?2022-2023學年湖北省部分市州高二下學期7月期末聯(lián)考數(shù)學試題

一、單選題
1．直線的傾斜角
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求得直線的斜率，然后根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，求得.
【詳解】可得直線的斜率為，
由斜率和傾斜角的關(guān)系可得，
又∵
∴
故選：A.
【點睛】本小題主要考查直線傾斜角與斜率，屬于基礎(chǔ)題.
2．已知曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)a等于（????）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由導數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】因為，所以，
則曲線在點處的切線斜率為，
又因為直線斜率為，
所以，即.
故選：C.
3．下列命題中，錯誤的是（????）
A．若隨機變量，則
B．若隨機變量，且，則
C．在回歸分析中，若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好
D．在回歸分析中，若樣本相關(guān)系數(shù)越大，則成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強
【答案】D
【分析】根據(jù)二項分布計算出則可判斷A；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算出可判斷B；根據(jù)殘差的平方和的定義可判斷C；根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義可判斷D.
【詳解】對于A，若隨機變量，則，故A正確；
對于B，若隨機變量，且，則，故B正確；
對于C，在回歸分析中，若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好，故C正確；
對于D，在回歸分析中，若樣本相關(guān)系數(shù)越大，則成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強，故D錯誤.
故選：D.
4．“拃”是我國古代的一種長度單位，最早見于金文時代，“一拃”指張開大拇指和中指兩端間的距離.某數(shù)學興趣小組為了研究右手一拃長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從所在班級隨機抽取了名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)和具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸直線方程為，且，.已知小明的右手一拃長為厘米，據(jù)此估計小明的身高為（????）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求出，，進而可得回歸直線方程，再將代入，即可求解.
【詳解】由題意，，，
又，即，解得，
故經(jīng)驗回歸直線方程為，
當時，，估計小明的身高為厘米,
故選：B
5．擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚向上的點數(shù)為奇數(shù)”，“第二枚向上的點數(shù)為3的倍數(shù)”，“向上的點數(shù)之和為8”，則（????）
A．與互斥 B．與對立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】C
【分析】利用互斥事件，對立事件，相互獨立事件的性質(zhì)依次判斷即可.
【詳解】選項：當?shù)谝幻断蛏系狞c數(shù)為3，第二枚向上的點數(shù)為3，∴與同時發(fā)生，∴與不互斥，∴選項錯誤；
選項：當?shù)谝幻断蛏系狞c數(shù)為5，第二枚向上的點數(shù)為3，此時向上的點數(shù)之和為8，則與同時發(fā)生，∴與不對立，∴選項錯誤；
選項：該實驗的樣本空間有36個元素，事件，
，，
事件，，
事件,
則, ,,
∴，∴與相互獨立，∴選項正確；
選項：事件，事件,
則，,,
∴,∴與不是相互獨立，∴選項錯誤；
故選:.
6．甲、乙、丙、丁、戊5名同學進行校園廚藝總決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有得到冠軍.”對乙說：“你和甲的名次相鄰.”從這兩個回答分析，5人的名次排列情況種數(shù)為（????）
A．54 B．48 C．42 D．36
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：乙是冠軍，乙不是冠軍，再安排其他人，由加法計數(shù)原理可得答案.
【詳解】由題意，第一種情況：乙是冠軍，則甲在第二位，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況；
第二種情況：先從丙、丁、戊中選1人為冠軍，再排甲，乙兩人，再把甲和乙捆綁與其他人排列，共有種；
綜上可得共有種不同的情況.
故選：C.
7．已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式求解.
【詳解】由已知得，可設(shè)，，
則，，
即，
故選：.
8．已知，，，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通過構(gòu)造，，三個函數(shù)，將三個數(shù)與進行比較，得到，；
再通過構(gòu)造，，通過二次求導的方法比較b和c的大小即可得到答案.
【詳解】先比較和的大小：
構(gòu)造，
則對恒成立，則在單調(diào)遞增，
此時，當且僅當時取等，
所以，則；
構(gòu)造，
則對恒成立，則在單調(diào)遞減，
此時，當且僅當時取等，
所以，則；
構(gòu)造，
則對恒成立，則在單調(diào)遞減，
此時，當且僅當時取等，
所以，則；
則，；
下面比較b和c的大?。?br /> 設(shè)，，
，
設(shè)，，，
易知在上單調(diào)遞增，則，
所以在上單調(diào)遞減，，
即在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，
由，則，即，則.
綜上，
故選：B
【點睛】方法點睛：本題考查通過導數(shù)的綜合運用.比大小問題要熟悉各類常見的放縮，找出結(jié)構(gòu)的相同之處，通過構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)這一工具，對數(shù)據(jù)進行大小的比較.

