2022-2023學(xué)年福建省寧德市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（B卷） 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A．30° B．45° C．120° D．135°【答案】B【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】的斜率為1，故傾斜角滿足，又傾斜角大于等于0°小于180°，故傾斜角為45°.故選：B2．已知等差數(shù)列，若，則（    ）A．20 B．24 C．28 D．32【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以.故選：B3．已知直線過點，且在軸上的截距為，則直線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在軸上的截距為3，說明直線過點，由斜率公式求得直線斜率，由點斜式寫出直線方程并整理為一般式．【詳解】由題意，直線l過點和點，∴其斜率為，直線方程為，即.故選：A.4．已知圓，則兩圓的位置關(guān)系為（    ）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】B【分析】由已知分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)以及半徑，然后求出圓心距與半徑之差以及半徑之和比較，由此即可判斷求解．【詳解】由圓的方程可得圓心，半徑，圓的方程化為，得圓心，半徑，則，所以兩圓外切.故選：B．5．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思是：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第四天走了（    ）A．24里 B．48里 C．96里 D．192里【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及通項公式直接求解.【詳解】設(shè)第天走的路程里數(shù)為，因為從第二天起，每天走的路程為前一天的一半，所以是公比為的等比數(shù)列，設(shè)其前項和為，因為6天走完378里路，所以，由等比數(shù)列前項和公式得，所以，所以，即第四天走了24里路.故選：A.6．兩等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差中項以及等差數(shù)列求和公式得到，結(jié)合題意即可求解.【詳解】因為，均為等差數(shù)列，由等差中項性質(zhì)以及求和公式可得，又因為，將代入，得.故選：D7．已知數(shù)列滿足，前項和為，若，則（    ）A．1100 B．1203 C．1303 D．1400【答案】C【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系，得知數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項分別是以2為公差的等差數(shù)列，進(jìn)一步利用，整理得，最后利用分組法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【詳解】數(shù)列滿足,①故，②所以②-①得：，故數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項都是以2為公差的等差數(shù)列；設(shè)，所以，故，；由于，所以，解得．即，，所以故選：C．8．已知為圓上的兩動點，，點P是圓上的一點，則的最大值是（    ）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理求出，再將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為，利用三角不等式求解．【詳解】設(shè)M是AB的中點，因為，所以，即M在以O為圓心，1為半徑的圓上，，所以．又，所以，所以．故選：C． 二、多選題9．已知數(shù)列，則下列說法正確的是（    ）A．此數(shù)列的通項公式是 B．是它的第17項C．此數(shù)列的通項公式是 D．是它的第18項【答案】AB【分析】先猜想出通項公式，然后確定是第幾項.【詳解】依題意，，所以，令，解得，所以是它的第17項.故選：AB10．下列說法正確的是（    ）A．過兩點的直線方程為B．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是C．點關(guān)于直線的對稱點為D．直線必過定點【答案】BD【分析】對于A,根據(jù)兩點式直線方程的使用條件判斷即可;對于B,求出直線分別在軸和軸上的截距,再用三角形面積公式求解即可;對于C,設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為,列方程組求解即可;對于D,將直線可轉(zhuǎn)化為即可進(jìn)行判斷.【詳解】對于A,當(dāng)或時,不存在選項中的兩點式直線方程,故A錯誤;對于B,直線在軸上的截距為,在軸上的截距為,所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是,故B正確;對于C,設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為,則,解得,即點關(guān)于直線的對稱點為,故C錯誤;對于D,直線可轉(zhuǎn)化為,過定點,故D正確.故選:BD.11．?dāng)?shù)列的前項和為，則有（    ）A． B．為等比數(shù)列 C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)求得，進(jìn)而求得以及判斷出是等比數(shù)列.【詳解】由題得，兩式相減得，即，當(dāng)時，，所以數(shù)列從第項起是等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，符合上式，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以ABD選項正確，C選項錯誤.故選：ABD12．已知圓，點為直線上一動點，點在圓上，以下四個命題表述正確的是（    ）A．直線與圓相離B．圓上有且僅有1個點到直線的距離等于1C．過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D．過點向圓引兩條切線為切點，則直線經(jīng)過點【答案】ACD【分析】計算點到直線的距離和半徑比較，可判斷A；根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷B；根據(jù)切線長公式，并結(jié)合點到直線的距離，可判斷C；首先求兩圓相交的公共弦所在的直線方程，再利用點滿足，化簡直線方程，進(jìn)而判斷D.【詳解】選項A：圓的圓心 ，半徑 ，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離．故A正確；選項B：圓心到直線的距離， ，圓上有且僅有2個點到直線的距離等于1，故B錯誤；選項C:  由切線的性質(zhì)知， 為直角三角形， ，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時等號成立，所以 的最小值為 ，故C正確；選項D：設(shè)點，，所以四點共圓，為直徑，圓心為，半徑，所以圓的方程為，又圓，兩圓相減得，所以直線的方程為，因為點在直線上，所以， ，所以，整理得 ，由，得 ，所以直線過定點，故D正確．  故選：ACD． 三、填空題13．若直線與平行，則與間的距離是          ．【答案】2【分析】首先利用兩條直線平行求，再代入平行線間的距離公式，即可求解.