吉林省長(zhǎng)春市博碩學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

這是一份吉林省長(zhǎng)春市博碩學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4，共20頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試時(shí)間： 120分鐘 滿(mǎn)分： 150 分
命題人：梁麗娟 審題人：郭恒武 遲士莊
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每道題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題目要求.
1. 已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線(xiàn)的方程為（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)與不過(guò)原點(diǎn)兩種情況求解可得直線(xiàn)的方程.
【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論:
①直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)方程為，又由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即；
②直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則有，解可得，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，
故直線(xiàn)的方程為或.
故選：D.
2. 已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件求得拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即可求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，得到，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，
故選：D.
3. 已知曲線(xiàn)：，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線(xiàn)段，為垂足，點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，，由題意可得，代入曲線(xiàn)中即可得.
【詳解】設(shè)，則有，設(shè)，
則，由，則有，
即，故有，即.
故選：B.
4. 以橢圓焦距為直徑的圓交橢圓于四點(diǎn)，若這四點(diǎn)與兩焦點(diǎn)恰構(gòu)成正六邊形，則橢圓離心率為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正六邊形的性質(zhì)得到，再利用橢圓的定義得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
【詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，圓與橢圓交于，，， 四個(gè)不同的點(diǎn)，
由題意知，則由正六邊形的性質(zhì)可得，．
由橢圓定義得，
所以，
故選：C.
5. 已知雙曲線(xiàn)：與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且一條漸近線(xiàn)方程為：，則雙曲線(xiàn)的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由漸近線(xiàn)方程，設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，結(jié)合與橢圓有相同的焦點(diǎn)，求出雙曲線(xiàn)方程.
【詳解】∵雙曲線(xiàn)：的一條漸近線(xiàn)方程為：
∴設(shè)雙曲線(xiàn)：
∵雙曲線(xiàn)與橢圓有相同的焦點(diǎn)
∴，解得：
∴雙曲線(xiàn)的方程為.
故選：B.
6. 若圓與圓有公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)公切線(xiàn)的數(shù)量判斷兩圓位置關(guān)系，結(jié)合圓心距和半徑列出不等式，求解即可.
【詳解】由題意知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，
假設(shè)圓與圓沒(méi)有公切線(xiàn)，
此時(shí)兩圓內(nèi)含，所以圓心距，即，解得，
所以當(dāng)圓與圓有公切線(xiàn)時(shí)，實(shí)數(shù)的范圍是，
故選：B.
7. 在正四棱柱中，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，點(diǎn)為BD中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)EF的距離（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出，利用空間點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可；
【詳解】
連接，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得，
則，
所以點(diǎn)到直線(xiàn)EF的距離為，
故選：A.
8. 太極圖的形狀如中心對(duì)稱(chēng)的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，因而也被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”.如圖是放置在平面直角坐標(biāo)系中簡(jiǎn)略的“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”，其外邊界是一個(gè)半徑為的圓，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，已知直線(xiàn).給出以下命題：

①當(dāng)時(shí)，若直線(xiàn)截黑色陰影區(qū)域所得兩部分的面積分別記為，則；
②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域有個(gè)公共點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線(xiàn)有個(gè)公共點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)是（ ）
A. ①②B. ①③
C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】分別確定大圓半徑和小圓半徑，結(jié)合大小圓面積可表示出，由此可知①正確；根據(jù)黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程，利用直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的判斷可知②正確；分別在和的情況下，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定③錯(cuò)誤.
【詳解】如圖所示，大圓的半徑為，小圓的半徑為，

大圓的面積為，小圓的面積為．
對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，
此時(shí)直線(xiàn)將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，
其中，，
，①正確；
對(duì)于②，由題意知：黑色陰影區(qū)域在第一象限邊界方程為，
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即，
小圓圓心到直線(xiàn)的距離，
直線(xiàn)與該半圓弧相切，如圖所示，

直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域只有一個(gè)公共點(diǎn)，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，如圖所示，

