2022-2023學(xué)年湖北省重點高中智學(xué)聯(lián)盟高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)中任取兩個數(shù)相加，可得不同和的個數(shù)為（    ）A．10 B．11 C．12 D．21【答案】B【分析】用列舉法可得答案.【詳解】，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以可得不同和為共11個.故選：B.2．等比數(shù)列的前項和為，若，，則（    ）A．5 B．10 C．15 D．﹣20【答案】C【解析】利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，構(gòu)造、、、成等比數(shù)列，利用等比中項的定義即可求出，從而求出的值.【詳解】因為等比數(shù)列的前項和為，，，所以、、、成等比數(shù)列，即、、、成等比數(shù)列，所以，解得：或（舍），所以、、、成等比數(shù)列，所以，解得：，故選：C【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，屬于中檔題.3．若函數(shù)，且，則（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】，，，得.故選：C4．圓柱的軸截面是周長為12的矩形，則滿足條件的圓柱的最大體積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件確定，再將體積轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求體積的最大值.【詳解】圓柱的底面半徑為，高為，則，即，圓柱的體積，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值.故選：A5．展開式的常數(shù)項為（    ）A．120 B．160 C．200 D．240【答案】B【解析】根據(jù)多項式乘法法則求解．【詳解】由題意常數(shù)項為．故選：B．【點睛】本題考查三項式展開式中的項，解題時可用二項式定理，也可結(jié)合多項式乘法法則求解．6．?dāng)?shù)列滿足，且對，恒有，則（    ）A．2021 B．2023 C．2035 D．2037【答案】D【分析】由已知可依次求出的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，.故選：D.7．函數(shù)在處取得極小值，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值即可求得結(jié)果.【詳解】，顯然時，為極大值點，在處不可能取得極小值，所以，由得或1，若在處取得極小值，則，故.故選：A.8．直線與分別與圓交于、和、，則四邊形面積的最大值為（    ）A． B． C．10 D．15【答案】D【分析】由題意可得，設(shè)點到弦、的距離分別為、，，再由基本不等式求解即可.【詳解】顯然，且兩直線同時過定點，點在圓內(nèi)，設(shè)點到弦、的距離分別為、，則，，四邊形面積故選：D. 二、多選題9．下列說法不正確的是（    ）A．若等比數(shù)列的通項公式為，則的前項和為B．等差數(shù)列1，3，5，…，各項的和為C．已知雙曲線：圖象上一點到左焦點的距離，那么到右焦點的距離D．函數(shù)在處取得極值【答案】ABD【分析】令，即可判斷A項；由已知得出公差、項數(shù)，即可求出和，判斷B項；根據(jù)方程得出的值，即可得出雙曲線上點到雙曲線焦點的最小值為.進而根據(jù)雙曲線的定義，列出關(guān)系式，即可得出答案，判斷C項；求導(dǎo)，即可判斷D項.【詳解】對于A項，當(dāng)時，，，故A項錯誤；對于B項，由已知，該數(shù)列公差為2，項數(shù)為，，故B項錯誤；對于C項，由已知可得，，，雙曲線上點到雙曲線焦點的最小值為.根據(jù)雙曲線的定義可知，，解得或（舍去），所以，故C項正確；對于D項，恒成立，所以函數(shù)沒有極值，故D項錯誤.故選：ABD.10．過雙曲線的右焦點作直線與該雙曲線交于、兩點，則（    ）A．存在四條直線，使B．與該雙曲線有相同漸近線且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．若、都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是D．存在直線，使弦的中點為【答案】BC【分析】由直線與雙曲線相交，聯(lián)立方程組，逐項判斷即可.【詳解】對于A，由于，所以右焦點為，設(shè)直線方程為：.聯(lián)立得：，恒成立.所以，，則，.所以.所以，解得，所以只有兩條，故A錯誤；對于B，雙曲線的漸近線為，所以，過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B正確；對于C，若、都在該雙曲線的右支上，則，即，所以，解得.故C正確；對于D，假設(shè)存在直線，使弦的中點為，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得：，恒成立.所以，所以，所以直線方程為，但是由于不在直線上，故不存在這樣的直線，故D錯誤.故選：BC.11．下列說法正確的是（    ）A．從1~9這9個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和是3的倍數(shù)時，不同的取法有30種B．從1~9這9個數(shù)中任取三個組成三位數(shù)，則所有這樣的三位數(shù)之和為279720C．將1~9這9個數(shù)填入一行標(biāo)號為1~9的方格中，恰有6個方格標(biāo)號與填入的數(shù)字相一致的方法有種D．將1~9這9個數(shù)排成一行，任意兩個奇數(shù)或者偶數(shù)不排在一起的排法有【答案】AB【分析】將9個數(shù)分為3組147，258，369.可知這三個數(shù)應(yīng)該來自于同一小組，或者來自于三個不同的小組.分類分別計算得出，進而相加，即可判斷A項；求出數(shù)字1在各個位置出現(xiàn)的次數(shù)，根據(jù)數(shù)字的對稱性，即可得出B項；先選出6個數(shù)字，剩余列出排列，即可根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算，判斷C項；先排偶數(shù)，奇數(shù)插空，計算即可判斷D項.