2022-2023學(xué)年黑龍江省七臺(tái)河市勃利縣高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出,則不同的選擇方式有(　　)A．24種 B．10種 C．9種 D．14種【答案】D【分析】分類(lèi)討論利用分步乘法和分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】分兩類(lèi)：第一類(lèi)：選襯衣加裙子，共有種選法；第二類(lèi)：選連衣裙，共有種選法，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理共有種選法.故選：2．從5名候選人中選派出3人參加，，活動(dòng)，且每項(xiàng)活動(dòng)有且僅有1人參加，甲不參加活動(dòng)，則不同的選派方案有（    ）A．36種 B．48種 C．56種 D．64種【答案】B【分析】分情況討論：甲參加活動(dòng)或甲不參加活動(dòng)，分別利用組合以及排列數(shù)即可求解.【詳解】若甲參加活動(dòng)：（種）若甲不參加活動(dòng)：（種） ，所以不同的選派方案有48種.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)、排列數(shù)的應(yīng)用，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．（  ）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.【詳解】原式=.故選：C.4．下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩(shī)人杜牧寫(xiě)的《清明》，這首詩(shī)不僅意境極好，而且還準(zhǔn)確地描述出了清明時(shí)節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區(qū)氣象監(jiān)測(cè)資料表明，清明節(jié)當(dāng)天下雨的概率是0.9，連續(xù)兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節(jié)當(dāng)天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（    ）  A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567【答案】B【分析】直接利用條件概率公式計(jì)算得到答案.【詳解】記事件A表示“清明節(jié)當(dāng)天下雨”，B表示“第二天下雨”，由題意可知，，所以．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力5．受新冠肺炎疫情影響，某學(xué)校按上級(jí)文件指示，要求錯(cuò)峰放學(xué)，錯(cuò)峰有序吃飯.高三年級(jí)一層樓六個(gè)班排隊(duì)，甲班必須排在前三位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個(gè)班排隊(duì)吃飯的不同安排方案共有（    ）A．240種 B．120種 C．188種 D．156種【答案】B【分析】根據(jù)題意，按甲班位置分3 種情況討論，求出每種情況下的安排方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，按甲班位置分3 種情況討論： （1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情況有種，將剩余的三個(gè)班全排列，安排到剩下的3個(gè)位置，有種情況，此時(shí)有種安排方案；（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情況有種，將剩下的三個(gè)班全排列，安排到剩下的三個(gè)位置，有種情況，此時(shí)有種安排方案；（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情況有種，將剩下的三個(gè)班全排列，安排到剩下的三個(gè)位置，有種情況，此時(shí)有種安排方案；由加法計(jì)數(shù)原理可知共有種方案，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類(lèi)、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．復(fù)學(xué)后，某學(xué)校貫徹“科學(xué)防疫”，實(shí)行“戴口罩，間隔(不相鄰)坐”.一排8個(gè)位置僅安排小華?小明等4名同學(xué)就坐，且小華要坐在小明左側(cè)，則不同的安排方法種數(shù)為（    ）A．160 B．120 C．60 D．30【答案】C【分析】由四個(gè)空位產(chǎn)生五個(gè)空，讓四名同學(xué)用插空法就坐，再根據(jù)限制條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>8個(gè)位置僅安排小華?小明等4名同學(xué)就坐，且各同學(xué)之間不相鄰，共有4個(gè)空位，且4個(gè)空位可以產(chǎn)生5個(gè)空，讓這四名同學(xué)用插空法就坐，共有種排法；又小華要坐在小明左側(cè)，即小華和小明順序確定，因此總的不同安排方法有種.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列的應(yīng)用，考查不相鄰問(wèn)題和定序問(wèn)題，屬于常考題型.7．某卡車(chē)為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書(shū)籍，共裝有10個(gè)紙箱，其中5箱英語(yǔ)書(shū)、2箱數(shù)學(xué)書(shū)、3箱語(yǔ)文書(shū)．到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱，現(xiàn)從剩下的9箱中任意打開(kāi)兩箱，結(jié)果都是英語(yǔ)書(shū)的概率為(　　)A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)事件表示丟失一箱后任取兩箱是英語(yǔ)書(shū)，事件表示丟失一箱，結(jié)合全概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件表示丟失一箱后任取兩箱是英語(yǔ)書(shū)，事件表示丟失一箱為（其中，分別表示英語(yǔ)書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)），可得 .故選：C.8．已知某動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)(含正半軸上的整點(diǎn)),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為或，若該動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過(guò)6步運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),則不同的運(yùn)動(dòng)軌跡有(　　)A．15種 B．14種 C．103種 D．9種【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分析各種運(yùn)動(dòng)情況，確定運(yùn)動(dòng)途徑，結(jié)合組合數(shù)計(jì)算即可.【詳解】由運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，每步的橫坐標(biāo)都增加1，只需考慮縱坐標(biāo)的變化，  縱坐標(biāo)每步增加1或減少1，經(jīng)過(guò)6步的運(yùn)動(dòng)后，結(jié)果由0變到2，所以這6步中有2步是按照運(yùn)動(dòng)，有4步是按照運(yùn)動(dòng)，所以共有種運(yùn)動(dòng)軌跡，又因?yàn)榇藙?dòng)點(diǎn)只能在平面直角坐標(biāo)系第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)(含正半軸上的整點(diǎn))，所以當(dāng)?shù)谝徊綖?/span>時(shí)不符合要求，有種運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)?shù)谝徊綖?/span>，第二、三步為時(shí)也不符合要求，有1種運(yùn)動(dòng)軌跡，所以符合條件的軌跡有種，故選：D 二、多選題9．已知首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列為等差數(shù)列,且,則（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列與下標(biāo)和有關(guān)的性質(zhì)，得到，且，再結(jié)合可得，且，再由等差數(shù)列求和公式可判斷和的正負(fù).