴.又∵平面，平面，∴平面.同理可得：平面.∵，∴平面∥平面.（2）∵側(cè)面都是矩形，∴.又∵，，∴平面.∵平面，∴.∵為的中點(diǎn)，，∴都是等腰直角三角形，∴，，即.而，∴平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中線面平行、面面平行的判定定理和線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理的靈活運(yùn)用；其中判定定理和性質(zhì)定理的靈活轉(zhuǎn)換是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.19．已知向量，，．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，，，若，求的周長．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求得解析式，然后求得的最小正周期.（2）利用正弦定理化簡已知條件，求得，結(jié)合余弦定理求得，進(jìn)而求得三角形的周長.【詳解】（1），所以的最小正周期為.（2），由正弦定理得，，由于，所以，由余弦定理得，即，所以三角形的周長為.20．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)E在棱上（異于點(diǎn)P，C），平面與棱交于點(diǎn)F.（1）求證：；（2）若，求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)四邊形是矩形，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得到.（2）根據(jù)四邊形是矩形，所以，再由，，得到，又，利用線面垂直的判定定理得到平面，再利用面面垂直的判定定理證明.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以.又平面，平面，所以平面.因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以.（2）因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以.因?yàn)?/span>，，所以.又，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)），所以點(diǎn)異于點(diǎn)，所以.又，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，性質(zhì)定理以及線面垂直，面面垂直的判定定理，還考查了轉(zhuǎn)化回歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.21．在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）;（2）【詳解】試題分析：（1）由平面向量的數(shù)量積定義與正弦定理進(jìn)行化簡的值，進(jìn)而求教B;（2）利用余弦定理與基本不等式進(jìn)行求解．試題解析：（1）由題意得（a－c）cosB＝bcosC．根據(jù)正弦定理有（sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，所以sinAcosB＝sin（C＋B），即sinAcosB＝sinA．因?yàn)?/span>sinA>0，所以cosB＝，又B∈（0，π），所以B＝．（2）因?yàn)?/span>||＝，所以即b＝根據(jù)余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝（2－）ac（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號），即ac≤3（2＋）．故△ABC的面積S＝acsinB≤．【解析】1．正弦定理；2．余弦定理；3．基本不等式．22．在中，，，分別是角，，的對邊，并且．（Ⅰ）已知_______，計(jì)算的面積；請從①，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，將問題（Ⅰ）補(bǔ)充完整，并作答．（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）根據(jù)余弦定理求出，若選擇①，②，根據(jù)余弦定理求出，然后根據(jù)面積公式可求得結(jié)果；若選擇①，③，根據(jù)正弦定理和余弦定理求出及與的關(guān)系，根據(jù)面積公式可求得結(jié)果；若選擇②，③，根據(jù)正弦定理求出，再根據(jù)面積公式可求得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，通過三角函數(shù)恒等變換化簡得，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（Ⅰ），由余弦定理知，，，．選擇①②：，，即，解得或（舍負(fù)），則的面積；選擇①③：由正弦定理知，，，，，，由構(gòu)成的方程組，解得，，則的面積．選擇②③：由正弦定理知，，，，則的面積．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，，，，，，故的最大值為1． 

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