2022-2023學(xué)年福建省廈門第一中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在五邊形中（如圖），（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)向量加減法，直接計算結(jié)果.【詳解】.故選：B2．已知點(diǎn)和向量，且，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求出點(diǎn)B的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，且，所以.設(shè)，則，解得：，即.故選：A3．在中，已知，，，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理，可求角.【詳解】在中，已知，，，則由正弦定理可得，即，求得，，或．再由，以及大邊對大角可得．故選：C4．已知向量，，則（　?。?/span>A．2 B．3 C．7 D．8【答案】C【解析】先求得，根據(jù)，得到，再結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，向量，可得，因?yàn)?/span>，可得，解得，即，所以.故選：C.5．設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)由已知可求得，則按照在方向上的投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，則，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.6．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)量積的定義及三角形面積公式求出的范圍，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】在中，，，因此，顯然，而正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：C7．是邊長為2的正方形邊界或內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的最大值是（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC方向?yàn)?/span>軸正方向，以BA方向?yàn)?/span>軸正方向建立坐標(biāo)系，  則，設(shè)，，，則，因?yàn)?/span>，則，則，故當(dāng)，時取得最大值為5．另解：令，則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，所以，當(dāng)為中點(diǎn)時取等．故選：C8．如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東北方，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個出口，若部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為（    ）A．千米 B．千米C．千米 D．千米【答案】D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等變換得到，進(jìn)而求得AB的最短距離.【詳解】在中，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，設(shè)，則，又到的距離為20千米，所以，，故（時取等號），所以，得，故選：D 二、多選題9．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成，巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個蜂巢的正六邊形ABCDEF，下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】BCD【分析】對A，可得與為相反向量，故A錯誤；對B，證明即得解；對C,求出即得解；對D，證明即得解.【詳解】對A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯誤；對B，由圖易得，直線平分，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有與共線且同方向，易知均為含的直角三角形，故，則，而，故，故，故B正確；對C，， ，則，又，， ，，故C正確；對D，由C知，則在上的投影向量為，故D正確.故選：BCD.10．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則B．若是銳角三角形，則不等式恒成立C．D．若，，三角形面積，則三角形外接圓半徑為【答案】ABC【分析】A．根據(jù)“大角對大邊”并結(jié)合正弦定理進(jìn)行判斷；B．根據(jù)進(jìn)行計算并判斷；C．根據(jù)正弦定理及其變形進(jìn)行計算并判斷；D．先根據(jù)三角形的面積公式求解出的值，然后根據(jù)余弦定理求解出的值，最后利用正弦定理求解出外接圓的半徑.【詳解】A．因?yàn)?/span>，所以，所以（為的外接圓半徑），所以，故正確；B．因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以，所以，所以，故正確；C．因?yàn)?/span>中（為的外接圓半徑），所以，所以，所以，所以，故正確；D．因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)的外接圓半徑為，所以，故錯誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解三角形中常用的一些結(jié)論（在中，邊對應(yīng)的角為）：（1）大邊對大角，小邊對小角；（2）若，則為鈍角三角形；若且為最大邊，則為銳角三角形（此處若不限定為最大邊，則無法得到結(jié)論）；（3）.11．給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（    ）A．若非零向量滿足，則與共線且同向B．若非零向量滿足，則與的夾角為C．若單位向量的夾角為，則當(dāng)取最小值時，D．在中，若，則為等腰三角形【答案】AD【分析】選項(xiàng)A：把平方得到，然后根據(jù)，得出，從而得出；選項(xiàng)B：根據(jù)得到以為三邊的三角形為等邊三角形，從而得到與的夾角為30°；選項(xiàng)C：利用平方法得到，從而判斷出時取最小值；選項(xiàng)D：根據(jù)題意分析出都為單位向量，從而得到向量所在的直線為角的角平分線，再根據(jù)條件，即可判斷為等腰三角形.【詳解】選項(xiàng)A：對非零向量，，若使成立，即使成立，則，即，所以與共線且同向，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：非零向量滿足，則以為三邊的三角形為等邊三角形，故與的夾角為30°，選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C：因?yàn)閱挝幌蛄?/span>的夾角為60°，所以，所以時，取最小值，故選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>都為單位向量，所以向量所在的直線為角的角平分線，又因?yàn)?/span>，即，所以，即為等腰三角形,所以選項(xiàng)D正確.故選：AD12．在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說法錯誤的是（    ）A．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的外心B．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的垂心C．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的重心D．若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的外心【答案】ABD【分析】由，結(jié)合向量共線的推論判斷的軌跡，討論形狀判斷A、B正誤；根據(jù)重心的性質(zhì)得判斷C；根據(jù)題設(shè)確定，，點(diǎn)的軌跡，討論形狀判斷D.