二、多選題
9．在二項式的展開式中，下列說法正確的是（????）
A．第8項的系數(shù)為36
B．常數(shù)項為
C．各二項式系數(shù)之和為512
D．各項系數(shù)之和為0
【答案】BCD
【分析】根據(jù)通項可判斷A,B；根據(jù)二項式系數(shù)之和為可判斷C，令可得各項系數(shù)之和可判斷D.
【詳解】的通項為，
對于A，令，則，所以第8項的系數(shù)為，故A錯誤；
對于B，令得，所以常數(shù)項為，故B正確；
對于C， 二項式系數(shù)之和為512，故C正確；
對于D，令可得各項系數(shù)之和為，故D正確；
故選：BCD.
10．“嫦娥五號”是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器，是中國探月工程的收官之戰(zhàn)，實現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示，月球探測器飛到月球附近時，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行，然后在點處變軌進入以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行，最后在點處變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則以下說法正確的是（????）
??
A．橢圓軌道Ⅱ的焦距為
B．橢圓軌道Ⅱ的短軸長為
C．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大
D．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大
【答案】AC
【分析】根據(jù)圖中幾何關(guān)系列方程組求出a，c，然后可得b，可判斷AB；分離常數(shù)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷CD.
【詳解】在橢圓中，由圖可知，解得，
所以，所以，A正確，B錯誤；
，當不變時，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；
，當不變時，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D錯誤.
故選：AC
11．某校高二年級在一次研學活動中，從甲地的3處景點、乙地的4處景點中隨機選擇一處開始參觀，要求所有景點全部參觀且不重復.記“第站參觀甲地的景點”為事件，，2，…，7，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可判斷A,C選項，繼而根據(jù)條件概率的計算公式可判斷B選項，結(jié)合對立事件判斷D選項.
【詳解】由題意可得 A正確；
，故B正確；
由于，C錯誤；
,所以D錯誤.
故選：AB.
12．在三棱錐中，，，設(shè)三棱錐的體積為，直線與平面所成的角為，則下列說法正確的是（????）
A．若，則的最大值為
B．若，則的最大值為
C．若直線，與平面所成的角分別為，，則不可能為
D．若直線，與平面所成的角分別為，，則的最小值為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)橢圓點P的軌跡是以A，C為焦點的橢圓，在空間中，點P的軌跡為橢球面（點P不在平面上）可判斷A；當過點的直線與圓相切時取最大值，求出此時得的最大值可判斷B；若時根據(jù)直線，與平面所成的角相等可判斷C；作平面，設(shè)，由知，求出可判斷D.
【詳解】對于選項A，在平面中，若，點P的軌跡是以A，C為焦點的橢圓，其中，，
那么在空間中，點P的軌跡為橢球面（點P不在平面上），
所以當三棱錐的高為其體積最大，所以，A錯誤；
對于選項B，當過點的直線與以的中點為圓心半徑為的圓相切時，取最大值，
此時，且為銳角，所以的最大值為，B正確；
對于選項C，若，則平面，
因，則直線，與平面所成的角相等，不合題意，C正確；
對于選項D，作平面，O為垂足，則，，
設(shè)，則，，由知，
即，則，D正確.
故選：BCD.
??
【點睛】思路點睛：若，點P的軌跡是以A，C為焦點的橢圓，那么在空間中，點P的軌跡為橢球面（點P不在平面上），考查了形式的空間想象能力.

