一、單選題
1．若事件A與B互為互斥事件，，則（ ）
A．B．C．D．
2．過、兩點的直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
3．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，設，則的值為（ ）
A．1B．0C．-1D．-2
4．三個人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出密碼的概率分別為，，，假設他們能否破譯出密碼是相互獨立的，則此密碼被破譯的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．已知直線l過點，且與直線垂直，則直線l的一般式方程為（ ）
A．B．C．D．
6．若向量，，且，則實數(shù)的值是（ ）
A．0B．1C．D．
7．若點到直線的距離不大于，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在所有棱長均為 a 的直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，D,E 分別為 BB1,A1C1 的中點，則異面直線 AD,CE 所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．下列關(guān)于空間直角坐標系中的一點的說法正確的有（ ）
A．線段的中點的坐標為
B．點關(guān)于軸對稱的點的坐標為
C．點關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標為
D．點關(guān)于平面對稱的點的坐標為
10．下列直線與直線平行，且與它的距離為的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（ ）
A．B．
C．若A與B互斥，則D．一定有
12．若將正方形沿對角線折成直二面角，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．與所成的角為
B．與所成的角為
C．與平面所成角的正弦值為
D．平面與平面所成角的正切值是
三、填空題
13．一個古典概型的樣本空間和事件和，其中，，，，則______．
14．已知的三個頂點的坐標分別為，，，則BC邊上的高所在直線的一般式方程為 .
15．已知事件A與事件B相互獨立，如果，，那么 ．
16．如圖，在平行六面體中，
，，，．
則與所成角的余弦值為 ．

一、解答題
17．直線l經(jīng)過點(1，3)，直線l3：2x－y－1＝0.
(1)若l∥l3，求l的直線方程；
(2)若l⊥l3，求l的直線方程.
18．中華人民共和國第十四屆全國運動會?全國第十一屆殘運會暨第八屆特奧會于2021年在中國陜西舉行，為宣傳全運會?特奧會，讓更多的人了解體育運動項目和體育精神，某大學舉辦了全運會?特奧會知識競賽，并從中隨機抽取了100名學生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這100人中成績低于60分的人數(shù)，并估計這100人的平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
(2)若先采用分層抽樣的方法從成績在的學生中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人去社區(qū)開展全運會?特奧會宣傳活動，求做宣傳的這2名學生中，其中1人成績在，另外1人成績在的概率19．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，平面ACD，且，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：平面平面PAD；
（Ⅱ）求直線PA與平面AEC所成角的正弦值．
20．已知的三個頂點的坐標分別為.
(1)求邊上的高所在直線l的方程；
(2)求的面積.
21．一個袋中裝有5個形狀大小完全相同的球，其中有2個紅球，3個白球．
（1）從袋中隨機取兩個球，求取出的兩個球顏色不同的概率；
（2）從袋中隨機取一個球，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，求兩次取出的球中至少有一個紅球的概率．
22．如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD，且點M和N分別為B1C和D1D的中點．
(1)求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
(2)求點B1到平面D1AC的距離；
(3)設E為棱A1B1上的點，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長．
2023—2024學年高二上學期11月月考
數(shù)學試卷參考答案
1．A
【分析】利用互斥事件概率公式即得.
【詳解】∵事件A與B互為互斥事件，，
∴.
故選：A
2．C
【分析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】設直線的傾斜角為，則，所以，，.
故選：C.
3．B
【分析】由正方體的性質(zhì)可知兩兩垂直，從而對化簡可得答案
【詳解】由題意可得,
所以，所以，
所以，
故選：B
4．D
【分析】利用獨立事件同時發(fā)生的概率和對立事件的概率去求此密碼被破譯的概率
【詳解】三個人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出密碼的概率分別為，，，
他們能否破譯出密碼是相互獨立的，
則三個人均未破譯密碼的概率為
則此密碼被破譯的概率為
故選：B
5．B
【分析】由題意設直線方程為，然后將點坐標代入求出，從而可求出直線方程
【詳解】因為直線與直線垂直，所以設直線方程為，
因為直線過點，所以，得，
所以直線方程為，
故選：B.
6．C
【分析】由已知利用數(shù)量積為零列式計算即可.
【詳解】解：因為，，
所以，
因為，
所以，
解得．
故選：C．
7．B
【分析】利用點到直線距離公式可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【詳解】由題意得：，解得：，即的取值范圍為.
故選：B.
8．C
【分析】取AC的中點O，以為軸建立坐標系，求得向量的坐標，利用向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】由題意，取AC的中點O，以為軸建立坐標系，
則，
則，
設AD與CE成的角為 ，則，
故選：C.
【點睛】本題主要考查了空間向量的應用，以及異面直線所成角的求解，其中解答中建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
9．AD
【分析】根據(jù)空間向量坐標運算依次判斷選項即可.
【詳解】由題意可知線段的中點的坐標為，所以A中說法正確；
點關(guān)于x軸對稱的點的坐標為，所以B中說法錯誤；
點關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標為，所以C中說法錯誤；
點關(guān)于平面對稱的點的坐標為，所以D中說法正確.
故選：AD.
10．AD
【分析】設出與直線平行的直線系方程，再由平行直線間的距離公式即可求解.
【詳解】設所求直線的方程為，由題意可得，解得或0．故所求直線的方程為或．
故選：AD
11．AB
【分析】對于A，利用對立事件的概率公式即可判斷；對于BC，利用和事件與交事件的概率公式，結(jié)合互斥事件的定義計算判斷即可；對于D，舉反例即可判斷.
【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；
對于B，因為，
又且，則，
所以，即，故B正確；
對于C，因為A與B互斥，所以，
則，故C錯誤；
對于D，記事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)小于3”，事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為4”，
則滿足，，但不成立，故D錯誤；
故選：AB.
