高二年級(jí)2022~2023學(xué)年期中考試數(shù) 學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．4.本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則集合（    ）A.{－2，2}   B. {0，2，3}   C.{0，2}  D.{2}2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（    ）A.  B.  C.  D.3.過(guò)點(diǎn)（2，1）的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A.  B.  C.  D.4.設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（    ）A. 8   B. 16   C. 2  D. 45.直線，是分別經(jīng)過(guò)A（2，1），B（0，－3）兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)，間的距離最大時(shí)，直線的方程是（    ）A.  B.  C.  D.6.已知過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，Q為線段AB的中點(diǎn)，P為拋物線C上任意一點(diǎn)，若的最小值為6，則p＝（    ）A. 2   B.3   C. 6   D． 67.過(guò)圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓C：的兩條切線，兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓C內(nèi)不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的周長(zhǎng)為（    ）A.3π   B.  C.  D.48.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），M是雙曲線的左支上的一點(diǎn)，線段MF與圓B：相切于點(diǎn)D，且，則雙曲線的逝近線方程為（    ）A.   B.  C.  D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（    ）A.復(fù)數(shù)z的實(shí)部為   B.復(fù)數(shù)z的虛部為C.復(fù)數(shù)z的模為   D.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為10.已知方程表示曲線C，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A.“”是“曲線C為雙曲線”的充分不必要條件B.“”是“曲線C為橢圓”的充要條件C.若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D.若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則11. 如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，＝4，且，PD⊥底面ABCD，若點(diǎn)D到平面PAC的距離為，則（    ）A.       B.C.四棱錐P－ABCD的體積為4  D.三棱錐P－BCD的外接球的半徑為12.已知函數(shù)，函數(shù)，則（    ）A.函數(shù)f（x）的值域?yàn)?/span>（0，＋∞）B.存在實(shí)數(shù)m，使花C.若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D.若函數(shù)g（x）恰好有5個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g（x）的5個(gè)零點(diǎn)之積的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線：與：垂直，則a＝        ．14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓：被直線截得的弦長(zhǎng)2，則實(shí)數(shù)a的值為        ．15.在底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱中，，則與平面所成角的正弦值為        ．16.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q分別是以線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限內(nèi)和第三象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為        ．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.（本小題滿分10分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知．（1）求A；（2）若△ABC的面積為，BC邊上的高為，求b，c．18.（本小題滿分12分）已知拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（a，a）（a為正數(shù)），F為拋物線的焦點(diǎn)，且．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)Q為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段FQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．19.（本小題滿分12分）如圖，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱上，且．（1）證明：⊥平面ADE；（2）求平面ADE與平面的夾角的大小．20.（本小題滿分12分）已知橢圓：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)（，）在橢圓上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線AB的垂線，垂足為D．若點(diǎn)D恰好是與A的中點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度．21.（本小題滿分12分）已知圓T過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（2，）．P是圓T外的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l交圓T于M，N兩點(diǎn)．（1）求圓T的方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，－4），探究：無(wú)論直線l的位置如何變化，|PM|·|PN|是否恒為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知圓T與圓W：相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22.（本小題滿分12分）已知雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為，右焦點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為1．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若，F，N三點(diǎn)共線，證明：直線l經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)．   高二年級(jí)2022~2023學(xué)年期中考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.【答案】C【解析】由，解得，所以集合，所以．故選C．2.【答案】D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知，所求準(zhǔn)線方程為．故選D．3.【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的方程為代入點(diǎn)（2，1）的坐標(biāo)，有·故所求雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選A．4.【答案】B【解析】由橢圓的定義可知，則的周長(zhǎng)為，故選B．5.【答案】A【解析】由題意可得，間的距離最大時(shí)，AB和這兩條直線都垂直．由于AB的斜率為，故直線的斜率為－．故它的方程是，化簡(jiǎn)為，故選A．6.【答案】C【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)Q作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，交拋物線C于點(diǎn)P，連接PF，如圖，于是，在拋物線C上任取點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)P重合且為O時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為p＝6，故選C．7.【答案】B【解析】設(shè)圓的動(dòng)點(diǎn)為P（m，n），過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則過(guò)點(diǎn)P，A，B的圓是以PO直徑的圓，該圓的方程為由可得AB的直線方程為．原點(diǎn)到直線的距離為，故圓C不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的周長(zhǎng)為π，故選B．8.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，畫(huà)圖有由，可知，又由，可知，有，在中，得故雙曲線的漸近線方程為，故選D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.【答案】ACD【解析】復(fù)數(shù)，故z的實(shí)部為，虛部為，．故選ACD．10.