【詳解】若，根據(jù)向量共線的推論知：共線，即在直線上，中，則的中點(diǎn)為三角形外心，故有可能為外心，A錯；中或，則或為三角形垂心，故有可能為垂心，B錯；若為的重心，必有，此時，C對；若，，結(jié)合，則點(diǎn)在一個以AB、AC為鄰邊的平行四邊形內(nèi)（含邊界），為銳角三角形，其外心在內(nèi)，則必過外心；為直角三角形，其外心為斜邊中點(diǎn)，則必過外心；為鈍角三角形且，其外心在外，即邊的另一側(cè)，如下圖示，點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)（含邊界），此時，當(dāng)外心在內(nèi)（含邊界），則必過外心；當(dāng)外心在外（如下圖為的中垂線），則不過外心；所以，，，的軌跡不一定過的外心，D錯.故選：ABD 三、填空題13．已知向量，，若，則與的夾角為      ．【答案】/【分析】先求向量的模，根據(jù)向量積，即可求夾角.【詳解】解：，，所以與的夾角為.故答案為：14．是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則          ．【答案】【分析】根據(jù)給定的條件，利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解作答.【詳解】在中，由，得，則，又，所以，解得．故答案為：15．已知中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足，，，則        .【答案】/【分析】根據(jù)題意和余弦定理化簡整理可得，進(jìn)而可得，求出A，結(jié)合正弦定理求出，即可得出結(jié)果.【詳解】由余弦定理，得，整理，得，又，所以，由，得，由正弦定理，得，所以，又，得，，所以.故答案為：.16．在中，中，，若，則面積的最大值為          ．【答案】【分析】利用切化弦化簡給定等式，再利用正弦定理、余弦定理變形，用A的正余弦表示邊c，然后用三角形面積公式結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】令內(nèi)角所對邊分別為，依題意，，即，由正弦定理得，由余弦定理得，整理得，又，因此，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為.故答案為： 四、解答題17．設(shè)向量 （1）若向量 與向量 平行，求 的值；    （2）若向量 與向量 互相垂直，求 的值.【答案】（1）；（2）1或.【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平行向量的判定定理求解即可；(2)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量垂直的判定定理求解即可.【詳解】（1），   向量 與向量 平行，（2）因?yàn)? ， ，  因?yàn)? 與 互相垂直，所以 ，      即 ，，解得 或 .18．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)6或 【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合，代換整理得，再結(jié)合倍角公式整理；（2）根據(jù)面積公式代入整理得，結(jié)合題意可得或，分情況討論處理．【詳解】（1）∵，則∵∴，即∵，則∴（2）∵△ABC的面積為，則∴根據(jù)題意得，則或若，則△ABC為等邊三角形，的周長為6；若，則，即，的周長為∴的周長為6或19．如圖所示，在中，是邊的中點(diǎn)，在邊上，與交于點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由三點(diǎn)共線，以及三點(diǎn)共線結(jié)合共線定理得出的值；（2）由得出，進(jìn)而得出，結(jié)合得出的值．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以①又，所以②由①②可得，（2）設(shè)，所以，解得所以.又，所以，即20．在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系）方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為.若巡邏船以30海里/小時的速度向正東方向追擊，則恰好1小時與可疑船只相遇.(1)求的值；(2)若巡邏船以海里/小時的速度進(jìn)行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時間，若不能，請說明理由.【答案】(1)(2)能夠攔截成功攔截，時間為2小時 【分析】（1）設(shè)1小時后兩船相遇于點(diǎn)C，根據(jù)關(guān)于y軸對稱，且，即可求解；（2）設(shè)t小時后兩船相遇于點(diǎn)D，利用余弦定理列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，直線的傾斜角為，若巡邏船以30海里/小時的速度向正東方向追擊，設(shè)1小時后兩船相遇于點(diǎn)C，如圖所示，則軸，，且關(guān)于y軸對稱，所以，所以.（2）解：若巡邏船以海里/小時進(jìn)行追擊，設(shè)t小時后兩船相遇于點(diǎn)D，如圖所示，則，，，，因?yàn)?/span>可得整理得，解得或（舍去），所以能夠攔截成功攔截時間為2小時.21．《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾頓在一塊四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將連接，經(jīng)測量，.(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，為一個定值，請你驗(yàn)證霍爾頓的結(jié)論，并求出這個定值；(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長與土地面積的平方呈正相關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求的最大值.【答案】(1)證明見解析，定值為(2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而得到，化簡即可求解；（2）根據(jù)面積公式可得，結(jié)合化簡可得，進(jìn)而求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，所以，即.所以無論多長，.（2），，則，由（1）知，，即，代入上式，得，配方得，當(dāng)時，取到最大值為.22．已知正的邊長為，內(nèi)切圓圓心為，點(diǎn)滿足.（1）求證：為定值；（2）把三個實(shí)數(shù)，，的最小值記為，b，c}，若，求的取值范圍；（3）若，，求當(dāng)取最大值時，的值.【答案】（1）51；（2）；（3）.【分析】（1）以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，依題意設(shè)，求得的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得結(jié)果；（2）由（1）求得，，，由對稱性考查時的情況可得結(jié)果；（3）依題意可得，令得，進(jìn)而由判別式法可求得結(jié)果.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.由正弦定理得外接圓半徑，則，進(jìn)而可得，.因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓上，故設(shè)，則，，，所以  （2）由（1）知，同理可得，，由對稱性下面考查時的情況，當(dāng)時，，，，此時，最??；當(dāng)時，，，不是最小，故的取值范圍是.（3），所以，代入整理得，，兩邊同時除以得：，令，則，即，所以，即，解得，所以（即）的最大值為.此時，，因此，所以，從而.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)和不等式問題. 

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