2022-2023學(xué)年四川省成都市雙流區(qū)永安中學(xué)高二下學(xué)期零模模擬考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，B的具體區(qū)間，再按照交集的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.【詳解】由題意：，，所以；故選：C.2．已知函數(shù)，則（    ）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】先求，再根據(jù)的值帶入相應(yīng)解析式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：B3．在某次歷史考試中，在A，B兩班各選取5位同學(xué)分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，A，B兩班5位同學(xué)平均數(shù)分別為a或b，則a，b的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．a，b的大小關(guān)系不能確定【答案】C【分析】讀取莖葉圖中的數(shù)據(jù)運(yùn)用平均數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】A：；B：．所以，故選：C．4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（    ）A．－ B．2 C．5 D．8【答案】C【分析】作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，平移目標(biāo)函數(shù)即可求解.【詳解】畫出可行域如圖所示，由解得，設(shè)A(1,2)，則目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時(shí)在y軸上的截距最大，所以在點(diǎn)A(1,2)處取得最大值最大值為.故選：C.5．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)離心率求出，再根據(jù)雙曲線的漸近線方程即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)?/span>，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.6．已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)直線方程確定所過的定點(diǎn)，再由定點(diǎn)與圓心的距離即可得圓心C到直線l的最大距離.【詳解】由直線l得：，則直線l恒過定點(diǎn)，由圓，則圓心，故圓心C到直線l的最大距離.故選：A7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】求得，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得.故選：A.8．在中，a、b分別是角A、B所對的邊，條件“”是使“”成立的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)：“大邊對大角”和余弦函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】如果 ，根據(jù)三角形的性質(zhì)：大邊對大角，則有，對于余弦函數(shù)，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，，，即“”是“”的充分條件；如果，在時(shí)是減函數(shù)，，由三角形的性質(zhì)：大邊對大角可知，“”是“”的必要條件；即“”是“”的充要條件；故選：C.9．我國明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個(gè)求解算法，則輸出的的值為（    ）A．25 B．45 C．55 D．75【答案】D【分析】根據(jù)程序框圖，模擬程序計(jì)算過程，計(jì)算每一步的，，的值，直到退出循環(huán)，即可求得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框圖：，，，，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，退出循環(huán)，輸出.故選：D.10．把一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圓柱的高，由圓柱和球的體積相等即可得出球的半徑，再利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)實(shí)心圓柱的高為，因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，解得，則圓柱的體積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，因此，該鐵球的表面積為.故選：A.11．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，根據(jù)題意得對任意恒成立，轉(zhuǎn)換為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，即可得到結(jié)論；【詳解】因?yàn)?/span>，則，即，當(dāng)時(shí)，令得，，，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為和極小值點(diǎn)為，即，，則，，依題意，恒成立，得對任意恒成立，由于此時(shí)，所以；所以，即，設(shè)，則，令（*）①當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞增，所以，即，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)（*）的兩根為，且，則，因此，則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，矛盾，不合題意；綜上，的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．12．已知拋物線上有一定點(diǎn)和兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示得，再根據(jù)方程有解列不等式，解得結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，即，整理可得：,而、和三點(diǎn)不重合即，所以式子可化成，整理可得，根據(jù)題意可知，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，即判別式，得或，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是，故選：D. 二、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則        .【答案】【分析】求出，進(jìn)而利用復(fù)數(shù)的模長性質(zhì)求出答案.【詳解】，故.故答案為：14．一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，每隔45秒再次亮紅燈，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，恰是紅燈的概率為      .【答案】/0.4【分析】根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式求解即可.【詳解】解：由題意知紅燈的時(shí)間為30秒，每隔45秒再次亮紅燈，到達(dá)此路口時(shí)恰是紅燈的概率為故答案為：15．以下是標(biāo)號分別為①、②、③、④的四幅散點(diǎn)圖，它們的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，那么相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為     （按由小到大的順序排列）. 【答案】【分析】利用樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷出的大小關(guān)系【詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知，圖①③成正相關(guān)，圖②④成負(fù)相關(guān)，∴，又圖①②的散點(diǎn)圖近似在一條直線上，則圖①②兩變量的線性相關(guān)程度比較高，圖③④的散點(diǎn)圖比較分散，故圖③④兩變量的線性相關(guān)程度比較低，即與比較大，與比較小，∴，故答案為：.16．已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是   ．【答案】【分析】由分段函數(shù)解析式，可分、、三種情況分別寫出與，結(jié)合，可得關(guān)于的表達(dá)式，再由函數(shù)的單調(diào)性求解的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，則，可得，即，求得，則，函數(shù)在上遞增，；當(dāng)時(shí)，，，可知不存在，使得；當(dāng)時(shí)，則，由，得，令，，則，，，，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即．綜上所述，的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵通過分、以及進(jìn)行討論，通過構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性得到范圍. 三、解答題17．已知函數(shù).(1)求單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)最小值為，最大值為4 【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合第一問求出最小值，再比較端點(diǎn)值求出最大值.【詳解】（1）定義域?yàn)?/span>R，，令得：或，令得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）可知：在處取得極小值，且為最小值，故，又因?yàn)?/span>，而，所以，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為418．中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育最重要的階段，長時(shí)間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩班學(xué)生每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長（單位：小時(shí)），分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到他們最近一周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長的樣本數(shù)據(jù)：甲班813283239乙班1225262831如果學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長超過26小時(shí)，則稱為“過度熬夜”．(1)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)甲、乙兩班的學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)時(shí)長的平均值；(2)從樣本甲、乙兩班所有“過度熬夜”的學(xué)生中任取2人，求這2人都來自甲班的概率．【答案】(1)24.4小時(shí)(2) 【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式直接計(jì)算可得；（2）列舉出所有可能情況，然后由古典概型概率公式可得.【詳解】（1）甲班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)甲班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24小時(shí)；乙班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)乙班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24.4小時(shí)．（2）由題知，甲班“過度熬夜”的有3人，記為，乙班“過度熬夜”的有2人，記為，從中任取2人，有，共10種可能，其中都來自甲班的有，共3種可能，所以所求概率．19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).  (1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）通過求出和面的一個(gè)法向量，即可證明結(jié)論；（2）分別求出面和面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，在矩形中，，，,，分別是，的中點(diǎn)，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，， ∴面，面，∴，取中點(diǎn)，連接，由幾何知識得，∵，∴，∵面，面，∴面，∴以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，      ∴，∴，面的一個(gè)法向量為，∵，∴平面.（2）由題意，（1）及圖得，在面中，，，設(shè)其法向量為，則，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，在面中，其一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為∴，由圖象可知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.20．已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由以及即可求解的值，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，由弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可化簡求解.【詳解】（1）由，可得，解得，又因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：當(dāng)與軸重合時(shí)，，所以當(dāng)不與軸重合時(shí)，設(shè)，直線的方程為，由整理得，則，故圓心到直線的距離為，則，所以，即為定值．21．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析 【分析】（1）將代入后得，對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由題意得，從而利用分析法將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，則，因?yàn)?/span>，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，兩式相減，可得，兩式相加得，要證，只要證，即證，即證，只須證，即證，即證，令，則由得，故須證，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即成立，故原不等式成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先化參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程，然后將代入整理即可.（2）聯(lián)立直線和（1）中的極坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）由可得，將代入可得，，整理可得，即為曲線的極坐標(biāo)方程.（2）和聯(lián)立可得，，設(shè)對應(yīng)得極徑分別為，根據(jù)韋達(dá)定理，，于是 

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