2022-2023學(xué)年甘肅省武威市天祝藏族自治縣第一中學(xué)高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（    ）A． B．1 C．1或 D．或0【答案】B【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.【詳解】因為z是純虛數(shù)，所以，解得．故選：B．2．下列結(jié)論錯誤的是（    ）A．圓柱的每個軸截面都是全等矩形 B．長方體是直四棱柱，直四棱柱不一定是長方體C．用一個平面截圓錐，必得到一個圓錐和一個圓臺 D．四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體【答案】C【分析】直接利用圓柱，直棱柱，圓臺，圓錐的定義判斷ABCD的結(jié)論．【詳解】對于A：由矩形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓柱，可得圓柱的每個軸截面都是全等矩形，故A正確；對于B：長方體是直四棱柱，直四棱柱不一定是長方體，故B正確；對于C：用一個平行于底面的平面截圓錐，必得到一個圓錐和一個圓臺，故C錯誤；對于D：四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體，故D正確．故選：C3．已知向量，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加減法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示和運(yùn)算求解即可.【詳解】因為向量，，，所以，即，則.故選:B.4．下列條件中，能得出直線與平面平行的是（    ）A．直線與平面內(nèi)的所有直線平行B．直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行C．直線與平面沒有公共點(diǎn)D．直線與平面內(nèi)的一條直線平行【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的判定，線面平行的性質(zhì)逐個辨析即可.【詳解】對A，直線與平面內(nèi)的所有直線平行不可能，故A錯誤； 對B，當(dāng)直線在平面內(nèi)時，滿足直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但與不平行；對C，能推出與平行；對D，當(dāng)直線在平面內(nèi)時，與不平行.故選：C.5．若，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角的范圍，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式，利用兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.6．如圖，在正方體中，的中點(diǎn)為Q，過A，Q，三點(diǎn)的截面是（    ）  A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】D【分析】取的中點(diǎn)P，連接PQ、、、和，確定，，得到答案.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)P，連接PQ、、、和，，分別是，的中點(diǎn)，故，且，，故，，故四點(diǎn)共面，故四邊形是過A，Q，三點(diǎn)的截面，且四邊形是梯形．故選：D．  7．某車間生產(chǎn)一種圓錐型高腳杯，杯口直徑為，高為R，將該高腳杯裝滿水（水面與杯口齊平），現(xiàn)將一直徑為的小鐵球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入（整個鐵球在水面以下）水中并靜止后，從杯口溢出水的體積為高腳杯容積的，則（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓錐型高腳杯的體積、小鐵球的體積，由從杯口溢出水的體積為高腳杯容積的可得答案.【詳解】由題可得圓錐型高腳杯的體積，小鐵球的體積為，由題可得，即. 故選：B.8．在中，，且，是的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則的值為（    ）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】建系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵是線段的中點(diǎn)，∴，∴，，，∴，∴.故選：C.   二、多選題9．已知a，b，c是3條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法不正確的有（    ）A．若，，則B．若a與b垂直，b與c垂直，則a與c垂直C．若，，，則a與b一定是異面直線D．若a，b與所成的角均為，則【答案】BC【分析】由基本事實(shí)4判斷A；由直線與直線的位置關(guān)系判斷B；由面面平行的性質(zhì)判斷C；由線面垂直的性質(zhì)判斷D．【詳解】對于A，若，，則，所以A正確；對于B，若a與b垂直，b與c垂直，則a與c可能相交、平行或異面，所以B錯誤；對于C，若，，，則a與b可能異面，也可能平行，所以C錯誤；對于D，若a，b與所成的角均為，則，，可得，所以D正確．故選：BC．10．下列說法正確的是（    ）A．復(fù)數(shù)的虛部為B．方程的復(fù)數(shù)根為C．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D．復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)【答案】BD【分析】化簡即可判斷A項；根據(jù)韋達(dá)定理，即可得出B項；化簡得出，求出共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷C項；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出D項.【詳解】對于A，，虛部為3，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，，則，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，C不正確；對于D，復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，D正確.故選：BD.11．在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則（    ）A． B．的取值范圍是C． D．的取值范圍是【答案】ABD【分析】由三角形的正弦定理和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡可得，可判斷AC；再由銳角三角形的定義可判斷B；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D．【詳解】因為，由正弦定理可得，即，即有，因為為銳角三角形，，所以，即，故正確，C錯誤；由，，且，解得，故B正確；而，故D正確．故選：ABD．12．如圖所示，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，，為線段上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（    ）  A． B．平面C．二面角的大小為定值 D．