2022-2023學(xué)年吉林省長春市長春凈月高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．經(jīng)過點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為（    ）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】分截距為0和不為0討論即可.【詳解】當(dāng)截距都為0時(shí)，過點(diǎn)時(shí)直線為，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)直線為，代入點(diǎn)得，故在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為或.故選：D.2．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】就是到原點(diǎn)距離，只需求出原點(diǎn)到直線的距離即可.【詳解】就是到原點(diǎn)距離，到原點(diǎn)距離的最小值為則的最小值為2，故選：B.3．原點(diǎn)到直線：的距離的最大值為（    ）A．1 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意可知直線：過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合分析問題即可.【詳解】因?yàn)?/span>，即，令，解得，可知直線：過定點(diǎn)，則，可得原點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即，直線：時(shí)，等號(hào)成立，  所以可得原點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：B.4．如圖，在棱錐中，，，兩兩垂直，，，，則直線與平面所成角的正弦值為（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），  則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：C.5．如圖，在長方體中，，，為中點(diǎn)，則到平面的距離為（    ）  A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用距離公式即可得到答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則,，設(shè)平面的法向量為，則，令得：，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，故選：C.  6．如圖，在正三棱柱中，，則平面與平面夾角的余弦值為（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)平面的法向量，利用面面角的空間向量求法即可得到答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，因?yàn)檎庵?/span>，所以平面平面，，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，又因?yàn)?/span>，所以兩兩互相垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，即，則，令，，設(shè)平面與平面夾角為，則，故選：A.  7．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則的面積為（    ）A．9 B．10 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線方程，與方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并建立方程組求出的坐標(biāo)，借助兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離求解作答.【詳解】依題意，，設(shè)直線的方程為，于是，解得，即直線：，由解得，即有點(diǎn)，  設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)，于是，解得，即點(diǎn)，因此點(diǎn)到直線的距離，，所以的面積為.故選：D8．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的最小值為（    ）  A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，根據(jù)異面直線距離定義利用空間兩點(diǎn)距離公式即可得到答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則可設(shè)，其中，，其中，根據(jù)圖中可知直線和直線為異面直線，若能取到兩異面直線間的距離，則此時(shí)距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知，，，，，，則，則，，解得，滿足范圍，則此時(shí)，則.故選：C.   二、多選題9．已知，兩點(diǎn)到直線：的距離相等，則的值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列式求解即可.【詳解】由題意可得：，整理得，則，解得或.故選：AB.10．如圖，正方體的棱長為2，為線段中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，則（    ）  A．點(diǎn)到直線的距離為 B．直線到直線的距離為2C．點(diǎn)到平面的距離為 D．直線到平面的距離為【答案】AD【分析】建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離，判斷A；先證明，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解，判斷B；求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解，判斷C；把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解，判斷D.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，  則，因?yàn)?/span>，所以.所以點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；因?yàn)?/span>，所以，即所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，，所以直線到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，.由，令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由C得平面的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為，故D正確.故選：AD.11．如圖，正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，，分別為，的中點(diǎn)，則（    ）  A．直線與平面所成角的正弦值為B．直線與夾角的余弦值C．直線與夾角的余弦值D．直線與夾角的余弦值為【答案】CD【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一分析即可.【詳解】在正四面體中，取的中點(diǎn)為，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，  設(shè)正四面體的各棱長為2，作出頂點(diǎn)在底面上的投影點(diǎn)，則，，，則，，，則，， 則，則直線與夾角的余弦值為，B錯(cuò)誤；，，則，則直線與夾角的余弦值為，C正確；，則直線與夾角的余弦值為，D正確；設(shè)平面的法向量，，，則，即，解得，令，則，則，而，設(shè)直線與平面所成角為，則，A錯(cuò)誤.故選：CD12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A．周長的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4【答案】BCD【分析】設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱性可得，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于B：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離分析判斷；對(duì)于C：因?yàn)?/span>，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析判斷.【詳解】設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可知，對(duì)于選項(xiàng)A： 可得周長，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以周長的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)到軸，直線：的距離分別為，則，可得，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>，設(shè)到直線：的距離為，可得，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：作，垂足為，因?yàn)橹本€的斜率，則，可得，則，可得，所以的最小值為4，故D正確；故選：BCD. 三、填空題13．已知點(diǎn)，，，且為直角，則的值為          .【答案】2【分析】根據(jù)，代入計(jì)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>為直角，則，又因?yàn)?