【詳解】因為，所以，得，所以與間的距離.故答案為：214．在數(shù)列中，，則數(shù)列的最大項是第          項．【答案】4【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷數(shù)列的最大項.【詳解】，當(dāng)時，取得最大值.故答案為：415．已知，則數(shù)列的通項公式是          ．【答案】【分析】由已知遞推式可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，，，……，（），所以，所以，因為，所以，因為也滿足上式，所以，故答案為： 四、雙空題16．已知直線與圓相交于兩點,則圓心到直線的距離          ,若為圓周上一點,線段的中點在線段上,且,則          .【答案】          【分析】根據(jù)點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離;過作于,連接,令,根據(jù)已知可得,分別在和中利用勾股定理得到方程,解方程即可得到結(jié)果.【詳解】  如圖,過作于,連接,則,即圓心到直線的距離.易知,不妨令,由可得:,則,在中,有①,在中,有②,聯(lián)立①②,解得:.故答案為:;. 五、解答題17．已知直線過點．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，以及直線的點斜式公式，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，分直線過原點，不過原點兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）因為直線與直線垂直， 所以可設(shè)直線的方程為，因為直線過點，所以，解得，所以直線的方程為．（2）當(dāng)直線過原點時，斜率為，由點斜式求得直線的方程是，即．當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，把點代入方程得，所以直線的方程是．綜上，所求直線的方程為或．18．國家汽車產(chǎn)業(yè)振興規(guī)劃的政策極大地刺激了小排量汽車的銷售，據(jù)分析預(yù)測，某地今年小排量型車每月的銷量將以的增長率增長，小排量型車的銷量每月遞增輛．已知該地今年月份銷售型車和型車均為輛，據(jù)此推測，該地今年底這兩款車的銷售總量能否超過輛？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】推測該地區(qū)今年這兩款車的總銷量能超過輛．【分析】設(shè)該地今年第月型車和型車的銷量分別為輛和輛，由題意可得是首項，公比的等比數(shù)列， 是首項，公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和求解即可.【詳解】解：設(shè)該地今年第月型車和型車的銷量分別為輛和輛，依題意，得是首項，公比的等比數(shù)列， 是首項，公差的等差數(shù)列．設(shè)的前項和為，則， 設(shè)的前項和為，則所以，可推測該地區(qū)今年這兩款車的總銷量能超過輛．19．已知等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列的公比為2，且．(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）設(shè)的公差為然后等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式結(jié)合已知條件列方程可求出，從而可求出，再由可求出，從而可求出，（2）由（1）得，然后利用錯位相減法可求出.【詳解】（1）設(shè)的公差為因為，所以又由，得，所以．因為，公比，所以，所以=2，所以（2）因為，      所以①② ①-②，得  =，所以．20．已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)過點的動直線與圓相交于兩點，當(dāng)時，求直線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列出方程組，解方程組從而得到方程；（2）根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論，再結(jié)合求出直線方程.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，由已知可得方程組 ，解得 ，∴圓的方程為．（2）當(dāng)直線與軸垂直時，易知直線的方程為， 此時，符合題意；當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，又，∴，解得，則直線的方程為，即，綜上可知直線的方程為或．21．已知直線過定點，且與圓交于兩點．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)若為坐標(biāo)原點，直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)定值 【分析】（1）法一：若直線的斜率不存在，此時直線與圓相切，不合乎題意，則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由求解；法二：若直線的斜率不存在，此時直線與圓相切，不合乎題意，則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與圓的聯(lián)立，根據(jù)直線與圓相交，由求解.（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）解：法一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為．若直線的斜率不存在，此時直線與圓相切，不合乎題意．所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即由題意可得，解得．               因此，直線的斜率的取值范圍是．法二：若直線的斜率不存在，此時直線與圓相切，不合乎題意．所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，得，其中因為直線與圓相交，所以，解得，                                          因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，得，其中，所以，， 則 ，所以為定值．22．已知數(shù)列滿足，且，(1)求數(shù)列的前三項；(2)令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；(3)在（2）的條件下，若且數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)，，(2)證明見解析，(3)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求解即可；（2）由題設(shè)可推導(dǎo)得到，進(jìn)而求證，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求解即可；（3）由題設(shè)可得，根據(jù)裂項相消法求和，進(jìn)而求證.【詳解】（1）由，可得，即．同理，即.同理，即.（2）因為，又，所以數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以.（3）由（2）知，所以，因為數(shù)列的前項和為，所以．因為  所以，所以. 

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