【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若方程表示的曲線為雙曲線，則，解得或，故“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的充分不必要條件，故選A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若曲線C表示為橢圓，則，可得且，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，，可得，故選C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，可得，故選項(xiàng)D正確，故選AD．11.【答案】BCD【解析】因?yàn)榈酌?/span>ABCD是平行四邊形，AB＝4，AD＝2，且，，所以，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則．設(shè)）是平面PAC的法向量，因?yàn)?/span>，則，令，得．、設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為d，因?yàn)?/span>所以，解得．故B選項(xiàng)正確，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，四棱錐P－ABCD的體積為，故C選項(xiàng)正確；取PC的中點(diǎn)O，易知O為三棱錐的外接球的球心，可知R＝，故D選項(xiàng)正確．故選BCD．12.【答案】BD 【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，可知函數(shù)f（x）的值域?yàn)?/span>，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若時(shí)，若，有，函數(shù)和的圖象有交點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，令，由，設(shè)，①當(dāng)≤0時(shí)，得，舍去；②當(dāng)時(shí)，，可得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)．∵函數(shù)恰好有5個(gè)不同的零點(diǎn)，∴方程（有5個(gè)根，可得，有或，不妨設(shè)，可知，可得，故．故選項(xiàng)D正確，故選BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.【答案】－3【解析】由，可得．14.【答案】±【解析】因?yàn)?/span>，所以圓心O到直線的距離，所以，解得．15.【答案】【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 因?yàn)槔庵?/span>為正四棱柱，，則，其中平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則＝16.【答案】【解析】設(shè)，由點(diǎn)P在第一象限，知，因?yàn)?/span>P，Q在橢圓C和以為直徑的圓上，所以四邊形為矩形，，由，可得，由橢圓的定義可得①平方相減可得②由①②得．令，令，所以，即，所以，所以，所以，解得．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.【答案】（1） （2）或【解析】（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理得．．．．．．．．．．．．．．3分又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以．．．．．．．．．．．5分（2）由，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又由，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又由余弦定理有，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分聯(lián)立方程解得或或或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.【答案】（1）  （2）【解析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（a，a），可得，可得．．．2分又，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分解得故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，則，設(shè)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分根據(jù)點(diǎn)M為線段FQ的中點(diǎn)，可得即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分由點(diǎn)Q為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，可得整理可得點(diǎn)M的軌速方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.【答案】（1）略   （2）【解析】（1）證明：在矩形中，BC＝2，，D為BC的中點(diǎn)．所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因?yàn)?/span>△ABC是正三角形，D為BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>是正三棱柱，所以⊥平面ABC而AD平面ABC，所以，而平面，所以⊥平面，因?yàn)?/span>平面，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因?yàn)?/span>平面ADE，，所以平面ADE；．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，．．．．．．．．．．．．．．．7分則，由（1）知為平面ADE的一個(gè)法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 有，設(shè)為平面的法向量，則令，則，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以．．．．．．．．．．．．．11分所以平面ADE與平面的夾角大小為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.【答案】（1）   （2）【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，因?yàn)?/span>，所以．．．．．．．．．．．．．．1分所以，有，可得橢圓C的方程為．．．．．．．．．．．．．3分代入點(diǎn)，有，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)k＞0，由，D為的中點(diǎn)，可得，又由，若E為橢圓C的上頂點(diǎn)，有|OE|＝2，故點(diǎn)A，E重點(diǎn)，直線AB的方程為．．．．．．9分由，得，所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【答案】（1）   （2）無(wú)論l的位置如何變化，，為定值（3）【解析】（1）設(shè)圓T的一般方程為，．．．．．．．．．．．．．．1分代入A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)有．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故圓T的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）①當(dāng)直線軸時(shí)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分②當(dāng)直線l有斜率時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與圓的方程消元得，設(shè)，則，有或．．…7分由于點(diǎn)P在圓外，所以，因此，綜上，無(wú)論l的位置如何變化為定值．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由W：，可知，．．．．．．．．．．．．9分由圓T，W相交，有．．．．．．．．．．．．10分①當(dāng)時(shí)，不等式（*）可化為，解得；②當(dāng)時(shí)，不等式（*）可化為，解得，由上知實(shí)數(shù)a的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【答案】（1）   （2）略【解析】（1）設(shè)右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c，0），雙曲線C的漸近線方程為，右焦點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又由，可得，有，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）證明：由（1）知，雙曲線C的方程為C：，右焦點(diǎn)F（2，0），因直線l與x軸不垂直且斜率不為0，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)（t，0），直線l的方程為，設(shè)，則，由，消去y并整理得．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分顯然有且，化簡(jiǎn)得且，則．．．．．．．．．．．．．6分，而三點(diǎn)共線，即，，因此，又，有，整理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分于是得，化簡(jiǎn)得即直線l：過(guò)定點(diǎn)（，0）所以直線l經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)（．0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

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