三、填空題
13．在A，B，C三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%，4%，5%的人患了流感.假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人，則這個人患流感的概率為 .
【答案】/0.052
【分析】有三個地區(qū)的人數(shù)比設(shè)出三個地區(qū)的人數(shù)，求出三個地區(qū)患了流感的人數(shù)，利用古典概型的概率計算公式求解即可.
【詳解】因為A，B，C三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，
所以設(shè)A，B，C三個地區(qū)的人口數(shù)分別為，
則這三個地區(qū)患了流感的人數(shù)分別為，，.
現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人，則這個人患流感的概率為：
.
故答案為：.
14．6名大學畢業(yè)生到綠水村、青山村、人和村擔任村官，每名畢業(yè)生只去一個村，綠水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，則不同的安排方法共有 種.
【答案】60
【分析】利用組合以及分步計數(shù)原理求解.
【詳解】先從6名大學畢業(yè)生選出2名安排到綠水村，有種方法；再從剩余的4名大學畢業(yè)生選出1名安排到青山村，有種方法；最后剩余的3名大學畢業(yè)生安排到人和村，有1種方法，
根據(jù)分步計數(shù)原理可知不同的安排方法共有種，
故答案為：60.

四、雙空題
15．已知雙曲線.則其漸近線方程為 ；設(shè)，分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上一點.若的斜率為1，則 .
【答案】 /0.5
【分析】①根據(jù)雙曲線方程即漸近線公式可直接求得；
②根據(jù)條件寫出直線的斜率，利用雙曲線方程，可求得又進一步求出，再利用兩角差的正切公式即可求解.
【詳解】雙曲線的
所以雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)，由題意
又
即
又

故答案為：①；②

五、填空題
16．若時，不等式恒成立，則整數(shù)的最大值為 .
【答案】2
【分析】方法1：參變分離可得恒成立，設(shè)，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得解；
方法2：設(shè)，，求出函數(shù)的導函數(shù)，考慮的情形，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解.
【詳解】法1：不等式可化為，由，知，則時，恒成立.
設(shè)，，，
設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，
又，，則在上存在唯一的零點，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
所以，且，化簡得，
因，則，則整數(shù)的最大值為.
法2：設(shè)，，，要求整數(shù)的最大值，
則直接考慮的情形，
由得，由得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，令，，，
則在上單調(diào)遞減，，，則整數(shù)的最大值為2；
故答案為：
【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．

六、解答題
17．在等比數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)已知列方程求出和q，然后可得通項公式；
（2）利用裂項相消法求解可得.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，
解得，????????????????????????????????????????????????????
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）??????????????????????????????????????????????
則?????????????????????????????????????????
所以.
18．已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在區(qū)間上有極值點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間
(2)

【分析】（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)大于0或小于0，可得的單調(diào)區(qū)間；
（2）在區(qū)間上有極值點，等價于在區(qū)間有變號零點，再利用分離參數(shù)法即可求解.
【詳解】（1），由得或.???????????
則的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）依題知，在上有變號零點???????????????????????
由，得，令?????????
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減???????????????????????????????
且，，，
則.?????????????????????????????????????????????????
.
19．如圖1，在等腰梯形中，∥，，.將沿折起，使得，如圖2.
??
(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，

【分析】（1）證法一：在等腰梯形中，由已知可求得，即，而，則由線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得結(jié)論，證法二：在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理可求出，從而可得，即，而，則由線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得結(jié)論，
（2）以C為原點，CA，CB所在直線為x，y軸，過C且垂直于底面所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）證法一：因為在等腰梯形中，∥，，，
所以，,
所以，即.????????????????????????????????????????????????????
在圖2中，由，，，平面，
所以平面
因為平面，所以平面平面.????????????????????????????????
證法二：因為在等腰梯形中，∥，，，
所以,
在中，，，
由余弦定理得
，
所以，
在中，由正弦定理知，
所以，得，
因為為銳角，
所以，
所以，即，
因為，，平面，
所以平面
因為平面，所以平面平面.
（2）以C為原點，CA，CB所在直線為x，y軸，過C且垂直于底面所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
設(shè)，，則
設(shè)平面的法向量為，
則有，即，
則，令，，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則有，令，則，
所以，
，化簡得，
解得或（舍），則存在這樣的點，且.????????????????????
??
20．某年級對“熱愛籃球運動與性別是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，被調(diào)查的男、女生人數(shù)均為，其中男生熱愛籃球運動的人數(shù)占被調(diào)查男生人數(shù)的，女生熱愛籃球運動的人數(shù)占被調(diào)查女生人數(shù)的若根據(jù)獨立性檢驗認為熱愛籃球運動與性別有關(guān)，且此推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05.
(1)求被調(diào)查的學生中男生人數(shù)的所有可能結(jié)果；
(2)當被調(diào)查的學生人數(shù)取最小值時，現(xiàn)從被調(diào)查的熱愛籃球運動的學生中，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取10人參加某籃球賽事的志愿活動，再從這10人中任選4人擔任助理裁判.設(shè)4名助理裁判中女生人數(shù)為，求X的分布列和均值.
附：，其中.

