上饒市2023屆第二次高考模擬考試數(shù)學（文科）試題卷第I卷（選擇題  共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：C2. 若，則（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的模長公式可得，由復數(shù)的共軛概念以及復數(shù)的除法運算即可求解.【詳解】由得,所以，故選：D3. 為了支持民營企業(yè)發(fā)展壯大，幫助民營企業(yè)解決發(fā)展中的困難，某市政府采用分層抽樣調(diào)研走訪各層次的民營企業(yè).該市的小型企業(yè)、中型企業(yè)、大型企業(yè)分別有900家、90家、10家.若大型企業(yè)的抽樣家數(shù)是2，則中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應該是（    ）A. 180 B. 90 C. 18 D. 9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義即可得解.【詳解】該市中型企業(yè)和大型企業(yè)的家數(shù)比為，由分層抽樣的意義可得中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應該是.故選：C.4 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，再結合兩角和的余弦公式展開求解.【詳解】已知，則，.則.故選：B5. 某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒，若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因為紅燈持續(xù)時間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選B.【考點】幾何概型【名師點睛】對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法． 6. 橢圓的離心率為，直線與橢圓相切，橢圓的方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線與橢圓相切，求出，再根據(jù)離心率求出，即可得解.【詳解】因為直線與橢圓相切，所以，由解得，所以橢圓的方程為.故選：A.7. 《九章算術》涉及算術、代數(shù)、幾何等諸多領域，書中有如下問題：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，問積幾何？”其意思為：“有一個圓臺，下底周長為3丈，上底周長為2丈，高為1丈，那么該圓臺的體積是多少？”已知1丈等于10尺，圓周率約為3，估算出這個圓臺體積約有（    ）A. 立方尺 B. 立方尺C 立方尺 D. 立方尺【答案】D【解析】【分析】利用圓臺體積公式求體積即可.【詳解】由已知，下底半徑為5尺，上底半徑為尺，若分別為上下底面面積，所以圓臺體積為：立方尺.故選：D8. 在坐標平面中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（    ）A. 3 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式組所表示得平面區(qū)域，求出交點坐標，在求出圖形中可行域得面積即可.【詳解】由，得當時，；當時，，如圖，作出不等式所表示得平面區(qū)域，為，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，即，則，所以，所以，則，即不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為.故選：A.9. 已知執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】B【解析】【分析】輸入，并比較三個數(shù)的大小關系，輸出最小值.【詳解】首次輸入，因為，所以成立，則，因為，所以，則成立，則，輸出結果.故選：B.10. 函數(shù)的部分圖像大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后利用特殊值及排除法判斷即可.【詳解】因為，則，解得且，所以函數(shù)的定義域為，令，則，即為偶函數(shù)，又為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱，故排除D，又，故排除B、C；故選：A11. 在中，，則的最小值（    ）A. -4 B.  C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角，再轉化為關于角的三角函數(shù)，結合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】在中，，所以，，所以，因為，所以，所以，，則的最小值為.故選：A12. 已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線右支上一點，為的內(nèi)切圓上一點，則取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)以及雙曲線的定義可得,進而根據(jù)斜率關系以及二倍角公式可得，進而得內(nèi)切圓的半徑的變化范圍，由數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】設的內(nèi)切圓與相切于,圓心為,由切線長的性質(zhì)以及雙曲線定義可得，又，因此，所以,設角,且為銳角，由于，所以，為內(nèi)切圓的半徑，不妨設，故在中，，,當共線時，此時，當方向相同時，，當方向相反時，，因此,故選：C【點睛】解析幾何簡化運算的常見方法：（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識簡化運算；（2）坐標化，把幾何關系轉化為坐標運算；（3）巧用定義，簡化運算.第II卷（非選擇題  共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 已知向量，若，則________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)得到，然后解方程求即可.【詳解】，因為，所以，解得.故答案為：10.14. 曲線在點(1,3)處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】求出，從而求得切線斜率，由直線方程的點斜式即可求得切線方程．【詳解】由題可得：，所以切線斜率，所求切線方程為：，整理得：【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義及直線方程的點斜式，考查計算能力，屬于基礎題．15. 在正方體中，與交于點，則直線與直線的夾角為________.【答案】【解析】【分析】通過平移，轉化所求線線角為，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接,又因為所以直線與直線的夾角即為,又為等邊三角形，O為AC中點，所以平分角，所以.故答案為：. 16. 關于函數(shù)，有如下四個命題：①函數(shù)的圖像關于軸對稱；②函數(shù)的圖像關于直線對稱；③函數(shù)的最小正周期為；④函數(shù)的最小值為2．