SRS2023屆高三模擬測(cè)試（第二次）文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析】通過(guò)解二次不等式和對(duì)數(shù)不等式求出集合，然后由交集運(yùn)算得出答案．【詳解】由可得，所以，由，即，可得，所以，所以.故選：D．2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出y的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)程序框圖運(yùn)行即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>成立，所以運(yùn)行，即，所以輸出的y的值是.故選：A4. 已知數(shù)列，若，則（    ）A. 9 B. 11 C. 13 D. 15【答案】B【解析】【分析】由題中條件，分別令，，即可得解.詳解】由，令，則，則，令，則，則.故選：B.5. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以.故選：C.6. 已知函數(shù)，命題，使得，命題，當(dāng)時(shí)，都有，則下列命題中為真命題的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷命題p、q的真假，結(jié)合命題“且”、“或”、“非”的概念，依次判斷即可.【詳解】命題p：當(dāng)時(shí)，，所以，即，則，使得，故命題p為假命題；命題q：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故命題q為真命題.則命題為真，故A正確；命題為假，故B錯(cuò)誤；命題為假，故C錯(cuò)誤；命題為假，故D錯(cuò)誤.故選：A.7. 已知拋物線的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，若圓M過(guò)點(diǎn)且與直線l相切，則圓M與y軸相交所得弦長(zhǎng)是（    ）A.  B.  C. 4 D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，，進(jìn)而，解得，利用垂徑定理計(jì)算即可求解.【詳解】由題意得，，則準(zhǔn)線為，設(shè)，因?yàn)閳AM與直線l相切，所以圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又圓M過(guò)點(diǎn)，所以①.又②，由①②，解得，則，設(shè)圓M與y軸交于點(diǎn)B、C，則.故選：D.  8. 如圖，A，B，C是正方體的頂點(diǎn)，，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，則三棱錐的體積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的三視圖的面積確定點(diǎn)的位置，從而求出體積.【詳解】因?yàn)槿忮F的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，正方體邊長(zhǎng)為2，所以點(diǎn)在如圖所示的頂點(diǎn)位置，，三棱錐的體積為.故選：C9. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，若，則的最大值為（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】計(jì)算可得；當(dāng)時(shí)，，由于，所以，從而得出結(jié)果.【詳解】，，，，可得；當(dāng)時(shí)，，，∴，∵時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上，當(dāng)或5時(shí)，取最大值.故選：A．10. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若成等差數(shù)列，且的面積為，則（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由成等差數(shù)列得，結(jié)合余弦定理，可得，由的面積為，可得，兩式相除可得答案.【詳解】若成等差數(shù)列，則，由余弦定理得，，則，①由的面積為，得，則，②由②÷①得.故選：C.11. 已知函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為1，，若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用，求得的表達(dá)式，由函數(shù)為奇函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可求得，利用二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)，求得滿足的不等式組，求出的范圍，即可求得的取值范圍.【詳解】由，得.所以，對(duì)于函數(shù)，其開(kāi)口向上，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，其兩個(gè)零點(diǎn)，則，且且滿足，解得：，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)有，解得：，故選：B.12. 已知M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心，為半徑作圓M，設(shè)圓M與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則下列點(diǎn)中，直線一定不經(jīng)過(guò)（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)，圓M的方程為，又圓，兩式相減得直線的方程，設(shè)直線上的點(diǎn)為，則，又，以為主元，由題意二者有公共點(diǎn)，從而求得，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè)，則，所以，圓M的方程為，又圓，兩式相減，得，即為直線的方程，設(shè)直線上的點(diǎn)為，則，整理得，又M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，以為主元，則表示直線，表示以為圓心，2為半徑的圓，由題意，二者有公共點(diǎn)，則到直線的距離，即，得，對(duì)于A，，對(duì)于B，，對(duì)于C，，對(duì)于D，，則各選項(xiàng)的點(diǎn)中，直線一定不經(jīng)過(guò).故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 是以2為周期的函數(shù)，若時(shí)，，則________．