2022-2023學(xué)年廣東省深圳市鹽田區(qū)深圳外國語學(xué)校高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．0 B．1 C．0或1 D．或1【答案】C【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】，即，解得或.故選：C.2．某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（    ）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【答案】B【分析】應(yīng)用分步乘法求小明選擇方案的方法數(shù).【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①小明必選化學(xué)，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個，選法有2種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有（種）．故選：B3．有10件產(chǎn)品，其中4件是正品，其余都是次品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件，則在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】利用條件概率公式即可得到結(jié)果.【解答】解：設(shè)第一次抽到次品為事件A，第二次抽到次品為事件B，則，，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率．故選：C4．截至2023年2月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)?？萍夹〗M制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.【詳解】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)拋物線的方程為，由題可得拋物線上一點(diǎn)，代入拋物線方程可得，所以，即拋物線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選：A.5．已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)有，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求公比，再由即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，又成等差數(shù)列，所以，則，即，解得（負(fù)值舍去）.所以.故選：B6．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求解異面直線所成角的余弦值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.  設(shè)正方體的棱長為2，則,設(shè)異面直線與所成的角為，則，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.7．橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在C上且直線斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，于是，故.∵ ∴.故選B.【考點(diǎn)定位】直線與橢圓的位置關(guān)系8．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，令，求得，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到，得出，再根據(jù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，得到，即可求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，又由，所以，令，其中，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，即，所以，又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以，即，綜上可得：.故選：B. 二、多選題9．下列是遞增數(shù)列的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)的正負(fù)，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性.【詳解】A選項(xiàng)，令，則，是遞增數(shù)列；B選項(xiàng)，令，則，不合題意；選項(xiàng)，令，則，符合題意；D選項(xiàng)，令，則，不合題意.故選：AC.10．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在直線的方程可能是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】反射光線一定經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，考慮斜率不存在和斜率存在兩種情況，利用點(diǎn)到直線距離等于半徑列出方程，求出斜率，得到答案.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則反射光線一定經(jīng)過點(diǎn)，由于圓心為，半徑為1，若反射光線的斜率不存在，此時反射光線方程為，與圓無交點(diǎn)，設(shè)反射光線的斜率為，則可得出反射光線為，即，因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切，則圓心到反射光線的距離，即，解得或，則反射直線的方程為或.故選：.    11．下列說法正確的是（    ）A．?dāng)?shù)據(jù)的中位數(shù)為B．一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)差為D．設(shè)隨機(jī)事件和，已知，，，則【答案】BCD【分析】根據(jù)中位數(shù)和百分位數(shù)的計(jì)算方法可得AB正誤；由正態(tài)分布性質(zhì)知C正確；根據(jù)全概率公式可求得D正確.【詳解】對于A，將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?/span>，共個數(shù)據(jù)，則中位數(shù)為第個數(shù)據(jù)，即中位數(shù)為，A錯誤；對于B，該組數(shù)據(jù)共個，則，第百分位數(shù)為，B正確；對于C，，方差為，則標(biāo)準(zhǔn)差為，C正確；對于D，，D正確.故選：BCD. 三、單選題12．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．勒洛四面體最大的截面是正三角形B．若、是勒洛四面體表面上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為C．勒洛四面體的體積是D．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是【答案】D【分析】由勒洛四面體的定義判斷選項(xiàng)A；由勒洛四面體的定義并作圖求解判斷B；根據(jù)對稱性, 由勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心求解判斷C；結(jié)合C由棱長減去外接球的半徑求得內(nèi)切球的半徑求解判斷.【詳解】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面，如圖1所示，故A不正確；將正四面體對棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時連線長度最大，如下圖所示：連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，易得,則，而，所以，故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于4，故B錯誤，如圖2，由對稱性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心，連接并延長交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑. 