其中所有真命題的序號是_________________．【答案】①②④【解析】【分析】對于①：由奇偶函數(shù)的定義，可判斷出為偶函數(shù)，圖像關于軸對稱；對于②：由即可判斷出函數(shù)的圖像關于直線對稱；對于③：由得出函數(shù)的最小正周期為；對于④：設，則，由基本不等式即可求出最小值．【詳解】對于①：定義域為，因為，所以是上的偶函數(shù)，所以圖像關于軸對稱，故①正確；對于②：對于任意的，，所以函數(shù)的圖像關于直線對稱，故②正確；對于③：因為，所以函數(shù)的最小正周期不為，故③錯誤；對于④：設，則，因為，當且僅當，即時等號成立，所以函數(shù)的最小值為2，故④正確，故答案為：①②④．三、解答題：共70分解答.應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17. 某校100名學生期末考試化學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：.（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生化學成績的平均分；（3）若這100名學生化學成績某些分數(shù)段的人數(shù)（）與物理成績相應分數(shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求物理成績在之外的人數(shù).分數(shù)段 【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為得到方程，解得即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算規(guī)則計算可得；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出物理成績在之間的人數(shù)，即可求出之外的人數(shù).【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，解得；【小問2詳解】由，根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生化學成績的平均分為分.【小問3詳解】由已知可得，物理成績在之間的人數(shù)為，于是物理成績在之外的人數(shù)為.18. 設數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件當時,得，再與原式作差得，注意討論時情況；（2）利用錯位相減法求和.【小問1詳解】已知，①當時，；當時，，②
①-②得，，所以，當時，相符，所以.【小問2詳解】，③，④③-④得，，，所以.19. 如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，，是的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形全等得到，即可得到，再由，得到平面，從而得證；（2）作的中點，連接，即可得到為平行四邊形，由面面垂直的判定定理得到平面平面，過點作交于點，平面，再求出的長度即可.【小問1詳解】因為，，，所以，所以，又是中點，所以，因為為等邊三角形，是的中點，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】作的中點，連接，因為與分別為、的中點，四邊形為平行四邊形，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，又由（1）可知平面，平面，所以平面平面，過點作交于點，平面平面，平面，所以平面，在中，，所以，又，，所以，在中，，，所以，所以，所以，故點到平面的距離為.20. 已知函數(shù).（1）證明：；（2）當時，證明不等式，在上恒成立.【答案】（1）答案見解析；    （2）答案見解析.【解析】【分析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)分析的單調(diào)性，即可得到，即可證明；（2）令，求導，根據(jù)放縮的思路得到，然后利用在上的單調(diào)性即可證明.【小問1詳解】證明：，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，，故，當且僅當時取等號，∴.【小問2詳解】令，則，由（1）可得，即，又，所以，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，則，在上單調(diào)遞增，當時，，即，所以當時，不等式，在上恒成立.【點睛】導數(shù)中常見的放縮形式：（1）；（2）；（3）.21. 已知拋物線過點.（1）求拋物線的方程，并求其準線方程；（2）如圖，點是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于.求面積的最小值.【答案】（1），則準線方程為    （2）【解析】【分析】（1）由點在拋物線上，代入求得，即得拋物線方程；（2）由圓圓心為，半徑，根據(jù)拋物線對稱性，設得，分別在x軸上、下方，則，分別令、求得關于的表達式，求出周長，利用基本不等式求最小值，最后由求面積最小值.【小問1詳解】由題設，可得，故拋物線的方程為，則準線方程為；【小問2詳解】不妨設，又，則，故，圓圓心為，半徑，令分別在x軸上、下方，則，若，則直線的傾斜角為，且，又，則，整理得：，則，即，而，得，若，則直線的傾斜角為，且，又，則，整理得：，則，即，而，得，又過與圓的切線長為，綜上，周長為，僅當，即時等號成立，所以，故時面積的最小值，根據(jù)對稱性也可取到最小面積.綜上，面積的最小值.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】22. 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求和的直角坐標方程；（2）求上的點到距離的最小值.【答案】（1）曲線：，，直線：.    （2）【解析】【分析】（1）消去參數(shù)得到曲線的普通方程，需注意的取值范圍，再根據(jù)，將極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，），表示出點到直線的距離，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出距離最小值.【小問1詳解】曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因為，且，所以曲線的普通方程為，，因為直線的極坐標方程為，由，可得直線的直角坐標方程為.【小問2詳解】由（1）可設曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，），則上的點到直線的距離，當，即時取最小值，所以上的點到直線的距離的最小值為.【選修4-5：不等式選講】23. 已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）分，和三種情況討論取絕對值符號，即可得解；（2）等價于，利用絕對值三角不等式求出的最小值即可得解.【小問1詳解】當時，，由，得或或，解得，所以不等式的解集為；【小問2詳解】等價于，由，得，因為，當且僅當時，取等號，所以，解得或，

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