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)函數(shù)的周期性求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>是以2為周期的函數(shù)，若時(shí)，，所以.故答案為：.14. 某紅綠燈十字路口早上9點(diǎn)后的某分鐘內(nèi)10輛汽車(chē)到達(dá)路口的時(shí)間依次為（單位：秒）：1，2，4，7，11，16，21，29，37，46，令表示第i輛車(chē)到達(dá)路口的時(shí)間，記，則的方差為________．【答案】##【解析】【分析】先求出的平均數(shù)，再利用求方差公式得到答案.【詳解】由題意得，，，，故的平均數(shù)為，故的方差為.故答案為：15. 圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對(duì)稱(chēng)軸，F是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于________．【答案】##【解析】【分析】反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，由題中條件可得，，在直角三角形中，，，由雙曲線的定義可得，所以，即可求得答案.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，由，，可得，，在直角三角形中，，，由雙曲線的定義可得，所以，即，所以，故答案為：．16. 已知正四面體的棱長(zhǎng)為，現(xiàn)截去四個(gè)全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個(gè)八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為________．【答案】【解析】【分析】畫(huà)出圖形，做出輔助線，求出大正四面體的外接球半徑，這個(gè)八面體的外接球半徑為，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小，根據(jù)勾股定理列出方程，求出答案，舍去不合要求的解.【詳解】如圖，正四面體在點(diǎn)截去小正四面體，取中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作⊥平面，則在上，且⊥平面，垂足為，連接，則為正的中心，大正四面體的外接球球心在高上，設(shè)為，連接，則，因?yàn)榇笳拿骟w的棱長(zhǎng)為，故，解得，由勾股定理得，在Rt中，，即，解得，則大正四面體的外接球半徑為3，若這個(gè)八面體的外接球半徑為，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小，由對(duì)稱(chēng)性可知，這個(gè)八面體的外接球的球心與正四面體的外接球球心重合，連接，則，設(shè)截去的小正四面體的棱長(zhǎng)為，則，即，則，故，故高，所以，在Rt中，，即，解得或，，不合要求，舍去，符合要求，截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑三．解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17. 如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)，則，再根據(jù)求得周期，即解；（2）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算即可的解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，函數(shù)的最小正周期為T，則，則，故，解得(負(fù)值舍去)，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，得，即，所以，又因，則，所以，所以.18. 如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，平面平面，且，點(diǎn)E在線段上，．（1）求證：；（2）求點(diǎn)E到平面的距離．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由三線合一得到垂直關(guān)系，再利用余弦定理得到邊長(zhǎng)，由勾股定理逆定理得到線線垂直，證明線面垂直，得到垂直關(guān)系；（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而由比例關(guān)系得到點(diǎn)E到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，所以為等邊三角形，故，且，，因?yàn)?/span>，所以，，因?yàn)?/span>，所以，在三角形中，，故，因?yàn)?/span>，故⊥，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?/span>平面，交線為，，平面，所以平面，其中，故，連接，則，且，由勾股定理到，則，取中點(diǎn)，連接，則⊥，，由勾股定理得，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)E到平面的距離為.19. 一地質(zhì)探測(cè)隊(duì)為探測(cè)一礦中金屬鋰的分布情況，先設(shè)了1個(gè)原點(diǎn)，再確定了5個(gè)采樣點(diǎn)，這5個(gè)采樣點(diǎn)到原點(diǎn)距離分別為，其中，并得到了各采樣點(diǎn)金屬鋰的含量，得到一組數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到如下統(tǒng)計(jì)量的值：，，，，，其中．（1）利用相關(guān)系數(shù)判斷與哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的回歸模型；（2）建立y關(guān)于x的回歸方程．參考公式：回歸方程中斜率、截距的最小二乘估計(jì)公式、相關(guān)系數(shù)公式分別為，，；參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）用作為y關(guān)于x的回歸模型方程更適宜，理由見(jiàn)解析；    （2）【解析】【分析】（1）用作回歸模型求出相關(guān)系數(shù)，用作為回歸模型求出相關(guān)系數(shù)，比較大小可得答案；（2）由已知條件求出，可得答案.【小問(wèn)1詳解】若用作回歸模型，，，所以相關(guān)系數(shù)，若用作為回歸模型，相關(guān)系數(shù)，比較與，，，因?yàn)?/span>，所以用作為y關(guān)于x的回歸模型方程；【小問(wèn)2詳解】由（1），，，，，則y關(guān)于x的回歸方程為.20. 