2022-2023學(xué)年黑龍江省七臺(tái)河市勃利縣高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．集合的子集個(gè)數(shù)為(   )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出對(duì)應(yīng)的子集個(gè)數(shù)【詳解】，故其子集為，共兩個(gè)，故選:B.2．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（    ）A．必要條件 B．充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】直接根據(jù)必要性和充分性的定義判斷得到答案【詳解】解：“攻破樓蘭”不一定會(huì)“返回家鄉(xiāng)”，不充分；“返回家鄉(xiāng)”一定是在“攻破樓蘭”的前提下，所以“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要條件.故選：．3．已知且，則下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件得到，，無(wú)法判斷，再依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?/span>且，所以，即.又因?yàn)?/span>，即.所以，，無(wú)法判斷.對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?/span>，，所以，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C4．已知關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立,則k的取值范圍是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】分和對(duì)不等式進(jìn)行討論即可得到答案【詳解】當(dāng)時(shí),不等式可化為,恒成立,當(dāng)時(shí),要滿足關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立,只需，解得，綜上所述,k的取值范圍是.故選：A5．若，則的最小值為（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.6．將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為（　?。?/span>A．72 B．120 C．192 D．240【答案】D【詳解】尾數(shù)是2或6時(shí)，有種方法；尾數(shù)是4時(shí)，有種方法；所以共有，應(yīng)選答案D．7．的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，則該展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，令，可得，解得，結(jié)合二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為令，可得故：解得：故：設(shè)展開通項(xiàng)公式為：設(shè)展開通項(xiàng)公式為：則展開通項(xiàng)公式為展開式中含即中的冪是故，可得又 且可得或當(dāng)，由當(dāng)，由該展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)二項(xiàng)式展開式求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，解題關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.8．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化，每一卦由六爻組成.其中有一種起卦方法稱為“金錢起卦法”，其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動(dòng)數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復(fù)六次，得到六爻.若三枚錢幣全部正面向上或全部反面向上，就稱為變爻.若每一枚錢幣正面向上的概率為，則一卦中恰有三個(gè)變爻的概率為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意每拋撒錢幣一次得到變爻的概率為，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可得，即可得解.【詳解】由題意每拋撒錢幣一次得到變爻的概率為，則一卦中變爻個(gè)數(shù)，則一卦中恰有三個(gè)變爻的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 二、多選題9．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，，，分別為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用分布列的性質(zhì)求，而，根據(jù)期望、方差公式即可求、、，進(jìn)而可確定選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)可知，，解得，∴，A選項(xiàng)正確；，即有，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)不正確.故選：ABC.10．高考數(shù)學(xué)引入多選題后增加了區(qū)分度，突出了選拔性.四個(gè)選項(xiàng)中有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.若選項(xiàng)中有個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量則有（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】根據(jù)題意，由于隨機(jī)作答，所以所有選擇的可能為，再分別求得，，時(shí)的期望，逐項(xiàng)判斷即可得解.【點(diǎn)睛】由于隨機(jī)作答，故各選項(xiàng)被選中的概率相同，故選一項(xiàng)的可能為，選兩項(xiàng)的可能，選三項(xiàng)的可能為，選，共有15中可能，若，即選項(xiàng)中有兩項(xiàng)正確，則，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以正確，故選：ABC11．甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的四面體，每個(gè)面都是正三角形，甲四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，乙四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字5，6，7，8，同時(shí)拋擲這兩個(gè)四面體一次，記事件為“兩個(gè)四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“甲四面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，分別求得可判斷A，由獨(dú)立事件概率乘法公式，可判斷BCD.【詳解】由已知，，由已知有，，，所以，則A正確；，則B正確；事件、、不相互獨(dú)立，故錯(cuò)誤，即C錯(cuò)誤，則D正確；綜上可知正確的為ABD.故選:ABD．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用，概率乘法公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則（    ）A．an＝－B．an＝C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．－5050【答案】BCD【分析】利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解.【詳解】Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常數(shù))，所以數(shù)列是以＝－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列．