【詳解】對于A項，經(jīng)分析可將9個數(shù)分為3組147，258，369.要使選出的三個數(shù)的和是3的倍數(shù)，則這三個數(shù)應(yīng)該來自于同一小組，或者來自于三個不同的小組.（1）當(dāng)3個數(shù)來自相同一組時滿足，有3個；（2）當(dāng)3個數(shù)，來自于3個不同小組時，也滿足，此時有.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，不同的取法有3+27=30種，故A項正確；對于B項，根據(jù)已知，可知每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等.若選出的3位數(shù)字中含有數(shù)字1，則這樣的三位數(shù)有.因為，1在各個位置出現(xiàn)的次數(shù)相等，所以1在各個位置的次數(shù)均為.所以，所有這樣的三位數(shù)之和為，故B項正確；對于C項，將填入標(biāo)號為的方格中，方格標(biāo)號與數(shù)字均不相等的填寫為和兩種.第一步，選出6個與方格一致的數(shù)字，選法為種；第二步，剩余3個，要求方格標(biāo)號與數(shù)字均不相等的放法有2種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的方法有種，故C項錯誤；對于D項，插空法，第一步，先排好4個偶數(shù)，不同的排法為種；第二步，將5個奇數(shù)插入到5個空格中，不同的排法為種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的方法有種，故D項錯誤.故選：AB.12．各項為正的等差數(shù)列的前項和滿足：對于，，，構(gòu)成等差數(shù)列；公比大于1的等比數(shù)列滿足，；若數(shù)列滿足，則（    ）A．，B．?dāng)?shù)列的前項和為C．?dāng)?shù)列的前項稱為D．?dāng)?shù)列的前7項和為【答案】ABD【分析】利用可得，設(shè)的公比為，利用求出可得可判斷A；利用錯位相減求和可判斷B；利用裂項相消求和可判斷CD.【詳解】對于A，依題意①，時，得，舍去，，②，得，由于每項為正，所以，得數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，且，所以，所以，設(shè)的公比為，所以，解得，所以，故A正確；對于B，設(shè)的前項和為，所以，①，②①②得，所以，故B正確；對于C，，則所求數(shù)列前項和為，所以C錯誤；對于D，由于，所以，故D正確.故選：ABD. 三、填空題13．拋物線上的點到焦點的距離為，則點的縱坐標(biāo)為________.【答案】1【分析】根據(jù)焦半徑公式，代入求值.【詳解】拋物線，，設(shè)點，依題意可知，，得，故答案為：14．若，則________.【答案】【分析】通過賦值法求解二項式展開式的系數(shù)問題即可.【詳解】令得：①，令得：②，由①②可得：，等號兩邊同時乘以得：.故答案為：.15．甲新入職某公司，已知該公司對新入職人員約定：第一年收入為5萬元，以后每年收入都是上一年的1.02倍，則依此約定，甲工作10年的總收入約為________萬元.（精確到1萬元）【答案】55【分析】由已知每年收入都是上一年的1.02倍，可得每年收入是以5為首項，公比為的等比數(shù)列，求和即可.【詳解】由已知每年收入都是上一年的1.02倍，可得每年收入是以5為首項，公比為的等比數(shù)列，所以甲工作10年的總收入約為萬元.故答案為：55.16．、分別是曲線和上任意兩點，則最小為________.【答案】【分析】設(shè)點，，表示出，根據(jù)基本不等式得出.然后證明以及，結(jié)合零點存在定理得出等號成立時的取值，檢驗滿足基本不等式等號成立的條件，即可得出答案.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.設(shè)點，分別是兩曲線上的動點，則，（*）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.由，令，則.由，可得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，也是最小值， 所以.令，顯然單調(diào)遞增.又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.令，則.由，可得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，也是最小值，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因為當(dāng)，時，有，，即滿足基本不等式（*）成立的條件，所以，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用基本不等式轉(zhuǎn)化得出. 四、解答題17．寫出下列問題的算式，并用數(shù)字作答.(1)五家單位各有一個由4人組成的技術(shù)顧問小組，現(xiàn)從中任選3人去支援一個項目建設(shè)，求這3人中任意兩人都不來自同一小組的不同選法種數(shù)；(2)含甲、乙、丙的六個人參加一個競標(biāo)答辯會，由于某種特殊原因，丙不能第一個答辯，甲、乙兩人至少要等三個人答辯完以后才能進行答辯，現(xiàn)在安排甲乙兩人連續(xù)進行答辯，求所有不同的安排方案的種數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）先選出3家單位，然后每家單位選出1人，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，求解即可得出答案；（2）考慮分為丙排在二、三位以及四、五、六位，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，分別求出安排方法.進而根據(jù)分類加法計數(shù)原理，相加即可得出答案.【詳解】（1）第一步：先從5家單位選出3家，選法有種；第二步：從選出的3家單位，每家選出1人，選法有種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選法種數(shù)為.