已知橢圓的焦距為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，且．（1）求橢圓C的方程；（2）若過(guò)且斜率為k的直線l與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)Q，與直線相交于點(diǎn)P，與y軸相交于點(diǎn)M，且．求k的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距和角的正切值得到方程，求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到，再與直線方程聯(lián)立，得到，根據(jù)題干條件得到方程，代入求出答案，舍去不合要求的解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，又，故，即，又，解得，，故橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】直線l的方程為，，與聯(lián)立得，設(shè)，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限，所以，解得，直線方程為，與聯(lián)立得，故，中，令得，故，因?yàn)?/span>，所以，整理得，即，化簡(jiǎn)得，解得或，其中不滿足，舍去，滿足要求，故.21. 已知函數(shù)．（1）若時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若，設(shè)函數(shù)的較大的一個(gè)零點(diǎn)記為，求證：．【答案】（1）極小值，無(wú)極大值    （2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1），求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性及極值的定義求解；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，，以必然存在，使得，即，所以，要證明，只要證明，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可證得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)；所以的極小值為，無(wú)極大值．【小問(wèn)2詳解】由，則，因?yàn)?/span>且．當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)，此時(shí)，所以必然存在，使得，即，所以，要證明，即證明，即證明，即只要證明，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，所以．即，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. “太極圖”是關(guān)于太極思想的圖示，其形狀如對(duì)稱(chēng)的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，也被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”．在平面直角坐標(biāo)系中，“太極圖”是一個(gè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓，其中黑、白區(qū)域分界線，為兩個(gè)圓心在軸上的半圓，在太極圖內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)和分界線的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與分界線，分別交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1），：    （2）【解析】【分析】（1）由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式轉(zhuǎn)化即可；（2）由圖形對(duì)稱(chēng)性知，，在極坐標(biāo)系中，求，并求其最大值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為，，，則，，∵點(diǎn)在第三象限，∴，∴點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為.∵“太極圖”是一個(gè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓，∴分界線的圓心直角坐標(biāo)為，半徑為，∴的直角坐標(biāo)方程為（），即（），將，，代入上式，得，，化簡(jiǎn)，得分界線的極坐標(biāo)方程為，.【小問(wèn)2詳解】∵在上，∴設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，，∴的面積∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，的面積的最大值為.∵直線過(guò)原點(diǎn)分別與，交于點(diǎn)，，∴由圖形的對(duì)稱(chēng)性易知，，∴面積，∴面積的最大值為.選修4-5：不等式選講23. 已知．（1）在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象；（2）若在上恒成立，求的最小值．【答案】（1）圖象見(jiàn)解析    （2）3【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)為分段函數(shù)形式，作圖即可；（2）結(jié)合函數(shù)和的圖象，分，，與四種情況討論，結(jié)合圖象及基本不等式求解．【小問(wèn)1詳解】其圖象如下圖所示：【小問(wèn)2詳解】由（1）知函數(shù)與軸的交點(diǎn)為和，結(jié)合函數(shù)和的圖象可以知道，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或或時(shí)，由圖可知在上不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，，而的值有負(fù)數(shù)，可知在上不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，只需，則在上恒成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，令，則，要在上恒成立，則，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．綜上：的最小值為3． 

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