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)男生人數(shù)可能為32、36、40、44、48
(2)分布列見解析，

【分析】根據(jù)題意，列出列聯(lián)表，通過的值建立不等關(guān)系，即可解出；
根據(jù)分層抽樣選出男生和女生數(shù)后，利用超幾何分布即可求出X的分布列和均值.
【詳解】（1）整理得到如下列聯(lián)表：??????????????????????????????
性別
籃球運動
合計
熱愛
不熱愛

男生



女生



合計



則?????????????????????????????????????????????????
由解得，則????????
故男生人數(shù)可能為32、36、40、44、48.
（2）由（1）知，共調(diào)查64人，熱愛籃球運動的男生、女生各有24人、16人.?????????
參加志愿活動的10人中，男生有6人，女生有4人.????????????????????????????
由題意知X服從超幾何分布.?????????????????????????????????????????????????????
概率分布為，，1，2，3，4.????????????????????????????
均值.????????????????????????????????????????????????
（2）中概率分布的另外形式：X可取0，1，2，3，4
，， ，
，，
則X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P





.
21．已知拋物線，點在拋物線上，且點到拋物線的焦點的距離為.
(1)求；
(2)設(shè)圓，點是圓上的動點，過點作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩點，求的面積的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求解.
（2）根據(jù)已知直線方程，和拋物線聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，求出點的坐標，從而求出直線的方程，根據(jù)弦長公式，求得，結(jié)合圓上一點到直線的距離的最大值為，從而求出的面積的最大值.
【詳解】（1）由題知準線方程為，則，得.
（2）拋物線的方程為，把點代入到拋物線方程，，又，
所以，則點的坐標為，
依題知過點的直線斜率必存在，
設(shè)過點的直線方程為，
設(shè)，，的圓心為，半徑，
則圓心到該直線的距離為，??????????
由直線與圓相切，所以，解得，，??????????????????????
聯(lián)立，消y得，，則，又，
不妨設(shè)，同理，??????
故，，得，
所以直線：，即，????????????
（定值），
要使的面積最大，則中邊上的高最大即可，
又因為圓心到直線的距離為，
則圓上一點到直線的距離的最大值為，
即中邊上的高的最大值為,
所以.??????????
??
22．已知函數(shù)和有相同的最小值.
(1)求；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，得最小值，由最小值相等得參數(shù)值 ；
（2）結(jié)合圖象分析可知，當直線過曲線和的交點時，滿足題意，結(jié)合可得出三個交點的橫坐標之間的關(guān)系，從而證得結(jié)論成立.
【詳解】（1），令得，
，令得.??????????????????????????????????????
當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，
由，得.
當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，無最小值，不合題意.
綜上所述，.
（2）由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，則直線與、最多有4個交點.
??
當時，令，則在上單調(diào)遞增，當時，，，則在上有唯一的零點，即存在，使得，
取滿足題意，使得直線與、恰有三個交點，???????
分別記為，，，不妨設(shè)，由得，即.
要證，即證，
而，即.????????????
由得，即，
又，，，而在單調(diào)，所以.????????????????????????????????
又由得，即，
又，，而在單調(diào)，所以.
由，得，原命題得證.
【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)的最值，用導數(shù)研究方程的根的問題，屬于難題.對于方程的根的問題，難點在于尋找兩個方程的根之間的關(guān)系，首先第一步由確定一個交點，其次通過和找到交點橫坐標之間的關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)證明結(jié)論成立.

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