如圖3, 在正四面體中，為的中心，是正四面體外接球的球心，連接、、，由正四面體的性質(zhì)可知在上.因?yàn)?/span>, 所以，則.因?yàn)?/span>，即，解得，則正四面體外接球的體積是，而勒洛四面體的體積小于其外接球的體積，C錯誤；因?yàn)?/span>，所以 , 所以，勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是，則 D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解. 四、填空題13．若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則          .【答案】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的向量關(guān)系列式即可.【詳解】若，則有，即，解得.故答案為：.14．已知為圓上的動點(diǎn)，則的最大值為          .【答案】72【分析】設(shè)，則，，然后化簡可求得其最大值.【詳解】由，得，則圓心，半徑，所以，設(shè)，由在圓上，可得，又，則，，∴當(dāng)時，取到最大值.故答案為：72.15．“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．記“楊輝三角”第n行的第i個數(shù)為，則        ．【答案】【分析】根據(jù)楊輝三角及二項(xiàng)式定理即可得解.【詳解】由題意知，當(dāng)時，.當(dāng)時，，也適合.綜上，.故答案為：.16．關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是          .【答案】【分析】分離參數(shù)法，將不等式轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值即可；【詳解】由，，得：，令，令，解得：，令，解得：；令解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 五、解答題17．在中，的對邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到，即可求出；（2）利用正弦定理表示出，利用三角函數(shù)求出最值.【詳解】（1）在中，的對邊分別為，由正弦定理得.因?yàn)?/span>，所以，.∵，∴..（2）由題意，則，則，由，得，則，故的取值范圍為18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系可得，進(jìn)而得到是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求解；（2）結(jié)合（1）可得，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）由，，當(dāng)時，則，當(dāng)時，，所以，所以.又因?yàn)?/span>，所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，于是，所以.19．為了促進(jìn)學(xué)生德?智?體?美?勞全面發(fā)展，某校成立了生物科技小組，在同一塊試驗(yàn)田內(nèi)交替種植A?B?C三種農(nóng)作物（該試驗(yàn)田每次只能種植一種農(nóng)作物），為了保持土壤肥度，每種農(nóng)作物都不連續(xù)種植，共種植三次.在每次種植后會有的可能性種植的可能性種植；在每次種植的前提下再種植的概率為，種植的概率為，在每次種植的前提下再種植的概率為，種植的概率為.(1)在第一次種植的前提下，求第三次種植的概率；(2)在第一次種植的前提下，求種植作物次數(shù)的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）設(shè)，，表示第次種植作物，，的事件，其中，2，3，由全概率公式可得，代入即可得出答案.（2）求出的可能取值及每個變量對應(yīng)的概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出的期望.【詳解】（1）設(shè)，，表示第次種植作物，，的事件，其中，2，3.在第一次種植的情況下，第三次種植的概率為：；（2）由已知條件，在第1次種植的前提下：，，，，，，因?yàn)榈谝淮伪胤N植，則隨機(jī)變量的可能取值為1，2，-，，所以的分布列為：12.20．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)在線段上，且.  (1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線的方向向量，然后即可求解.【詳解】（1）證明：平面平面.因?yàn)樵诰匦?/span>中，，所以，所以，又，所以，所以，又平面，所以平面.（2）解：平面平面平面，，因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，  則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21．已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是雙曲線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn) 【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，進(jìn)而求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而寫出直線的方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合化簡可得，分和兩種情況討論即可求證，進(jìn)而求出定點(diǎn).【詳解】（1）由題意知，解得，，，雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，得，則，，所以直線方程為，令，則，同理直線方程為，令，則，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，當(dāng)時，，此時直線方程為，恒過定點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，直線方程為，恒過定點(diǎn)符合題意，綜上所述，直線過定點(diǎn).  22．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求導(dǎo)得，有兩個極值點(diǎn)等價于有兩個解，結(jié)合一元二次函數(shù)性質(zhì)即可求解a的取值范圍；（2）由（1）的韋達(dá)定理得，化簡代換得，變形整理得，令，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，求出，進(jìn)而得解.【詳解】（1）由得，，因?yàn)?/span>有兩個極值點(diǎn)，所以有兩個解，令，則有兩個不同的正根，即，解得，所以；（2）由（1）根據(jù)韋達(dá)定理得，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，令，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以在單減，，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值問題可難可簡單，本題由韋達(dá)定理代換參數(shù)是解題關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)法求解極值是常用方法，應(yīng)善于積累此類題型，進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練.  

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