（2）丙排在二、三位：先排丙，有種方法；然后排甲乙（先捆綁），有種方法；最后，安排剩余3人，有種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，有種不同的安排方法；丙排在四、五、六位：先排甲乙丙，將甲乙捆綁，再與丙排列，最后甲乙排列，有；然后，安排剩余3人，有種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，有種不同的安排方法.綜上，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，所有不同的安排方案的種數(shù)為.18．（1）計算的值，并求除以8的余數(shù)；（2）以（1）為條件，若等差數(shù)列的首項為，公差是的常數(shù)項，求數(shù)列前項和的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用排列組合公式及性質(zhì)建立不等式組求出的值，從而求出的值，再利用二項式展開式的性質(zhì)即可求出除以8的余數(shù)；（2）利用二項式求的常數(shù)項即可得公差，結(jié)合（1）中的結(jié)論寫出等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)判斷前項和的最小值，求出即可.【詳解】（1）由題意得：，所以，∴，，則除以8的余數(shù)7，則；（2）由（1）知的展開式為：，令，所以常數(shù)項為：，即等差數(shù)列的公差，又，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由等差數(shù)列中，，所以數(shù)列前項和在或時最小，且最小值為：.所以數(shù)列前項和的最小值為.19．已知函數(shù)的圖象與直線相切.(1)求的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果確定函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值.【詳解】（1）依題意設(shè)與相切于點，又，∴，①，②將①②聯(lián)立得，又，∴代入①得 ；（2）由（1）知：，且，又在上單調(diào)遞增，∴，，則單調(diào)遞減，∴時，，則單調(diào)遞增，而，∴.20．?dāng)?shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求使成立的最小正整數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意得到，得出是以為首項，為公比的等比數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得，求得，利用等比數(shù)列的求和公式，求得和，解，即可求解.【詳解】（1）由題意知，可得，即所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，可得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由，可得，當(dāng)為偶數(shù)時，為偶數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，為奇數(shù)，所以，所以前項的和，所以，所以，不合題意，又因為，且，所以使的最小值為.21．已知圓，圓，動圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切.(1)求動圓的圓心的軌跡方程；(2)過點的兩直線，分別交動圓圓心的軌跡于、和、，.求四邊形的面積.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）動圓的半徑為，根據(jù)圓外切、內(nèi)切的關(guān)系，，結(jié)合橢圓定義即得；（2）設(shè)，聯(lián)立與橢圓的方程得到，同理可得，由題解出，由四邊形的面積公式求解.【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為，，∴，，∴，∴是以，為焦點，以為長軸長的橢圓，可設(shè)方程為，則，，∴的軌跡方程是；（2）  設(shè)，（為0時不符合題意），，，聯(lián)立與橢圓的方程得：，，∴ ，同理設(shè)，不為0，可得，∴，∴，不妨取， ，此時，∴而，同理，∴.22．已知函數(shù)，、是函數(shù)圖象上任意不同的兩點，設(shè)直線的斜率為，若對于任意兩點，恒有.(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)是（1）中的最小正整數(shù)時，直線與的圖象交于不同的兩點.求證：兩個交點的橫坐標(biāo)不小于.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化為，即在遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立，分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）求得，得出的單調(diào)性，記與交于點和，轉(zhuǎn)化為證明，由在處的切線為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，得到，恒有，進而證得，即可得證.【詳解】（1）解：由、，根據(jù)題意得，不妨令，所以，所以，即在遞增，又由，所以恒成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）解：由，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，記與交于點，，則，且，下面證明.由且，所以函數(shù)在處的切線為，記，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即恒有，又由與直線在交于處，所以，所以，因為，且在遞增，可得，所以，即，所以兩個交點的橫坐標(biāo)不小于.【點睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù). 

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