2022-2023學(xué)年福建省寧德第一中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】試題分析：由題意得 ，所以在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)為在第二象限．故選B．【解析】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義. 2．已知，，，則（    ）A．M，N，P三點(diǎn)共線 B．M，N，Q三點(diǎn)共線C．M，P，Q三點(diǎn)共線 D．N，P，Q三點(diǎn)共線【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算求，由此證明，根據(jù)向量共線性質(zhì)判斷結(jié)論.【詳解】，，，，，由平面向量共線定理可知，與為共線向量，又與有公共點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，故選：B．3．在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，且，記，，則A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量的運(yùn)算法則解題即可.【詳解】如圖， ．答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算法則，對(duì)此類題目，常用平行四邊形法則以及三角形法則來處理，屬于基礎(chǔ)題型.4．已知，，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?/span>，故，解得，故.故選：A.5．在中，若，，，則（    ）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解【詳解】根據(jù)正弦定理有，結(jié)合，，，則．故選：A6．平面向量，滿足，，，則在上投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】兩邊平方后求出，再利用投影向量的公式求解.【詳解】，其中，所以，解得，則在上投影向量為.故選：C7．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，不解三角形，確定下列判斷正確的是（    ）A．，，，有兩解 B．，，，有一解C．，，，有一解 D．，，，無解【答案】D【分析】已知，的前提下，利用直角構(gòu)造出關(guān)于的不等式，即可得出三角形的個(gè)數(shù)解.【詳解】因?yàn)?/span>，，如圖于，由直角可得.當(dāng)或時(shí)，有一解；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有兩解.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，可知，選項(xiàng)A，B，C三項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D8．在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)為，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，當(dāng)直線與直線相交時(shí)最大，問題得以解決【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)點(diǎn)為，，，，，，，，，，，①直線的方程為，②，聯(lián)立①②，解得，此時(shí)最大，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系將幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題 二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（    ）A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.【詳解】對(duì)于A：，其實(shí)部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；對(duì)于B：，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，D正確.故選：AD.10．下列說法中正確的是（    ）A．若，，且與共線，則B．若，共線，則存在實(shí)數(shù)使C．若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量，，都共線D．若，，且，則【答案】CD【分析】AB選項(xiàng)，可舉出反例；C選項(xiàng)，根據(jù)題意得到存在非零實(shí)數(shù)使得向量，故C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)平行得到方程，求出.【詳解】A選項(xiàng)，若，，滿足與共線，但不滿足，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，，滿足，共線，但不存在使，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則存在非零實(shí)數(shù)使得向量，故，，都共線，C正確；D選項(xiàng)，若，，且，則，解得，D正確.故選：CD11．下列說法中錯(cuò)誤的為（    ）A．已知，且與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．非零向量，，滿足且與同向，則D．非零向量和，滿足，則與的夾角為30°【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，得到且與不同向共線，列出不等式，得到答案；B選項(xiàng)，計(jì)算得到，平行，B正確；C選項(xiàng)，兩向量不能比較大?。?/span>D選項(xiàng)，設(shè)，計(jì)算出，，利用夾角余弦公式計(jì)算出答案.【詳解】A選項(xiàng)，，因?yàn)?/span>與夾角為銳角，所以且與不同向共線，故，且，解得且，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，故向量，平行，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；C選項(xiàng)，兩個(gè)向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，不妨設(shè)，故，解得，則，所以，故，因?yàn)?/span>，所以，則與的夾角為，D正確.故選：AC12．在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，則下列說法正確的是（    ）A．若，則的外接圓的面積為B．若，且有兩解，則b的取值范圍為C．若，且為銳角三角形，則c的取值范圍為D．若，且，O為的內(nèi)心，則的面積為【答案】ACD【分析】先由正弦定理得到，選項(xiàng)A，求出，進(jìn)而由正弦定理得到的外接圓的半徑和表面積；B選項(xiàng)，又余弦定理得到，將其看做關(guān)于的二次方程，結(jié)合方程有兩正解，得到不等式，求出b的取值范圍；C選項(xiàng)，由正弦定理結(jié)合得到，再根據(jù)為銳角三角形得到，從而得到c的取值范圍；D選項(xiàng)，由正弦定理得到，，結(jié)合三角恒等變換得到，從而得到，，，由求出，由直角三角形性質(zhì)得到內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求出的面積.【詳解】因?yàn)?/span>，所以由正弦定理，得，即 ，因?yàn)?/span>，所以，且，所以.選項(xiàng)A：若，則，所以的外接圓的直徑 ，所以，所以的外接圓的面積為，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由余弦定理得，將此式看作關(guān)于的二次方程，由題意得此方程有兩個(gè)正解，故 ，解得b，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由正弦定理，得 ，即，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以 ，即，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>，由正弦定理得，因?yàn)?/span>，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，故，，解得 ，因?yàn)?/span>，所以，即是直角三角形，所以內(nèi)切圓的半徑為，所以的面積為，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值. 