2022-2023學(xué)年山西省孝義市高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．如圖所示，用符號語言可表達(dá)為（    ）  A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】結(jié)合圖形及點(diǎn)、線、面關(guān)系的表示方法判斷即可．【詳解】如圖所示，兩個(gè)平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點(diǎn)，故用符號語言可表達(dá)為，，，故選：A．2．在一次數(shù)學(xué)課堂上，郭老師請四位同學(xué)列舉出生活中運(yùn)用全面調(diào)查或抽樣調(diào)查的例子.小涼：邯鄲市今年“五一”前后的氣溫；小爽：判斷某種新藥是否有效；小夏：“山西新聞聯(lián)播”的收視率；小天：近年來我市普通高中人學(xué)人數(shù).其中，通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)的是（    ）A．小涼 B．小爽 C．小夏 D．小天【答案】C【分析】根據(jù)收集數(shù)據(jù)的不同方法，逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】邯鄲市今年“五一”前后的氣溫，通過觀察獲取數(shù)據(jù)；判斷某種新藥是否有效，通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)；“山西新聞聯(lián)播”的收視率，通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)；近年來我市普通高中人學(xué)人數(shù)，通過查詢獲得數(shù)據(jù).故選：C.3．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則角等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】在中，，即，由余弦定理可得，由于，故．故選：A．4．已知參加數(shù)學(xué)競賽決賽的人的成績分別為：、、、、、、、、、、、、、，則這人成績的第百分位數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將成績由小到大進(jìn)行排序，利用百分位數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】把成績按從小到大的順序排列為：、、、、、、、、、、、、、.因?yàn)?/span>，所以這人成績的第百分位數(shù)是.故選：C.5．對于直線和平面，"直線不在平面上"是""的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面之間的關(guān)系即可得解.【詳解】直線不在平面上或與相交，故"直線不在平面上"是""的必要不充分條件.故選：B.6．2023年4月，國內(nèi)豬肉、雞蛋、鮮果、禽肉、糧食、食用油、鮮菜價(jià)格同比（與去年同期相比）的變化情況如圖所示，則下列說法正確的是（    ）  A．豬肉、雞蛋、鮮果、禽肉、糧食、食用油這6種食品中，食用油價(jià)格同比漲幅最小B．豬肉價(jià)格同比漲幅超過禽肉價(jià)格同比漲幅的5倍C．去年4月鮮菜價(jià)格要比今年4月低D．這7種食品價(jià)格同比漲幅的平均值超過7%【答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算可得答案.【詳解】由圖可知，糧食價(jià)格同比漲幅比食用油價(jià)格同比漲幅小，故A不正確；豬肉價(jià)格同比漲幅為，禽肉價(jià)格同比漲幅為，，故B不正確；因?yàn)轷r菜價(jià)格同比漲幅為，說明去年4月鮮菜價(jià)格要比今年4月高，故C不正確；這7種食品價(jià)格同比漲幅的平均值為，故D正確.故選：D7．已知平面與平面的夾角為，為平面、外一定點(diǎn)，則過點(diǎn)且與平面，所成角都是的直線有（    ）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】D【分析】過點(diǎn)作平面垂直于平面、的交線，并且交直線于點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)在平面內(nèi)作的平分線，以為軸在的角平分面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)題意可得出有兩條直線滿足題意；以點(diǎn)為軸在平面內(nèi)前后轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)題意可得出有兩條直線滿足題意，綜合可得結(jié)果.【詳解】首先給出下面兩個(gè)結(jié)論：①兩條平行線與同一個(gè)平面所成的角相等；②與二面角的兩個(gè)面成等角的直線在二面角的平分面內(nèi)或平行于角平分面.（1）如圖1，過二面角內(nèi)任一點(diǎn)作棱的垂面，交棱于點(diǎn)，    與兩半平面交于、，因?yàn)?/span>平面，、平面，所以，，，則為二面角的平面角，則，設(shè)為的平分線，則，與平面、所成的角都是，此時(shí)過點(diǎn)且與平行的直線符合要求，當(dāng)以為軸心，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與兩平面的夾角會(huì)變小，會(huì)對稱地出現(xiàn)兩條符合成的情形；（2）如圖2，設(shè)為的補(bǔ)角的平分線，      則，與平面、所成的角都是，當(dāng)以為軸心，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與兩平面夾角變小 ，對稱地在圖2中的兩側(cè)會(huì)出現(xiàn)的情形，有兩條，此時(shí)，過點(diǎn)且與平行的直線符合要求，有兩條.綜上所述，符合條件的直線有條.故選：D.8．已知四面體的所有棱長均為10，點(diǎn)在直線上，則到的距離的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將四面體補(bǔ)成正方體，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，證明為的公垂線，即可得解.【詳解】將四面體補(bǔ)成正方體，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如圖，  則，分別為，的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>且，故四邊形為平行四邊形，則且，又因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以且，故四邊形為平行四邊形，故且，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，即，同理可得，故到的距離最小值為.