2022-2023學(xué)年貴州省畢節(jié)市織金縣第九中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若隨機變量滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以.故選：A2．現(xiàn)有甲部門的員工2人，乙部門的員工4人，丙部門的員工3人，從這三個部門的員工中任選1人參加接待客戶的活動，不同的選法種數(shù)為（    ）A．9 B．24 C．16 D．36【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)公式和分類計算原理，即可求解.【詳解】由現(xiàn)有甲部門的員工2人，乙部門的員工4人，丙部門的員工3人，從這三個部門的員工中任選1人參加接待客戶的活動，結(jié)合分類計數(shù)原理，可得共有種不同的選法種數(shù).故選：A.3．已知直線與圓交于兩點，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求圓的圓心和半徑，再用點到直線的距離公式求點到直線的距離，再利用弦長公式求.【詳解】因為圓的圓心為，半徑r=2，因為到直線的距離，所以.故選：B.4．已知變量關(guān)于的回歸直線方程為，相關(guān)系數(shù)為，則下列選項正確的是（    ）A．若，則與是正相關(guān)B．若接近，則表示與的相關(guān)性很強C．若，則D．若變量增大一個單位，則變量就一定增加個單位【答案】C【分析】根據(jù)回歸方程和相關(guān)系數(shù)的定義逐項判斷即可．【詳解】對于A：若，則與是正相關(guān)，故A錯誤；對于B：若接近，則表示與的相關(guān)性很強，故B錯誤；對于C：若，則與是正相關(guān)，則，故C正確；對于D：線性回歸方程為估計值，不知準確值，故D錯誤．故選：C．5．一排有7個空座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（    ）A．120種 B．60種 C．40種 D．20種【答案】B【分析】根據(jù)題意，由插空法即可得到結(jié)果.【詳解】首先拿出4個空座位，則四個空座位之間一共有5個空位置，包括兩端，從5個空位置中選出3個空位置，即，然后3人全排列為,所以不同的坐法共有種，故選:B6．被4除的余數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)能被整除，化簡，結(jié)合二項展開式，即可求解.【詳解】由，即能被整除，又由，所以被4除的余數(shù)為 故選：B.7．已知是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，若，則該橢圓的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出，的坐標，再通過得，從而建立方程，再化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【詳解】根據(jù)對稱性不妨設(shè)在第二象限，在第一象限，聯(lián)立，可解得，，，又，，，又，，，，，，，又，該橢圓的離心率．故選：C．8．為激發(fā)人們愛林、造林的熱情，促進國土綠化，保護人類賴以生存的生態(tài)環(huán)境，每年的3月12日是我國法定的植樹節(jié)．某班6名男同學(xué)和3名女同學(xué)約定周末一起去植樹，現(xiàn)需將9人分成三組，每組3人，各小組內(nèi)3人分別負責(zé)挖坑、填土、澆水三項工作，其中女同學(xué)只負責(zé)澆水，且男同學(xué)甲與女同學(xué)乙不在同一個小組，則不同的安排方法種數(shù)為（    ）A．240 B．360 C．480 D．540【答案】C【分析】根據(jù)題意得到每組中兩個男生和一個女生，先求得男同學(xué)甲與女同學(xué)乙不在同一個小組，有分法，再求得將6個男生和3個女生，分為3組，結(jié)合平均分組的計算方法，求得有分法，進而得到男同學(xué)甲與女同學(xué)乙不在同一個小組的不同分法為種分法，再根據(jù)每組中的兩名男生有2種不同的分配情況，即可求解.【詳解】因為每組3人，各小組內(nèi)3人分別負責(zé)挖坑、填土、澆水三項工作，其中女同學(xué)只負責(zé)澆水，所以每組中男女分配只有一種可能，即兩個男生和一個女生，若男同學(xué)甲與女同學(xué)乙在同一個小組，再從5個男生中抽取一個男生，有中，剩余的6分成兩組，共有種分法，所以共有分法，若將6個男生和3個女生，分為3組，且每組中兩個男生和一個女生，共有分法，所以男同學(xué)甲與女同學(xué)乙不在同一個小組的不同分法，共有種分法，又因為每組中的兩名男生有2種不同的分配情況：所以不同的安排方法種數(shù)為種.故選：B. 二、多選題9．已知則（    ）A． B．若越大，則越小C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，所以，A選項正確.越大，正態(tài)分布的最高點越矮，遠離的數(shù)據(jù)越多，越小，B選項正確.根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知，C選項正確.，D選項錯誤.故選：ABC10．隨機變量的分布列為234若，則（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由分布列的性質(zhì)列方程可求出，再由方差的公式可求出.【詳解】由題可知，解得，則.故選：AD.11．如圖，正四面體的頂點，，分別在兩兩垂直的三條射線，，上，則下列結(jié)論錯誤的為（    ）A．是正三棱錐 B．直線平面C．直線與所成的角是 D．