【詳解】∵為等差數(shù)列，且，∴，∴，∴，又∵，∴， 故，且．∴，．故選：ABD.10．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書(shū)”“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周，則(　　)A．課程“射”“御”排在前兩周，共有24種排法B．某學(xué)生從中選5門(mén)，共有6種選法C．課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在后三周，共有36種排法D．課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法【答案】BCD【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先法，判斷ACD；利用組合的應(yīng)用判段；【詳解】先把課程“射”“御”排在前兩周共種，再排其他四門(mén)共，所以共種排法，故A錯(cuò)誤；6門(mén)中選5門(mén)共有種，故B正確；課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在后三周，共有種排法，故C正確；課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有種排法，故D正確.故選：BCD.11．若二項(xiàng)式的展開(kāi)式共有9項(xiàng)，則(　　)A．n＝8 B．n＝9C．第5項(xiàng)為2520x4 D．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是16【答案】ACD【分析】由展開(kāi)式的特點(diǎn)判斷AB；由通項(xiàng)公式判斷CD.【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)檎归_(kāi)式共有9項(xiàng)，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則第5項(xiàng)為，故C正確；對(duì)于D，由C可知，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故D正確；故選：ACD 三、單選題12．已知函數(shù)，使在定義域內(nèi)恒成立的充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，由最小值大于，求出參數(shù)的取值范圍，再找到其一個(gè)真子集即可．【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，，所以，不滿足在定義域內(nèi)恒成立；當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以=＝由，得，即，所以的取值范圍是，又真包含于，即可得到使在定義域內(nèi)恒成立的充分不必要條件可以是.故選：B． 四、填空題13．已知隨機(jī)變量X,Y滿足:X～B(2,p),Y=2X+1,且P(X≥1)= ,則D(Y)=       【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布求概率的方法列方程得到，然后求即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，解得，.故答案為：.14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則=    ．【答案】7【分析】結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由已知條件，可得到兩個(gè)等式，這兩個(gè)等式相除可以求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而可以求出首項(xiàng)，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，兩式相除可得，解將，.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題目. 五、雙空題15．盒中有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后再放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)為，則           ，           ．【答案】          【解析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，即可求得答案.【詳解】在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后再放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)為表示取出兩個(gè)球，其中一黑一白：表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇颍?/span>表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊颍?/span>故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查事件的概率和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題. 六、填空題16．已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則的大小關(guān)系是        ．【答案】【分析】根據(jù)條件判斷出在上是增函數(shù)，進(jìn)而利用單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù).因?yàn)?/span>，所以，即，所以.故答案為：. 七、解答題17．（1）設(shè)，求是多少；（2）設(shè)，若，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少．【答案】（1）； （2）.【分析】（1）根據(jù)題意，分別令和，兩式相加，即可求解；（2）根據(jù)題意，分別令和，得到，求得，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：（1）由 ，令，可得，令，可得，所以所以，所以.（2）由，令，可得，令，可得，所以，解得，則的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的為，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.18．2020年10月16日是第40個(gè)世界糧食日．中國(guó)工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊(duì)迎來(lái)了海水稻的測(cè)產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC801測(cè)產(chǎn)，畝產(chǎn)超過(guò)648.5公斤，通過(guò)推廣種植海水稻，實(shí)現(xiàn)億畝荒灘變糧倉(cāng)，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖耄称髽I(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，研發(fā)了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為m(m∈[70，100])，其質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)劃分如下表：質(zhì)量指標(biāo)值m[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，100]質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn)．現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖：  (1)若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；(2)若從質(zhì)量指標(biāo)值m≥85的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值m∈[90，95)的件數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m與每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位：元)的關(guān)系如下表(1<t<4)：質(zhì)量指標(biāo)值m[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，100]利潤(rùn)y(元)6t8t4t2t－et試寫(xiě)出每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)的解析式．