成都市石室中學2022-2023學年高三下學期二診模擬考試理科數學第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．已知z的共軛復數是，且（i為虛數單位），則復數z的虛部為（    ）A． B． C． D．3．下圖是我國跨境電商在2016~2022年的交易規(guī)模與增速統(tǒng)計圖，則下列結論正確的是（    ）A．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數為8.0萬億元B．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的增速越來越大C．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為7.6萬億元D．圖中我國跨境電商交易規(guī)模的6個增速的中位數為13.8%4．設實數x，y滿足約束條件則的最小值為（    ）A． B． C． D．5．的展開式中，常數項為（    ）A． B． C． D．6．我國古代魏晉時期數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，“割之彌細，所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”．劉徽從圓內接正六邊形逐次分割，一直分割到圓內接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積．利用該方法，由圓內接正n邊形與圓內接正邊形分別計算出的圓周率的比值為（    ）A． B． C． D．7．從0，2，4中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為（    ）A．24 B．27 C．30 D．368．已知雙曲線的右焦點為，點P，Q在雙曲線上，且關于原點O對稱．若，且的面積為4，則雙曲線的離心率為（    ）A． B．2 C． D．39．已知函數滿足，，當時，，則（    ）A． B． C． D．10．已知拋物線與直線相交于A，B兩點，F為拋物線C的焦點，若，則的中點的橫坐標為（    ）A． B．3 C．5 D．611．設，，，則下列關系正確的是（    ）A． B． C． D．12．已知正方體的棱長為2，M為的中點，N為正方形所在平面上一動點，為正方形所在平面上一動點，且平面，則下列命題正確的個數為（    ）①若與平面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡為圓；②若三棱柱的側面積為定值，則動點N的軌跡為橢圓；③若與AB所成的角為，則動點N的軌跡為雙曲線；④若點N到直線與直線DC的距離相等，則動點N的軌跡為拋物線．A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．平面向量，滿足，，且，則x的值為________．14．已知直線，，圓C與，都相切，則圓C的一個方程為________．（寫出滿足題意的任意一個即可）15．已知三棱錐P-ABC的體積為，各頂點均在以PC為直徑的球面上，，，，則該球的表面積為________．16．已知函數，，，且在上單調，則的最大值為________．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）針對我國老齡化問題日益突出，人社部將推出延遲退休方案．某機構進行了網上調查，所有參與調查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數如下表所示． 支持保留不支持50歲以下80004000200050歲以上（含50歲）100020003000（Ⅰ）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值；（Ⅱ）在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人看成一個總體，從這10人中任意選取3人，求50歲以下人數的分布列和期望．18．（本小題滿分12分）已知數列的前n項和為，，．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令，從①，②，③三個條件中任選一個，求數列的前n項和．19．（本小題滿分12分）如圖1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分別是邊AB，AC的中點，現將沿著DE折起，使點A到達點P的位置，連接PB，PC，得到四棱錐P-BCED，如圖2所示，設平面平面PBC=l．（Ⅰ）求證：平面PBD；（Ⅱ）若點B到平面PDE的距離為，求平面PEC與平面PBD夾角的正弦值．20．（本小題滿分12分）已知橢圓經過點，其右焦點為．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）橢圓C的右頂點為A，若點P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，求面積的最大值．21．（本小題滿分12分）已知函數．（Ⅰ）討論的零點個數；（Ⅱ）若有兩個零點，，求證：．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，那么按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數方程]（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知直線與曲線（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求曲線C的普通方程；（Ⅱ）在極坐標系中，射線與直線l和曲線C分別交于點A，B，若，求的值．23．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）已知存在，使得成立，，．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）求的最小值．                     成都石室中學2022-2023學年度下期高2023屆二診模擬考試理科數學參考答案答案及解析1．C  2．D  3．D 4．B  5．A  6．B  7．C 8．C  9．D 10．A  11．C  12．A 13．15． 16．5  17．解：（Ⅰ）參與調查的總人數為，其中從持“不支持”態(tài)度的人數中抽取了30人，所以．（Ⅱ）在持“不支持”態(tài)度的人中，50歲以下及50歲以上人數之比為2∶3，因此抽取的10人中，50歲以下與50歲以上的人數分別為4人，6人，故，則，，，．的分布列為：0123P期望．18．解：（Ⅰ）因為，所以．將上述兩式相減，得．因為，，即，所以，所以，所以．因為，所以，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．若選①：，則，．將上述兩式相減，得，所以．若選②：，則若選③：．當n為偶數時，；當n為奇數時，．綜上，．19．（Ⅰ）證明：因為，所以．因為D，E分別是邊AB，AC的中點，所以，所以DE⊥BD，DE⊥PD．又BD，平面PBD，，所以DE⊥平面PBD．因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面PDE，平面平面，所以，所以平面PBD．（Ⅱ）解：如圖，過點B作，垂足為F．由（Ⅰ）可知，平面PDE⊥平面PBD．又平面平面PBD=PD，所以BF⊥平面PDE，所以點B到平面PDE的距離即為BF的長，則．在中，，所以．又BD=PD=2，所以是邊長為2的等邊三角形．取BD的中點O，連接OP，則，．由（Ⅰ）可知，DE⊥平面PBD．又平面PBD，所以DE⊥OP．又，BD，平面BCED，所以OP⊥平面BCED．以D為坐標原點，DB，DE所在直線分別為x軸、y軸，且以過點D與OP平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，所以，，．設平面PEC的法向量為，則令，得，，所以是平面PEC的一個法向量．易知是平面PBD的一個法向量，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為．20．解：（Ⅰ）依題意，得解得所以橢圓C的標準方程為．（Ⅱ）易知直線與的斜率同號，所以直線不垂直于x軸，故可設：，，．由得，所以，，，即．由，得，消去，得，即，所以，整理得，所以或，所以直線：或．又因為直線不經過點，所以直線經過定點，所以直線的方程為，易知，設定點，則．因為即，且，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為．21．（Ⅰ）解：．因為，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以．當，即時，的零點個數為0．當，即時，的零點個數為1．當，即時，注意到，．因為，所以．因此，，，使得，所以此時的零點個數為2．綜上，當時，的零點個數為0；當時，的零點個數為1；當時，的零點個數為2．（Ⅱ）證明：（證法一）由（Ⅰ）可知，當時，函數有兩個零點，且．令，，則．當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，所以．所以．因為，所以．又由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上單調遞增，所以，故．（證法二）由，得則．由對數平均不等式，得，所以，所以．又，所以．22．解：（Ⅰ）曲線C的普通方程為，．（Ⅱ）直線l的極坐標方程為，易得．曲線C的極坐標方程為，易得．由已知，得，，，，兩邊平方并整理得．又，即，所以，則．23．解：（Ⅰ）由題意，知．因為存在，使得，所以只需，即的取值范圍是．（Ⅱ）由柯西不等式，得，當，時，取得最小值．
 

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