易得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線(xiàn)有個(gè)公共點(diǎn)，③錯(cuò)誤．
綜上所述：①②正確．
故選：A．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分
9. 關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若空間向量，，則在上的投影向量為
B. 若空間向量，滿(mǎn)足，則與夾角為銳角
C. 若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面
D. 若直線(xiàn)的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A，根據(jù)投影向量的定義列式運(yùn)算得解；對(duì)B，當(dāng)，同向共線(xiàn)時(shí)也成立可判斷；對(duì)C，由空間向量共面的推論判斷；對(duì)D，由可判斷.
【詳解】對(duì)于A，在上的投影向量為，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)，同向共線(xiàn)時(shí)也成立，但與夾角不為銳角，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，中，故四點(diǎn)共面，故C正確；
對(duì)于D，由，即，故，故D正確.
故選：ACD
10. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用傾斜角和拋物線(xiàn)定義，分別求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得，可判斷A；求出直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用定義即可得，然后可判斷B；根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出即可判斷C；將代入直線(xiàn)方程，求出縱坐標(biāo)，然后由可得面積，可判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，則，
所以，所以，
由拋物線(xiàn)定義可得，，所以，
解得，故A正確．

選項(xiàng)B：由A得拋物線(xiàn)的方程為，，直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)的方程并化簡(jiǎn)，得，得或，
所以，故，故，B錯(cuò)誤．
選項(xiàng)C：由，，得，故C正確．
選項(xiàng)D：由上知，得，
故，故D正確．
故選：ACD
11. 設(shè)M為雙曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，為上下焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則或6
B. 雙曲線(xiàn)C與雙曲線(xiàn)的離心率相同
C. 若點(diǎn)，M在雙曲線(xiàn)C的上支，則最小值為
D. 過(guò)的直線(xiàn)l交C于G、H不同兩點(diǎn)，若，則l有2條
【答案】ABC
【解析】
【分析】結(jié)合雙曲線(xiàn)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可確定本題答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，，則，
由雙曲線(xiàn)的定義可知，，，則，
解得或6，當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意.
綜上：或6，故A正確；
因?yàn)殡p曲線(xiàn)離心率為，
所以雙曲線(xiàn)的離心率為，
雙曲線(xiàn)即，離心率為，
所以雙曲線(xiàn)C與雙曲線(xiàn)的離心率相同，故B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)取到，
最小值為，故C正確；
由雙曲線(xiàn)：，得，
直線(xiàn)l斜率為0時(shí)，方程為，聯(lián)立得或，
所以，所以，不合題意，
當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，，所以直線(xiàn)l斜率存在且不為0，
故設(shè)：，，設(shè)
聯(lián)立得，則，
所以
，所以或，
解得或，符合題意，所以這樣的直線(xiàn)有4條，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC
三、填空題 本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上.
12. 過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)方程為_(kāi)_________.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)切線(xiàn)斜率存在和不存在分類(lèi)討論，斜率存在時(shí)設(shè)直線(xiàn)方程，由圓心到切線(xiàn)距離等于半徑求解．
【詳解】由，可得圓的圓心，半徑為，
當(dāng)過(guò)的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，易得直線(xiàn)與圓相切，
當(dāng)過(guò)的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為，即，
由，解得，切線(xiàn)方程為，
所以切線(xiàn)方程為或．
故答案為：或．
13. 如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)和BN的夾角的余弦值為_(kāi)_____
【答案】
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用異面直線(xiàn)空間向量夾角公式進(jìn)行求解.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，
故和BN的夾角的余弦值為.
故答案為：
14. 橢圓滿(mǎn)足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線(xiàn)，經(jīng)橢圓反射后，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，滿(mǎn)足方程，點(diǎn)、是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)處，從點(diǎn)沿直線(xiàn)出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的最短路程是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知，根據(jù)題意給的橢圓方程，得到，，借助橢圓的性質(zhì)，可直接求解最短路程.
【詳解】由已知，橢圓方程為，所以，，
由題意可知，從點(diǎn)沿直線(xiàn)出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，小球經(jīng)過(guò)的最短路程.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 求滿(mǎn)足下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）一條漸近線(xiàn)方程為，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由題意設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)漸近線(xiàn)方程和a,b,c間的關(guān)系求出后可得所求方程；或根據(jù)漸近線(xiàn)方程設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，然后由題意求出后得到所求．（2）根據(jù)題意設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出后可得所求方程．
【詳解】（1）方法1：橢圓方程可化為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