二面角為【答案】BD【分析】將正四面體放置到正方體中，由正四體的性質(zhì)，易知選項A正確；選項B，通過找平行直線，通過與平面相交，可判斷選項B錯誤；選項C，利用異面直線所成角的定義，通過把平移到即可得出為異面直線與所成的角，求出角即可判斷選項C的正誤；選項D，通過求二平面的法向量所成的角來求出二面角的大小，進而可判斷結(jié)果錯誤.【詳解】如圖，將正四面體放入正方體中，因為為正四面體，所以，且為正三角形，選項A正確；對于選項B，將平移到，因為直線與平面相交，可知選項B錯誤；對于選項C，將平移到，由異面直線所成角的定義知，為異面直線與所成的角，易知，故選項C正確；對于選項D，設(shè)正方體的邊長為1，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則由，得到，取，得到，所以，設(shè)平面的法向量為，則由，得到，取，得到，所以，則，設(shè)二面角為，則有，故選項D錯誤.故選：BD.12．已知拋物線，其準線為l，焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線和，設(shè)交拋物線C于A，B兩點，交拋物線C于D，E兩點，O為坐標原點，則（    ）A．為定值 B．延長AO交準線l于點G，則軸C． D．四邊形ADBF面積的最小值為8【答案】ABD【分析】設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得及，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，可判定A選項正確；由，可判定B選項正確；由，，化簡可判定C選項錯誤；設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為或，結(jié)合拋物線的性質(zhì)得到，利用基本不等式，可判定D符合題意.【詳解】由拋物線可得準線為，焦點為，設(shè)直線，代入拋物線，得到，設(shè)，，則，，，.對于A中，由，為定值，所以A選項正確；對于B中，由得，則，所以B選項正確；對于C中，由，，可得，故C選項錯誤；對于D中，設(shè)直線的傾斜角為，可得，即，由A選項可得，所以，因為，則直線的傾斜角為或，同理可得，所以，（當且僅時，等號成立），所以D選項正確.故選：ABD. 三、填空題13．已知A與B獨立，且，則      ．【答案】/0.7【分析】根據(jù)相互對立滿足的關(guān)系，結(jié)合條件概率的計算公式即可求解.【詳解】由于A與B獨立，所以,所以.故答案為:14．已知，則n的一個取值可能是          .【答案】10（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定條件，利用組合數(shù)公式化簡不等式，并求解作答.【詳解】不等式化為：，整理得：，而，解得，又，因此，所以n的一個取值可能是10.故答案為：10 四、雙空題15．已知展開式的二項式系數(shù)和為512，則n＝      ；展開式中的系數(shù)為      ．【答案】          【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，得的，求得的值，再由二項展開式的通項，進而求得展開式中的系數(shù).【詳解】因為二項式 展開式的二項式系數(shù)和為，由二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得，解得，又由展開式的通項為，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：9；. 五、填空題16．公司要從名男性員工和名女性員工中隨機選出人去出差，設(shè)抽取的人中女性員工的人數(shù)為，則          .【答案】【分析】依題意可得，利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】依題意的可能取值為、、、，所以.故答案為： 六、解答題17．被贊譽為“波士頓比利”的美國知名跑者比爾·羅杰斯曾經(jīng)說過：“跑步是全世界最棒的運動．”堅持跑步可以增強體質(zhì)、提高免疫力、改善精神狀態(tài)．某數(shù)學(xué)興趣小組從某地大學(xué)生中隨機抽取200人，調(diào)查他們是否喜歡跑步，得到的數(shù)據(jù)如下表所示．性別跑步總計喜歡跑步不喜歡跑步男生 50120女生30  總計  200(1)分別估計該地男、女大學(xué)生喜歡跑步的概率；(2)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該地大學(xué)生是否喜歡跑步與性別有關(guān)？參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)，(2)該地大學(xué)生是否喜歡跑步與性別有關(guān) 【分析】（1）根據(jù)題意可得女大學(xué)生有人，進而可得喜歡跑步的頻率，再完善列聯(lián)表可得男大學(xué)生喜歡跑步的頻率；（2）完善列聯(lián)表，計算卡方進行獨立性檢驗即可.【詳解】（1）由題意可得樣本中女大學(xué)生有人，則女大學(xué)生喜歡跑步的頻率是，故該地女大學(xué)生喜歡跑步的概率是．由題意可知樣本中喜歡跑步的男大學(xué)生有人，則男大學(xué)生喜歡跑步的頻率是，故該地男大學(xué)生喜歡跑步的概率是．（2）由題意，完善列聯(lián)表：性別跑步總計喜歡跑步不喜歡跑步男生7050120女生305080總計100100200零假設(shè)為：該地大學(xué)生是否喜歡跑步與性別無關(guān)．由題意可得．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該地大學(xué)生是否喜歡跑步與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．18．某班舉行“黨史知識”競賽，共12個填空題，每題5分，滿分60分.