故選：C. 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的性質(zhì)與模的運(yùn)算公式逐一判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，與都是虛數(shù)不能比較大小，B錯(cuò)誤；對于C，，C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?/span>，所以，D正確.故選：AD.10．已知，是2條不同的直線，，，是3個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（    ）A．若，，則B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】ACD【分析】利用面面平行的性質(zhì)判斷AD；由與的可能位置關(guān)系判斷B；利用線面垂直的性質(zhì)判斷C作答.【詳解】對于A，，，則，A正確；對于B，若，，則與的位置關(guān)系是平行或相交，B錯(cuò)誤；對于C，若，，由線面垂直的性質(zhì)得與平行，C正確；對于D，，，由面面平行的性質(zhì)，得，D正確.故選：ACD11．已知樣本：的均值為4，標(biāo)準(zhǔn)差為2，樣本：的方差為4，則樣本和樣本的（    ）A．平均數(shù)相等 B．方差相等 C．極差相等 D．中位數(shù)相等【答案】BC【分析】設(shè)樣本的均值為，方差為，極差為，中位數(shù)為，則由已知條件可得，，然后分和兩種情況討論求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，B，C，設(shè)樣本的均值為，方差為，極差為，中位數(shù)為，則，，，所以，，當(dāng)時(shí)，樣本：；樣本：，可得樣本的平均數(shù)為，樣本的平均數(shù)為，樣本和樣本的極差相等為，方差也相等為4，故B，C正確；選項(xiàng)D，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則樣本的中位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，樣本：；樣本：，可得樣本的平均數(shù)為，樣本的平均數(shù)為，樣本和樣本的極差相等為，方差也相等為4，故B，C正確；選項(xiàng)D，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則樣本的中位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．如圖，設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為的斜坐標(biāo)系，在的斜坐標(biāo)系中：設(shè)，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，記，則在的斜坐標(biāo)系中下列說法正確的是（    ）  A．設(shè)，，若，則，B．設(shè)，則C．設(shè)，，則D．設(shè)，，則與的夾角為【答案】AC【分析】根據(jù)的斜坐標(biāo)系的定義結(jié)合題意和向量數(shù)量積的運(yùn)算律逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】，.對于A，即，則，，A正確；對于B，，即，B錯(cuò)誤；對于C，由，，得，C正確；對于D，若，，則，，，.由，可得，即，D不正確.故選：AC. 三、填空題13．已知，，若，則      .【答案】【分析】根據(jù)，可得，求出，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算得坐標(biāo)表示及模得坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，解得，所以，所以.故答案為：.14．如圖所示的是的直觀圖，其中，則的周長為      .  【答案】【分析】作出原圖形，求出各邊邊長，即可得出原三角形的周長.【詳解】在直觀圖中，，，則，故為等腰直角三角形，所以，，故原圖形中，，，故的周長為.  故答案為：.15．某校對學(xué)生在暑假期間每天的讀書時(shí)間做了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，如下表： 平均數(shù)方差人數(shù)高一2.71800高二3.12600高三3.33600則全體學(xué)生每天讀書時(shí)間的方差為      .【答案】1.966【分析】先求出全體學(xué)生每天讀書時(shí)間的平均數(shù)，再利用方差公式可求全體學(xué)生每天讀書時(shí)間的方差【詳解】由題意可得，總的平均數(shù)為，所以方差為.故答案為：1.966.16．已知正四棱錐的底面邊長為2，四棱錐的外接球的表面積為，則四棱錐的體積為      .【答案】或 【分析】設(shè)底面中心為，連接，，，由四棱錐的外接球的表面積為，可得外接球半徑，分球心在四棱錐內(nèi)部和球心在四棱錐外部，分別求出的值，再根據(jù)體積公式求解即可.【詳解】解：如圖所示，當(dāng)球心在四棱錐內(nèi)部時(shí)，  設(shè)底面中心為，連接，，，因?yàn)樗睦忮F的外接球的表面積為，即，解得外接球半徑.在中，，即，解得或1（舍去），所以;當(dāng)球心在四棱錐外部時(shí)，同理可得或2（舍去），所以；所以四棱錐的體積為或.故答案為：或 四、解答題17．某果園試種了，兩個(gè)品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計(jì)了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記，兩個(gè)品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和.（單位）55505060708080808590（單位）45606080755580807095(1)求，，，；(2)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計(jì)算結(jié)果分析選種哪個(gè)品種更合適？并說明理由.【答案】(1)，，，(2)選擇品種，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差公式可得.（2）根據(jù)方差的意義可得.【詳解】（1），，，.（2）由可得，兩個(gè)品種平均產(chǎn)量相等，又，則品種產(chǎn)量較穩(wěn)定，故選擇品種.18．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，.(1)求；(2)若的周長為6，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊換角再結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可得到答案；（2）利用余弦定理得，結(jié)合三角形周長及即可求出的值，最后利用三角形面積公式即可.