故C正確；所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－，不適合上式，故an＝故B正確，A錯(cuò)誤；所以，故D正確．故選：BCD 三、填空題13．某病毒會(huì)造成“持續(xù)的人傳人”，即存在傳，又傳，又傳的傳染現(xiàn)象，那么，，就被稱為第一代、第二代、第三代傳播者．假設(shè)一個(gè)身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9，0.8，0.7．已知健康的小明參加了一次多人宴會(huì)，參加宴會(huì)的人中有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播者，若小明參加宴會(huì)僅和感染的10個(gè)人中的一個(gè)有所接觸，則被感染的概率為      ．【答案】0.83【分析】設(shè)事件“小明與第一代傳播者接觸”，事件“小明與第二代傳播者接觸”，事件“小明與第三代傳播者接觸”，事件“小明被感染”， 則，，，，，，根據(jù)全概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】解：設(shè)事件“小明與第一代傳播者接觸”，事件“小明與第二代傳播者接觸”，事件“小明與第三代傳播者接觸”，事件“小明被感染”，則，，，，，，所以．所以所求概率為0.83．故答案為：0.83.14．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層?？浚粼撾娞菰诘讓佑?/span>5個(gè)乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X＝4)＝        ．【答案】【分析】一位乘客是否在20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，，用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式即可求出P(X＝4).【詳解】一位乘客是否在20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，，則有，4，5.所以.故答案為.【點(diǎn)睛】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)：（1）每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，要么發(fā)生，要么不發(fā)生；（2）每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立． 四、雙空題15．在某市高二的聯(lián)考中，這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取位學(xué)生的成績(jī)，記表示抽取的位學(xué)生成績(jī)?cè)?/span>之外的人數(shù)，則        ，的數(shù)學(xué)期望        ．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，取，．【答案】          【分析】根據(jù)題意得出，，可計(jì)算出，可知，進(jìn)而可計(jì)算出的值，并利用二項(xiàng)分布的期望公式可計(jì)算得出的值.【詳解】由題意，數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，則，，，，則，從而數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>之外的概率為，故，因此，所以，的數(shù)學(xué)期望為．故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布原則求概率，同時(shí)也考查了二項(xiàng)分布期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 五、填空題16．函數(shù)y＝x2(x＞0)的圖象在點(diǎn)(ak，ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，k為正整數(shù)，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝        .【答案】21【詳解】在點(diǎn)處的切線方程為：，當(dāng)時(shí)，解得，所以，，故答案為21.  六、解答題17．袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一個(gè)球,ξ表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求ξ的分布列、期望和方差;(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,試求a,b的值.【答案】（1）分布列見解析；E(ξ)D(ξ)（2）【詳解】本題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的運(yùn)算能力．（Ⅰ）的分布列為：01234所以．．（Ⅱ）由，得，即，又，所以當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得．，或，即為所求．18．新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是50歲以上人群，該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期．潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間，潛伏期越長(zhǎng)，感染到他人的可能性越高，現(xiàn)對(duì)400個(gè)病例的潛伏期（單位：天）進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為7.2，方差為，如果認(rèn)為超過8天的潛伏期屬于“長(zhǎng)潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，50歲以上人數(shù)占70%，長(zhǎng)期潛伏人數(shù)占25%，其中50歲以上長(zhǎng)期潛伏者有60人．(1)請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)；單位：人 50歲以下（含50歲）50歲以上總計(jì)長(zhǎng)期潛伏   非長(zhǎng)期潛伏   總計(jì)   (2)假設(shè)潛伏期X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，現(xiàn)在很多省市對(duì)入境旅客一律要求隔離14天，請(qǐng)結(jié)合原則通過計(jì)算概率解釋其合理性．附：，其中．0.10.050.0102.7063.8416.635若，，，．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，可以認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)(2)答案見解析 【分析】（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，與3.841比較后得到結(jié)論；（2）得到，，根據(jù)正態(tài)分布原則得到，為小概率事件，得到14天是合理的．【詳解】（1）列聯(lián)表補(bǔ)充如下：單位：人 50歲以下（含50歲）50歲以上總計(jì)長(zhǎng)期潛伏4060100非長(zhǎng)期潛伏80220300總計(jì)120280400零假設(shè)：“長(zhǎng)期潛伏”與年齡無(wú)關(guān)，則，∴根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)．（2），故，所以，所以潛伏期超過14天的概率很低，因此14天是合理的．19．某人統(tǒng)計(jì)了近5年某網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：年份20182019202020212022年份代碼x12345交易額y/百億元912172126(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用樣本相關(guān)系數(shù)r說(shuō)明y與x的線性相關(guān)程度，樣本線性相關(guān)系數(shù)保留三位小數(shù)；（統(tǒng)計(jì)中用樣本相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱．若相應(yīng)于變量x的取值，變量y的觀測(cè)值為，則兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為．統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，對(duì)于變量x，y，如果，那么負(fù)相關(guān)很強(qiáng)；如果，那么正相關(guān)很強(qiáng)；如果或，那么相關(guān)性一般；如果，那么相關(guān)性較弱）(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額．附：參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)，變量y與x的線性相關(guān)程度很強(qiáng)(2)，29.9百億元 【分析】（1）求出，從而代入公式計(jì)算出，得到結(jié)論；（2）代入公式求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，代入，預(yù)測(cè)2023年該網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額.【詳解】（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，，則，，所以，所以變量y與x的線性相關(guān)程度很強(qiáng)．（2）由（1）可得，，，又由，所以，則．可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，令，可得，即2023年該網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額為29.9百億元．20．隨著我國(guó)國(guó)民消費(fèi)水平的不斷提升，進(jìn)口水果也受到了人們的喜愛，世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國(guó)：泰國(guó)的榴蓮、山竹、椰青，厄瓜多爾的香蕉，智利的車?yán)遄?，新西蘭的金果獼猴桃等水果走進(jìn)了千家萬(wàn)戶．某種水果按照果徑大小可分為五個(gè)等級(jí)：特等、一等、二等、三等和等外，某水果進(jìn)口商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取500個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)特等一等二等三等等外個(gè)數(shù)501002505050(1)若將樣本頻率視為概率，從這批水果中隨機(jī)抽取6個(gè)，求恰好有3個(gè)水果是二等級(jí)別的概率；(2)若水果進(jìn)口商進(jìn)口時(shí)將特等級(jí)別與一等級(jí)別的水果標(biāo)注為優(yōu)級(jí)水果，則用分層隨機(jī)抽樣的方法從這500個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?/span>10個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，Y表示抽取的優(yōu)級(jí)水果的數(shù)量，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）設(shè)抽到二等級(jí)別水果的個(gè)數(shù)為X，根據(jù)題意可得，從而利用二項(xiàng)分布的概率公式可求得結(jié)果，（2）由題意得Y服從超幾何分布，所有可能的取值為0，1，2，3，然后利用超幾何分布的概率公式求出相應(yīng)的概率，從而可求得Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)從500個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到二等級(jí)別水果的事件為A，則，隨機(jī)抽取6個(gè)，設(shè)抽到二等級(jí)別水果的個(gè)數(shù)為X，則，所以恰好抽到3個(gè)二等級(jí)別水果的概率為．（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從500個(gè)水果中抽取10個(gè)，則其中優(yōu)級(jí)水果有3個(gè)，非優(yōu)級(jí)水果有7個(gè)．現(xiàn)從中抽取3個(gè)，則優(yōu)級(jí)水果的數(shù)量Y服從超幾何分布，所有可能的取值為0，1，2，3．則，，，．所以Y的分布列如下：Y0123P所以．21．在①，，成等差數(shù)列.②，，成等差數(shù)列中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列的問題中，并解答.在公比為2的等比數(shù)列中，______（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】（1）若選①，根據(jù)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；若選②，根據(jù)，，成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）將代入，求得，，裂項(xiàng)之后求和得結(jié)果.【詳解】（1）選①：因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，所以，解得，所以.選②：因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，即，所以，解得，所以.（2）因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三數(shù)成等差數(shù)列的條件，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題目.22．已知函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：【答案】（1） （2）a≤2．（3）詳見解析【詳解】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值，再利用點(diǎn)斜式求切線方程，（2）先按單調(diào)遞增與單調(diào)遞減分類討論，再將函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)值恒非負(fù)或非正，利用變量分離轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，進(jìn)而確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列求和不等式，一般方法為先構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)（利用前面小題的結(jié)論），再代入數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法放縮求和，進(jìn)而得證不等式.試題解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1，所以求在x=1處的切線方程為：y=x（2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）．（i）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減時(shí)，即a≥lnx+時(shí)，令g（x）=lnx+，當(dāng)x＞ea時(shí)，g′（x）＞0，不成立；（ii）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增時(shí)，a≤lnx+；令g（x）=lnx+，則g′（x）=，x＞0；則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；所以g（x）≥2，故a≤2．（3）由（ii）得當(dāng)a=2時(shí)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，即lnx＞在（1，+∞）上總成立，令x=得ln＞，化簡(jiǎn)得：ln（n+1）﹣lnn＞，所以ln2﹣ln1＞，ln3﹣ln2＞，…，ln（n+1）﹣lnn＞，累加得ln（n+1）﹣ln1＞，即命題得證． 

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