的最小值為【答案】CD【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得出；對于B，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得出；對于C，由二面角的定義即可判斷；對于D，將側(cè)面和展開在一個平面內(nèi)，結(jié)合余弦定理即可得出.【詳解】對于A，平面，平面，，假設(shè)，又平面PAD，平面，又平面，，而四邊形為正方形，與矛盾，所以假設(shè)錯誤，故不正確，故A不正確；對于B，設(shè)，連接，假設(shè)平面，  又平面平面，則，在中，因為為的中點(diǎn)，則必為的中點(diǎn)，這與為線段上的動點(diǎn)矛盾，所以假設(shè)錯誤，故B不正確；對于C，為線段上的動點(diǎn)，二面角的大小即為二面角的大小，因為二面角的大小為定值，所以二面角的大小為定值，故C正確；對于D，平面，平面，，為等腰直角三角形，平面，平面，，即，又四邊形為正方形，，平面PAD，平面，平面，，為直角三角形，如圖，將側(cè)面和展開在一個平面內(nèi)，，連接，當(dāng)處在與的交點(diǎn)處時，取得最小值，此時，在中，由余弦定理，得，所以的最小值為，故D正確.   故選：CD. 三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則           ．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由，得，則．故答案為：.14．如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形較長的對角線的長度為    ．  【答案】【分析】先利用斜二測畫法規(guī)則畫出該直觀圖對應(yīng)的原圖，進(jìn)而求得原圖形中較長的對角線的長度.【詳解】作出該直觀圖的原圖形，因為直觀圖中的線段軸，所以在原圖形中對應(yīng)的線段CB平行于x軸且長度不變，點(diǎn)和在原圖形中對應(yīng)的點(diǎn)C和B的縱坐標(biāo)是的2倍，則，，所以，，， 故原圖形較長的對角線長為．  故答案為：15．如圖所示的斜截圓柱是用一個平面從圓柱上截取而來，其側(cè)面可看成圓柱側(cè)面的一部分，已知圓柱底面的半徑為，母線長最短，最長，則該斜截圓柱的側(cè)面積為      ．  【答案】【分析】將兩個相同的斜截圓柱拼截在一起構(gòu)成一個圓柱求解.【詳解】將相同的兩個幾何體，對接為圓柱，則所求幾何體的側(cè)面積是新圓柱側(cè)面積的一半，則所求側(cè)面積為，故答案為：.  16．已知a，b，c分別為銳角的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則的取值范圍為      .【答案】．【分析】由正弦定理化角為邊，再由余弦定理求得，由銳角三角形得出角范圍，從而得的范圍，由正弦定理得，再化為的三角函數(shù)，由的范圍得出結(jié)論．【詳解】由已知，由正弦定理得，所以，，則，是銳角三角形，所以，，所以，，所以．故答案為：． 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)落在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是方程的一個根，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)17 【分析】（1）計算出，根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限列出不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)題意得也是方程的一個根，由兩根之和求出，進(jìn)而得到，計算出的值.【詳解】（1）.因為在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)落在第二象限，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）因為虛數(shù)是方程的一個根，所以也是方程的一個根，于是，解得.所以，，因此.18．已知，．(1)求；(2)求證：．【答案】(1)1(2)證明見解析 【分析】（1）由平方得，再利用計算即可；（2）計算，即可證明.【詳解】（1）由，得，所以，所以，所以．（2）因為，所以．19．已知，，其中，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用半角公式計算出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出，利用正弦差角公式進(jìn)行計算；（2）先求出，再利用差角公式計算，結(jié)合角的范圍求出，得到答案.【詳解】（1）因為，所以，.因為，所以，因為，所以，解得，所以.（2）因為，所以，則.因為，由，，得，所以.20．如圖，正三棱柱的所有棱長都等于2，E，F，G分別為，，AB的中點(diǎn)．  (1)求證：平面平面BEF；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面平面BEF；（2）先依據(jù)線面角定義作出與平面所成角，進(jìn)而求得其正弦值.【詳解】（1），F分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又F，G分別為，AB的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，又，EF，平面BEF，平面平面BEF．（2）在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)G作，垂足為H，連接．正三棱柱，平面ABC．又平面ABC，．又，BC，平面，平面．即為與平面所成的角．正三棱柱的所有棱長為2，G為AB中點(diǎn)，，，又，，．又，，．又，，，故與平面所成角的正弦值為．  21．如圖，在平面四邊形中，，設(shè).(1)若，求的長度；(2)若，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意求得，在中，利用余弦定理，即可求得的長；（2）根據(jù)題意求得，得到，在中，利用正弦定理求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）解：由題意得且，可得，在中，，由余弦定理可知：，所以.（2）解：因為，所以，又因為且，可得,在中，由正弦定理知，所以，即，可得，即.22．如圖，四棱錐中，底面ABCD，為等邊三角形，，，M是PB上一點(diǎn)，且，N是PC的中點(diǎn).  (1)求證：；(2)若二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）首先證明，再利用線面垂直的定義得，再利用線面垂直的判定定理證得面，則；（2）首先證明，再求出相關(guān)三角形面積和棱錐的高，最后利用等體積法和棱錐體積公式即可得到答案.【詳解】（1）因為為正三角形,所以,又,所以.又底面，底面，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）因為底面，底面，所以，由已知，又，且平面，所以 平面，又平面，所以，又，所以就是二面角的平面角，所以因為，則,在中，因為是正三角形，則易知，所以在中，，因為底面,平面,所以.知,所以的面積.因為,所以,又因為為中點(diǎn),所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由,得,解得,即點(diǎn)到平面的距離為,又,所以三棱錐的體積. 

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