12．BCD
【分析】先找出空間中兩兩垂直的三條直線，建立空間直角坐標系，利用空間向量的知識，分別計算判斷各選項即可.
【詳解】由題得示意圖：作的中點，連接，
由題可知，所以,
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，
建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨令.
選項A：易知，
所以，
所以，則AD與BC所成的角為，故A錯誤；
選項B：由選項A得，，
所以，則，所以與所成的角為，故B正確；
選項C:設平面的一個法向量為，
易知，，所以，
不妨令，得，又，
所以BC與平面ACD所成角的正弦值為，故C正確；
選項D：易知平面的法向量為，
設平面的法向量為，
又，
所以，令，則，
所以，
設平面與平面所成角為，則，
所以，，故選項D正確.
故選：BCD
13．
【分析】由求解即可
【詳解】∵，，，
∴，
∴．
故答案為：．
14．
【解析】首先求邊上的高所在直線的斜率，先寫出點斜式方程，再化為一般式直線方程.
【詳解】
邊上的高所在直線的斜率，
邊上的高所在直線方程是，
一般方程是.
故答案為：
【點睛】本題考查直線方程，意在考查求直線方程的方法和直線形式，屬于簡單題型.
15．/
【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式計算即可.
【詳解】解：因為事件A與事件B相互獨立，，
則，
所以，
故答案為：
16．0
【分析】取空間向量的一個基底，并表示出與，再利用空間向量數(shù)量積求解即得.
【詳解】在平行六面體中，設，
則，，
于是
，
因此，，
所以與所成角的余弦值為0．
故答案為：0
17．(1)；
(2).
【分析】（1）設與直線平行的直線為，代點求出即得解；
（2）設與直線垂直的直線為，代點求出即得解.
【詳解】（1）解：設與直線平行的直線為，
因為直線l經(jīng)過點(1，3)，則，．
所求直線方程為．
（2）解：設與直線垂直的直線為，
因為直線l經(jīng)過點(1，3)，則，解得．
所求直線方程為．
18．(1)18人；
(2)
【分析】（1）利用頻數(shù)的計算公式以及平均數(shù)的計算公式求解.
（2）利用頻數(shù)的計算公式、分層抽樣的特點以及古典概型進行計算求解.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)知，成績低于60分的人數(shù)為
平均成績．
（2）因為成績在的學生人數(shù)所占比例為，
所以從成績在的學生中應分別抽取4人，2人．
記抽取成績在的4人為，抽取成績在的2人為．
從這6人中隨機抽取2人的所有可能為
，
，共15種，
其中1人成績在，另1人成績在的有
，共有8種，
所以其中1人成績在，另外1人成績在的概率為．
19．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
【解析】（1）根據(jù)線面垂直證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，分別求出向量和平面的法向量，再由向量數(shù)量積公式，即得.
【詳解】（Ⅰ）證明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴
∵四邊形ABCD為正方形，∴，又，∴平面PAD，
∵平面PCD，∴平面平面PAD
（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，∴，，，
設平面AEC的法向量為，則，，即，
令，得平面AEC的一個法向量為，∴
∴直線PA與平面AEC所成角的正弦值為．
【點睛】本題考查證明面面垂直，以及求空間直線與平面夾角的正弦值，是?？碱}型.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）斜率兩點式求得，寫出高線的斜率，應用點斜式寫出直線l的方程；
（2）應用向量夾角的坐標公式求，進而求其正弦值，應用三角形面積公式、向量模長的坐標運算求三角形面積.
【詳解】（1）由題設，故邊上的高所在直線l的斜率為2，
又直線l過，故，即.
（2）由，，故，且，
所以，而，
則.
21．（1）；（2）．
【詳解】試題分析：（1）采用列舉法先給袋中的球進行編號，兩個紅球可記為，三個白球可記為，根據(jù)條件“從袋中隨機取兩個球”，列出滿足條件的所有基本事件（要做到不重不漏）及統(tǒng)計其個數(shù)，再根據(jù)要求“取出的兩個球顏色不同的概率”統(tǒng)計出其個數(shù)，根據(jù)古典概型的計算公式計算出其概率；（2）由題意“有放回”地取出球，故可采用列表法橫的表示第一次取出球的結(jié)果，豎的表示第二次取出球的結(jié)果，則易統(tǒng)計出其基本事件的總數(shù)，再統(tǒng)計出符號條件的事件個數(shù)，根據(jù)古典概型的計算公式計算出其概率．
試題解析：（1）2個紅球記為，3個白球記為
從袋中隨機取兩個球，其中一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，，，，，，，，，共10個
設事件 “取出的兩個球顏色不同”中的基本事件有：
，，，，共6個
（2）從袋中隨機取一個球，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25個．
設事件 “兩次取出的球中至少有一個紅球”
中的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共16個．
所以．
考點：古典概型．
6．(1)
(2)
(3)
22【分析】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，計算平面的法向量為，平面的法向量為，計算夾角得到答案；
（2）利用點面距離的空間坐標公式即可求出結(jié)果；
（3）設，，則，，是平面的一個法向量，計算得到答案.
【詳解】（1）側(cè)棱底面，故兩兩垂直.
如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系.
則，，，，，，，
，，.
設平面的法向量為，則，故，
取，得到；
設平面的法向量為，則，故，
取，得到；
故，故，
因為二面角的取值范圍是，
故二面角的正弦值為.
（2）由（1）的過程可知,且平面的法向量為，
所以點B1到平面D1AC的距離為；
（3）設，，則，，
易知是平面的一個法向量，
故，解得，故.

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