三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的距離是      ．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則.故答案為：14．在中，若，，則的形狀是        .【答案】等腰直角三角形【分析】利用正弦定理將角化邊，在結(jié)合勾股定理可知，又從而可知，即可判斷形狀.【詳解】解：由，利用正弦定理，得，故是直角三角形，且，∴，，∴，由，可得，∴，由，∴，∴，，∴為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形15．設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)         ．【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>與平行，所以，則所以．【解析】向量共線．  四、雙空題16．已知扇形半徑為，，弧上的點(diǎn)滿足，則的最大值是  ；最小值是  ；【答案】          【詳解】以OB為x軸，過O做OB的垂線作y軸，建立平面直角坐標(biāo)系， ,,則,所以， ，（）.=.故答案為：；. 五、解答題17．已知點(diǎn)，，，M是線段的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M和的坐標(biāo)：(2)若D是x軸上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)D的坐標(biāo).【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)求出的坐標(biāo)；（2）設(shè)出，求出，根據(jù)平行得到方程，求出答案.【詳解】（1）是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故；（2）設(shè)，則，因?yàn)?/span>與平行，所以解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是.18．根據(jù)要求完成下列問題：(1)關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值；(2)若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的集合.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)方程的根為，并代入方程中，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到方程組，可得答案；（2）寫出的共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，列出不等式組，可得答案.【詳解】（1）設(shè)是其實(shí)根，代入原方程變形為，由復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得；（2）由題意得，且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，∴，即，解得，故實(shí)數(shù)的集合為.19．如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn).  (1)求；(2)求的余弦值.【答案】(1)(2)的余弦值為 【分析】(1)由條件可得，兩邊平方結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)可求，(2) 與的夾角相等，根據(jù)向量夾角公式可求其大小.【詳解】（1）又已知為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，又，，，所以，所以，（2）因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，又，所以,所以，，所以，又與的夾角相等，所以，所以的余弦值為.20．如圖，是某海域位于南北方向相距海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)南偏東30°的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)正西方向且與B點(diǎn)相距50海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為40海里/時(shí).(1)求兩點(diǎn)間的距離；(2)該救援船前往營救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）【答案】(1)30海里(2)南偏東；小時(shí) 【分析】（1）求得度數(shù)，根據(jù)正弦定理即可求得答案；（2）確定的度數(shù)，由余弦定理即可求得的長，即可求得救援時(shí)間，利用余弦定理求出的值，即可求得應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行.【詳解】（1）依題意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求兩點(diǎn)間的距離為30海里.（2）依題意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到達(dá)C處需要的時(shí)間為小時(shí)，在中，由余弦定理得 ,因?yàn)?/span>，所以，所以該救援船前往營救漁船時(shí)的方向是南偏東﹒21．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知且．（1）若，求的面積；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴∵，，∴，∴（2）由正弦定理可得： 其中，，，為銳角，因?yàn)?/span>為銳角三角形，則從而，得，，所以所以，從而的取值范圍為22．某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在處按方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲，兩機(jī)器人停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)在矩形區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失?。阎?/span>米，為中點(diǎn)，比賽中兩機(jī)器人均勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn)，記與的夾角為（），與的夾角為（）．（1）若兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向的夾角為，足夠長，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值；（2）已知機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的倍．（i）若，足夠長，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求．（ii）如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域的寬的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功？【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少為米.【分析】（1）用余弦定理列方程，結(jié)合基本不等式求得，也即兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值.（2）（i）利用正弦定理求得；（ii）設(shè)，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值.【詳解】（1）如圖，在中由余弦定理得，， 所以所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值為（2）（i）在中由于機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的倍，故，由正弦定理可得所以（ii）設(shè)，則，由余弦定理可得，所以所以由題意得對(duì)任意恒成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．答：矩形區(qū)域的寬至少為米，才能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲．【點(diǎn)睛】正弦定理、余弦定理是解題的重要數(shù)學(xué)知識(shí)，二次函數(shù)最值的求法在本題中是重要的方法. 

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