【詳解】（1）由題意，在中，，∵，∴，即，∴，∵，，∴，可得，解得.（2）在中，由余弦定理，得，∵的周長為6，，所以.則，.∴，∴的面積為.19．如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn). 證明：  (1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）連接，設(shè)，連接，利用中位線的性質(zhì)證得，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：連接，設(shè)，連接.因?yàn)?/span>且，所以，四邊形為平行四邊形，因?yàn)?/span>，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，平面.  （2）證明：在正三棱柱中，平面.因?yàn)?/span>平面，所以，.因?yàn)?/span>為正三角形，為中點(diǎn)，所以，.因?yàn)?/span>，、平面，所以，平面.又因?yàn)?/span>平面，所以，平面平面.20．唐三彩，中國古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點(diǎn)，在中國文化中占有重要的歷史地位，在中國的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆，唐三彩的生產(chǎn)至今已有多年的歷史，對唐三彩的復(fù)制和仿制工藝，至今也有百余年的歷史.某陶瓷廠在生產(chǎn)過程中，隨機(jī)抽取件工藝品測得其質(zhì)量指標(biāo)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分成以下六組、、、、，得到如下頻率分布直方圖.  (1)求出直方圖中的值；(2)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該廠所生產(chǎn)的工藝品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到）；(3)現(xiàn)規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值小于的為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于的為一等品.已知該廠某月生產(chǎn)了件工藝品，試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，估計(jì)其中一等品和二等品分別有多少件.【答案】(1)(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為(3)一等品有個(gè)，二等品有個(gè) 【分析】（1）在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，可求得的值；（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，將所得乘積全部相加，可得出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為，可求得中位數(shù)的值；（3）分析可知個(gè)工藝品中一等品有個(gè)，二等品有個(gè)，利用分層抽樣可求得件工藝品中一等品和二等品的數(shù)量.【詳解】（1）解：在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，則，得.（2）解：平均數(shù)為，因?yàn)?/span>，，所以中位數(shù)在第組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得.所以，可以估計(jì)該廠所生產(chǎn)的工藝品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為，中位數(shù)為.（3）解：由頻率分布直方圖可知個(gè)工藝品中二等品有個(gè)，一等品有個(gè)，該廠生產(chǎn)的件工藝品中一等品有個(gè)，二等品有個(gè)，所以一等品有個(gè)，二等品有個(gè).21．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn).  (1)證明：平面；(2)作出平面截四棱錐所得截面，并說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)四邊形，理由見解析 【分析】（1）在中，由余弦定理求出，然后由勾股定理的逆定理可得，再由面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）取棱中點(diǎn)為，連接，，，則四邊形即為所求截面，然后利用平面的性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】（1）證明：在中，由余弦定理可知，可得，由，得，所以.又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面.（2）解：如圖，取棱中點(diǎn)為，連接，，，則四邊形即為所求截面，理由如下：因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以∥，又∥，所以∥.即，，，四點(diǎn)共面.故四邊形即為所求截面.  22．如圖，在四邊形中，，，，，為邊的中點(diǎn).  (1)若，求的面積；(2)當(dāng)變化時(shí)，求長度的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可求出，又是等腰直角三角形，易求出的面積.（2）取中點(diǎn)，連接，，設(shè)，，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，在中，根據(jù)余弦定理可求出是關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)求最值即可得答案.【詳解】（1）在中，由余弦定理，得.取中點(diǎn)，連接，，∵，，為的中點(diǎn)，∴，.則的面積.  （2）設(shè)，，∵，分別為邊，的中點(diǎn)，∴，，，在中，由余弦定理，得.由正弦定理，得.在中，，由余弦定理，得，令，，∴，∴，則，.令，易知在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，.∴長度的最大值為.【點(diǎn)睛】本題的第2問是難點(diǎn)，求長度的最大值，關(guān)鍵是求出的表達(dá)式.本題設(shè)，，利用正，余弦定理建立關(guān)系式，消元，最終得到是關(guān)于的三角函數(shù)式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題. 

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