故可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，其漸近線(xiàn)方程為，
則，
又，
所以可得，，
所以所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
方法2：由于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則另一條漸近線(xiàn)方程為．
故可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，即，
因?yàn)殡p曲線(xiàn)與橢圓共焦點(diǎn)，
所以，
即，
解得，
所以所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意可設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，
∴，解得，
所以所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【點(diǎn)睛】求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線(xiàn)之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為，再由條件求出λ的值即可．
16. 已知圓，直線(xiàn).
（1）求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）直線(xiàn)被圓截得的弦何時(shí)最短？并求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值以及最短弦長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，求以短弦長(zhǎng)為直徑的圓的方程.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；，最短弦長(zhǎng)為；
（3）
【解析】
【分析】（1）將直線(xiàn)的方程可化為，解方程組得定點(diǎn)坐標(biāo).
（2）根據(jù)圓性質(zhì)可得：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)圓心時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短，據(jù)此運(yùn)算求解.
（3）利用（2）的信息直接寫(xiě)出圓的方程.
【小問(wèn)1詳解】
直線(xiàn)的方程可化為，由，解得，
所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
【小問(wèn)2詳解】
圓的圓心，半徑，
令點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短，
直線(xiàn)的斜率為，由得直線(xiàn)的斜率為，解得
此時(shí)的方程為，即，
圓心到直線(xiàn)的距離為，最短弦長(zhǎng)為
所以當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；，最短弦長(zhǎng)為.
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知，以短弦長(zhǎng)為直徑的圓的圓心為，半徑為，
所以以短弦長(zhǎng)為直徑的圓的方程.
17. 已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓C交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)；
（3）若直線(xiàn)l與橢圓相交于兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求直線(xiàn)l的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)及所經(jīng)過(guò)點(diǎn)直接求出，得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）直線(xiàn)l與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得出結(jié)果.
（3）設(shè)，根據(jù)“點(diǎn)差法”求出直線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意設(shè)橢圓C的方程為，
因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,1且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，
所以，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由已知設(shè)直線(xiàn)l的方程為，設(shè)，.
將直線(xiàn)代入，
得，
所以，，
.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)，則中點(diǎn)是，
于是，即，
由于在橢圓上，故，
兩式相減得到，即，
故，于是，
故直線(xiàn)的方程是，
整理得
18. 橢圓與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不垂直，與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線(xiàn)和的斜率互為相反數(shù).
①證明：動(dòng)直線(xiàn)恒過(guò)軸上的某個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）①證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)及橢圓過(guò)的點(diǎn)列方程求解即可；
（2）①先聯(lián)立方程組得出韋達(dá)定理再計(jì)算斜率和即可；②結(jié)合定點(diǎn)列出面積再換元得出面積的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
橢圓：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)也為，即得焦距為，
∵橢圓過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線(xiàn)：（），
由，得，
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，所以，，
所以
，
因?yàn)橹本€(xiàn)和的斜率互為相反數(shù)，
所以，所以，
所以，
所以.
即，所以，
因?yàn)?，所以，所以?dòng)直線(xiàn)恒過(guò)軸上的定點(diǎn)
②由①知，，
且，即，
又
令，則，
∴
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）
∴.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求面積最值的關(guān)鍵點(diǎn)是令換元得出再結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得出最值.
19. 如圖，在四棱錐中，平面，且.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)線(xiàn)面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；
（3）利用空間向量線(xiàn)面角夾角公式進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以，而平面，
所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，而，
于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
由（1）可知：平面，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，
則有，
設(shè)平面與平面夾角，
；
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)，設(shè)，
于是有，
，由（2）可知平面的法向量為，
假設(shè)與平面所成角的正弦值為，則有，或舍去，
即.