李明參加該競賽，其中前9個題能答對，后3個題能答對的概率分別為，，.(1)求李明最終獲得滿分的概率；(2)設(shè)李明的最終得分為，求的分布列及均值.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案．（2）先求得的可能取值，然后利用相互獨立事件概率計算公式求得的分布列，從而得到其數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）依題意李明最終獲得滿分的概率為.（2）依題意前個題得分分；后個題，得分可能是，，，，所以的可能取值為，，，，所以，，，．所以的分布列為：所以.19．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，.  (1)證明：.(2)若，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接，交于點O，連接AO，證明出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)推理作答.（2）以點O為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求出兩個平面所成銳二面角的余弦值作答.【詳解】（1）連接，交于O，連接，因為側(cè)面為菱形，則，而，O為的中點，即有，又，且平面，于是平面，而平面，所以.（2）設(shè)，而，有，，又，則，即有，因此，即，，兩兩垂直，以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，  則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，顯然平面的一個法向量為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20．已知的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64．(1)求的展開式中所有項的系數(shù)和；(2)求的展開式中所有有理項．【答案】(1)1(2) 【分析】（1）先利用條件求出，再利用賦值法即可求出結(jié)果；（2）利用通項公式即可直接求出結(jié)果.【詳解】（1）因為的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，所以，得到，所以，令，得到，所以的展開式中所有項的系數(shù)和為1.（2）因為二項展開式的通項公式為，即，所以，當或或或時，為有理項，當時，，當時，，當時，，當時，，的展開式中所有有理項為.21．某短視頻平臺的一位博主，其視頻以展示鄉(xiāng)村生活為主，趕集、抓魚、養(yǎng)雞等新時代農(nóng)村生活吸引了許多觀眾，該博主為家鄉(xiāng)的某農(nóng)產(chǎn)品進行直播帶貨，通過5次試銷得到了銷量（單位：百萬盒）與單價（單位：元/盒）的如下數(shù)據(jù)：66.26.46.66.85045454035(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸直線方程；(2)在所有顧客中隨機抽取部分顧客（人數(shù)很多）進行調(diào)查問卷，其中“體驗非常好”的占一半，“體驗良好”“體驗不滿意”的各占25%，然后在所有顧客中隨機抽取8人作為幸運顧客贈送禮品，記抽取的8人中“體驗非常好”的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和方差.參考公式：回歸方程，其中，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)(2)分布列見解析，方差2 【分析】（1）先求出，結(jié)合附錄的數(shù)據(jù)和參考公式即可計算出回歸直線方程；（2）由題可知，近似服從二項分布，根據(jù)步驟寫出每個取值對應(yīng)的概率，然后根據(jù)二項分布的方差公式計算即可．【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)參考公式：，于是，故經(jīng)驗回歸方程為：.（2）依題意，可能的取值為，由于顧客人數(shù)很多，可近似認為服從二項分布，即，，其中.故，，，，，，，，.的分布列為：012345678根據(jù)二項分布的方差公式，.22．已知雙曲線：的左、右頂點分別為，，且頂點到漸近線的距離為，點是雙曲線右支上一動點（不與重合），且滿足，的斜率之積為.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線與雙曲線交于軸上方的，兩點，若是線段的中點，是線段上一點，且，為坐標原點，試判斷直線，的斜率之積是否為定值．若為定值，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值 【分析】（1）由頂點到漸近線的距離為，得，設(shè)，則，從而得到，解得，，，即可得出答案．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達定理可得，，進而可得點坐標，則，進而可得點的坐標，即可得出答案．【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，即，因為頂點到漸近線的距離為，所以，設(shè)，，，則，所以，因為點在雙曲線上，所以，所以，所以，又所以，，，所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，則，所以，，因為直線與雙曲線交于軸上方的，兩點，所以，即，解得，所以，，即，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即直線，的斜率之積為定值．   

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