/span>，，則有，解得，故答案為：2.14．如圖，在正三棱柱中，，則與所成角的余弦值為      .  【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量,的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】以A為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，  在正三棱柱中，設(shè)，則，則，故，，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.15．已知的頂點(diǎn)，，，設(shè)的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）到直線的距離為，垂心（三邊高的交點(diǎn)）到頂點(diǎn)的距離為，則      .【答案】【分析】先利用直線關(guān)系求出中垂線及高線，從而求出的外心和垂心坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)距離求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以直線的方程為，即，又的中點(diǎn)為，所以直線的中垂線方程為，即，同理，，所以直線的方程為，又的中點(diǎn)為，所以直線的中垂線方程為，聯(lián)立，得，所以的外心為，則它到直線的距離為，又邊的高線為，即，邊的高線為，聯(lián)立，得，所以的垂心為，則垂心到頂點(diǎn)的距離為，所以.故答案為：16．一個(gè)四面體有一條棱長為，其余五條棱長均為3，該四面體的外接球半徑為          .【答案】【分析】畫出幾何體的圖形，的中點(diǎn)，連接，證得平面，設(shè)球心為，半徑為R，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，列出方程，即可求解.【詳解】圖，在三棱錐中，不妨令，取的中點(diǎn)，連接，可得，且，，平面，則平面，在中，由余弦定理可得，設(shè)的中心分別為，四面體的外接球的球心為，半徑，連接，則平面，平面，且四點(diǎn)共面，可得，且，可知，因?yàn)?/span>，解得，且為銳角，則，可得，則，所以該四面體的外接球半徑.故答案為：.   四、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.求：(1)邊上的中線所在直線方程；(2)邊上的高所在直線方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式斜率公式求出的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.（2）由兩點(diǎn)式斜率公式求出斜率，利用垂直關(guān)系得的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】（1）由題知的中點(diǎn)，所以直線的斜率，則邊上的中線所在直線的方程為，化簡得.（2）由題意得直線AC的斜率，且，所以.則邊上的高所在直線的方程為，化簡得.18．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，，，，為中點(diǎn).  (1)用空間的一個(gè)基底表示，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)題意空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間向量的基本定理分析運(yùn)算；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得，，，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：，.（2）由題意可得：，因?yàn)?/span>，，，可得，又因?yàn)楫惷嬷本€夾角為銳角，所以異面直線與所成角的余弦值.19．如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，證明：  (1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）延長和交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意，證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）根據(jù)題意，分別證得和，結(jié)合線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.【詳解】（1）證明：如圖所示，分別延長和交于點(diǎn)，設(shè)，設(shè)，因?yàn)?/span>，可得，由，可得，即，解得，又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，可得，所以，所以，又由，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以為的中點(diǎn)，在中，由三角形的中位線定理，可得，又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.（2）證明：因?yàn)槿庵?/span>為正四棱柱，且，可得四邊形為正方形，所以，又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，可得，且為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，且平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.  20．已知的邊所在直線方程為，邊所在直線方程為，邊的中點(diǎn)為.求：(1)邊所在直線方程；(2)求的面積.【答案】(1)(2)5 【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)中點(diǎn)公式結(jié)合點(diǎn)在直線上得到方程組即可解出坐標(biāo)，再計(jì)算出直線斜率，寫出方程即可.（2）計(jì)算，再利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合三角形面積公式即可.【詳解】（1）設(shè)，，根據(jù)中點(diǎn)公式結(jié)合點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，則有，解得，則，，所以，所以直線方程為，化簡得.（2），聯(lián)立直線方程得，解得，所以，點(diǎn)到直線的距離，則.    21．如圖，等腰直角，，，、分別為、中點(diǎn)，將沿翻折成，得到四棱錐，為中點(diǎn).  (1)證明：平面；(2)若直線與平面成角為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見詳解(2) 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三線合一可得，，在結(jié)合平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可知直線與平面成角為，進(jìn)而可證平面，建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，則∥，，又因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，則∥，，可得∥，，則為平行四邊形，可得∥，由，且分別為的中點(diǎn)，則，可得，由，且分別為的中點(diǎn)，則，且，平面，所以平面.（2）由（1）可知：平面，則直線與平面成角為，可得，連接，則，即，可得，又因?yàn)?/span>，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，  則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，且直線與平面所成角為銳角，所以與平面所成角的正弦值.22．如圖，四棱錐中，，，，，，為線段中點(diǎn)，線段與平面交于點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見詳解(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)題意可得平面，進(jìn)而可得，根據(jù)三線合一以及勾股定理可證平面，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）建系，利用空間向量求面面夾角；（3）設(shè)，根據(jù)線面關(guān)系可得，利用向量求面積以及點(diǎn)到面的距離，結(jié)合體積公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）連接，因?yàn)?/span>，且為線段中點(diǎn)，則，又因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，由平面，可得，所以，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，則，且，可知，可得，且，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，且平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）設(shè)，因?yàn)?/span>，則，解得，即，可得，又因?yàn)?/span>，解得，即，可得，則，可得，可知為鈍角，則，所以的面積為，又因?yàn)?/span>，則，可得，可知為銳角，則，所以的面積為，可知四邊形的面積為，又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離，所以四棱錐的體積. 

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