長(zhǎng)春博碩學(xué)校2023—2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)期初考試     數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時(shí)間：90分鐘    滿分：120分命題人：        審題人：     一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1．已知集合M，下列選項(xiàng)正確的是（   ）A．M  B．M              C．M             D．M 2.（   ）A．充分不必要條件                           B．必要不充分條件      C．充要條件                                 D．既不充分也不必要條件 3. 某市一次高三模擬考試一共有3.2萬(wàn)名考生參加，他們的總分服從正態(tài)分布，若，則總分高于530分的考生人數(shù)為（    ）A. 2400 B. 3520 C. 8520 D. 124804. 已知，則=（    ）A. 15 B. 16 C. 7 D. 85．在射擊比賽中，甲乙兩人對(duì)同一目標(biāo)各進(jìn)行一次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為，乙擊中目標(biāo)的概率為，在目標(biāo)被擊中的情況下，甲擊中目標(biāo)的概率為　　A． B． C． D．6．設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一張光片，則取得的光片是次品的概率為　　A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.27. 為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”，“樂(lè)”，“射”，“御”，“書”，“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，若課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，則所有可能的排法種數(shù)為（   ）A．216 B．480 C．504 D．6248. 已知函數(shù)滿足對(duì)任意x恒成立，且時(shí)，則的值為（   ）A. －2 B. －1 C. 1 D. 2二、多選題（本題共2小題，每小題5分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分.）9. 下列命題為真命題的是（    ）A. 若，則B. 若，則C. 若關(guān)于的不等式的解集為，則D. 若a>0, b>0，則“”是“”的必要不充分條件10．已知函數(shù)，則　　A．在是增函數(shù)                      B．有極大值點(diǎn)，且C．的極小值點(diǎn)，且          D．沒(méi)有零點(diǎn) 三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）11. 函數(shù)的定義域是________．12. 曲線y＝在點(diǎn)（1,－1）處的切線方程為_______.13. 已知m，n是正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為______.14. 已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足：①在上單調(diào)  ②③對(duì)恒成立 ④對(duì)恒成立若，，，，記與形成的封閉圖形的面積為，，則滿足的最小的n的值為______.  四、解答題（本題共4小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或者演算步驟）15.（10分）已知（1）解上述不等式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的的值.     16.（12分）甲乙兩所友好學(xué)校舉行籃球聯(lián)誼賽，先獲得3場(chǎng)比賽勝利的學(xué)校獲得冠軍并終止比賽，比賽交替在甲校與乙校進(jìn)行，第一場(chǎng)比賽在甲校進(jìn)行.已知甲隊(duì)在主場(chǎng)（甲校）獲勝的概率為，在客場(chǎng)（乙校）獲勝的概率為，每場(chǎng)比賽要分出勝負(fù)且勝負(fù)概率不變.（1）求甲隊(duì)以3勝1負(fù)的成績(jī)贏得冠軍的概率；（2）設(shè)籃球聯(lián)誼賽比賽進(jìn)行的場(chǎng)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.       17.（14分）某品牌中性筆研發(fā)部門從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合兒童使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合少年使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合青年使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）．以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率．(1)該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量的數(shù)據(jù)做了初步處理，得到散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值（如下表）．16.3024.870.411.64表中．根據(jù)散點(diǎn)圖判斷， 可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程，求關(guān)于的回歸方程；（取）(2)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；并用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用）參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．    18.（14分）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）是否存在正數(shù)a，使得在上單調(diào)遞增，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.   高三年級(jí)期初考試    數(shù)學(xué)試卷參考答案一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分. 給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）題號(hào)12345678答案DABACACA 二、多選題（本題共2小題，每小題5分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.）題號(hào)910答案BCACD三、填空題（共4小題，每小題5分）11.  {x | x>2或x≤-6}12. 2x＋y－1＝013.                            14.  9四、解答題（共50分）15.（1）由題意得所以不等式的解集為（2），則16. 【詳解】（1）設(shè)事件A為：“甲隊(duì)以3勝1負(fù)的成績(jī)贏得冠軍”，則.（2）由題意：X的可能取值為3，4，5.則，，，故隨機(jī)變量X的分布列為：X345P則.17．(1)                                 （2）4元，256萬(wàn)元【詳解】（1）由得，，令，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，∴，即，∵，∴，∴所求的回歸方程為．（2）由題意及（1）得，設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15，0.45，0.4，∴，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：1.53.55.50.150.450.4所以，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元；設(shè)年收益為Z萬(wàn)元，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在單週遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，∴當(dāng)，即時(shí)，Z有最大值為768，∴估計(jì)當(dāng)該公司一年投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)時(shí)，能使得該產(chǎn)品年收益達(dá)到最大．18. 【詳解】（1）設(shè)，，由，且時(shí)，，時(shí)，，則，可得（*）；由（*）可知，當(dāng)時(shí)，得，原不等式得證；（2），則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增在上恒成立，注意到，只需在處取得最小值，易知其必要條件為，則，下面證明充分性：當(dāng)時(shí)：，則，故，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，若，則，若，，所以在上遞減，即在上遞減. 由①②可知，，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，由（1）知時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)：同理可得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不合題意；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 

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