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析；期望為(3) 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得1件產(chǎn)品為廢品的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式，即可求得所求事件的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求得中各段的人數(shù)，得到隨機(jī)變量的所有可能值，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（2）由頻率分布直方圖得到該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤(rùn)（元）的關(guān)系，從而求得每件產(chǎn)品的利潤(rùn)關(guān)系式.【詳解】（1）解：則由頻率分布直方圖可得，1件產(chǎn)品為廢品的概率為，則從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，其中“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件的概率為.（2）解：由頻率分布直方圖得，指標(biāo)值大于或等于的產(chǎn)品中，其中的概率為；的概率為；的概率為，所以利用分層抽樣抽取的件產(chǎn)品中，的有4件，的有2件，的產(chǎn)品有1件，從這7件產(chǎn)品中，任取3件，質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)的所有可能值為，可得，所以隨機(jī)變量的分布列為012所以期望為.（3）解：由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤(rùn)（元）的關(guān)系與表所示（）質(zhì)量指標(biāo)值利潤(rùn)所以每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)：.19．設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值．（1）求的值；（2）若對(duì)于任意的，都有成立．求的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）求出，利用，列方程即可得結(jié)果；（2）由題可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較大小即得.【詳解】由題可得，因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，．即解得，．（2）因?yàn)?/span>，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，．則當(dāng)時(shí)，的最大值為．因?yàn)閷?duì)于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為．20．在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q，且，____________．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．（2）記，求數(shù)列，的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】三個(gè)條件都可以填入求解，總體思想就是代入通過(guò)基本公式求出首項(xiàng)，公差，公比即可，（2）數(shù)列是一個(gè)等差乘以等比的式子求和，用錯(cuò)位相減法即可解決。【詳解】方案一：選條件①（1）解得或（舍去）（2）方案二：選條件②（1） 解得或（舍去） （2） 方案三：選條件③解得或（舍去）（2）【點(diǎn)睛】此題考查等差等比數(shù)列綜合應(yīng)用，掌握乘公比錯(cuò)位相減求和的題型特點(diǎn)，屬于較易題目。21．2020年春節(jié)期間，湖北武漢爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎，國(guó)家衛(wèi)健委高級(jí)別專(zhuān)家組組長(zhǎng)鐘南山建議大家出門(mén)時(shí)佩戴口罩，一時(shí)間各種品牌的口罩蜂擁而出，為了保障人民群眾生命安全和身體健康，C市某質(zhì)檢部門(mén)從藥店隨機(jī)抽取了100包某種品牌的口罩，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)．指標(biāo)質(zhì)量頻數(shù)1020302515（1）求所抽取的100包口罩質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）①已知口罩的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求Z落在內(nèi)的概率；②將頻率視為概率，若某人從某藥店購(gòu)買(mǎi)了3包這種品牌的口罩，記這3包口罩中質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和方差．附：①計(jì)算得所抽查的這100包口罩的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為\；②若，則，．【答案】（1）26.5；（2）①0.4772；②分布列見(jiàn)解析，方差為．【分析】（1）由樣本數(shù)據(jù)，每組區(qū)中間值5，15，25，35，45，計(jì)算平均數(shù)即可.（2）①服從正態(tài)分布，且，，根據(jù)題目所給信息，可得，進(jìn)而可求出結(jié)果.②根據(jù)題意得，由二項(xiàng)分布公式，依次求出隨機(jī)變量的概率，進(jìn)而可求分布列和方差.【詳解】（1）所抽取的100包口罩質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為．（2）①∵服從正態(tài)分布，且，，∴落在內(nèi)的概率是0.4772．②根據(jù)題意得，，，．∴X的分布列為：0123．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布表、正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，考查了運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)分析能力，屬于基礎(chǔ)題目.22．已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，若區(qū)間上存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）【答案】(1)當(dāng)時(shí)，取得極小值；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算的值，求出，從而求出的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；（2）令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而求出的范圍即可.【詳解】（1）（），因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線垂直，所以，即，解得．所以， ∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值，∴f（x）極小值為ln2． （2）令，則，欲使在區(qū)間上上存在，使得，只需在區(qū)間上的最小值小于零．令得，或．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則的最小值為，∴，解得，∵，∴；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則的最小值為，∴，解得，∴；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的最小值為，∵，∴，∴，此時(shí)不成立．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 

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