2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．曲線在點處的切線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線斜率，并利用點斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)，所以，所以曲線在點處的切線的斜率為1，又，故曲線在點處的切線方程為.故選：D.2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0解出不等式，并結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以，令，得或，又函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：C3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（    ）A．30 B．36 C．42 D．54【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式列方程組求解即可.【詳解】因為等差數(shù)列中，，所以，解得，則，故選：B4．函數(shù)的最小值是（    ）A． B． C． D．不存在【答案】C【解析】函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最小值得解.【詳解】由題意得，.令，得.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.因此在處取得極小值也是最小值，且最小值為.故選：C.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個為最大值，一個為最小值．(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或小)值點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到．5．拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的右焦點，則（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得拋物線的準(zhǔn)線方程以及橢圓的右焦點，再根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的右焦點求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是，橢圓的右焦點是 ，因為拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的右焦點，所以p=4，故選：B6．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求導(dǎo)分析，可得在上單調(diào)遞減，不等式可等價轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性可得答案．【詳解】令，，，在上單調(diào)遞減，又，，不等式可化為，，故選：B.7．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，焦距為8，是雙曲線右支上的一點，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】內(nèi)切圓與，交于，點，，得到，計算離心率即可.【詳解】如圖所示：內(nèi)切圓與，交于，點，，故，又，.故選：C8．若不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得恒成立，令，則恒成立，利用的單調(diào)性可得在時恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性得，即可得出答案.【詳解】因為，恒成立，即恒成立．令，則恒成立．因為恒成立，故單調(diào)遞增，所以在時恒成立，∴恒成立．令，．令，則∴單調(diào)遞減．∴，即，∴單調(diào)遞減，故．則正實數(shù)的取值范圍是.故選：B．【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)法：分離出函數(shù)中的參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值或范圍．若恒成立，則；若恒成立，則；②最值法：通過對函數(shù)最值的討論得出結(jié)果．若恒成立，則；若恒成立，則；③分段討論法：對變量進(jìn)行分段討論，然后再綜合處理． 二、多選題9．已知是數(shù)列的前項和，，，，則（    ）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式依次求得數(shù)列的前項，加和即可知A正確；將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，由等比數(shù)列定義可得B正確；利用累加法可求得C錯誤；采用分組求和的方式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得D正確.【詳解】對于A，，，，，，，，A正確；對于B，由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，B正確；對于C，由B知：，當(dāng)時，，又滿足，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD.10．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，P是C上的動點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．離心率 B．的最小值為4C．面積的最大值為 D．以線段為直徑的圓與直線相切【答案】CD【分析】根據(jù)橢圓的方程求，由此可求離心率，判斷A，根據(jù)橢圓的定義和基本不等式求的最值，判斷B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，當(dāng)點位于橢圓的上頂點或下頂點時，面積最大，即可判斷C項，利用圓心到直線的距離即可判斷D項.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，因為橢圓的方程為，故，所以離心率，故A錯誤；由橢圓的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以的最大值為4，B錯誤；由已知，，當(dāng)點位于橢圓的上頂點或下頂點時，面積最大，最大值為，故C正確；以線段為直徑的圓的方程為，圓心為，半徑為，又直線方程為，故圓心到直線的距離為，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故D正確.故選：CD.11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)只有兩個極值點B．方程有且只有兩個實根，則的取值范圍為C．方程共有4個根D．若，，則的最大值為2【答案】ACD【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值判斷；分析函數(shù)的性質(zhì)，借助圖象判斷；結(jié)合圖象和函數(shù)的零點判斷；由結(jié)合取最大值的x值區(qū)間判斷D作答.【詳解】對于，對求導(dǎo)得：，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，故選項正確；對于，由選項知，作出曲線及直線，如圖，要使方程有且只有兩個實根，觀察圖象得當(dāng)時，直線與曲線有2個交點，所以方程有且只有兩個實根，則的取值范圍為，故選項錯誤；對于，由得：，解得，令，則，結(jié)合圖象方程有兩解，，，所以或，因為，所以，所以方程有兩解；又因為，結(jié)合圖象可知：也有兩解，綜上：方程共有4個根，故選項正確；對于，因為，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，所以t的最大值為2，故選項正確.故選：CD【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).12．函數(shù)的大于0的零點為，函數(shù)的大于1的零點為，下列判斷正確的是（提示：）（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意可知，即可計算得出A，B答案.再將計算結(jié)果代入化簡即可得出C.最后根據(jù)單調(diào)性即可判斷出零點區(qū)間.【詳解】根據(jù)題意可知，即將代入等式，等式成立，故A正確.因，所以，故B錯誤.,因為，所以，故C正確.在先小于0，后大于0，故在先減后增，，，所以在沒有零點，故D錯誤.故選:AC 三、填空題13．在等比數(shù)列中，若，則           .【答案】16【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等比數(shù)列通項列式計算作答.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，所以.故答案為：1614．已知，則___________.【答案】【分析】將作為常量對求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，再將作為未知量求解即可.【詳解】由解析式知：，，解得.故答案為：15．已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)a的取值范圍是          ．【答案】【分析】將原函數(shù)分解為 ，再作圖，根據(jù)幾何意義即可得出結(jié)論.【詳解】有且僅有一個整數(shù)解， ， 等價于有且僅有一個整數(shù)解，即，令， ，當(dāng) 時， ， 時， ，在 處取得極大值，直線：過定點，作下圖，∴2是唯一的整數(shù)解，即 ，解得： ；故答案為： . 四、雙空題16．牛頓選代法又稱牛頓—拉夫遜方法，它是牛頓在世紀(jì)提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值；過點作曲線的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，稱為的次近似值．一般的，過點作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值．設(shè)的零點為，取，則的次近似值為     ；設(shè)，數(shù)列的前項積為．若任意恒成立，則整數(shù)的最小值為     ．【答案】          【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，依次求出切點、斜率、斜線方程，即可得出結(jié)果.（2）由（1）可得，進(jìn)而可得，，即可得出結(jié)果.【詳解】（1），所以當(dāng)，所以當(dāng)（2）因為所以，為整數(shù)， 故答案為：；2【點睛】關(guān)鍵點點睛：由和，觀察得出是本題的關(guān)鍵.本題考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目. 五、解答題17．已知等差數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的首項、公差作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用錯位相減法求和作答.【詳解】（1）依題意，等差數(shù)列的公差，由，得，解得，所以數(shù)列的通項.（2）由（1）得：，則，于是，兩式相減得，所以.18．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與交于兩點，與軸交點為P.(1)若，求的方程；(2)若，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直線的方程設(shè)為，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè),，,，利用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求解即可；（2）直線的方程設(shè)為，求出，通過，結(jié)合韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解點的坐標(biāo)，然后求解即可．【詳解】（1）由題意，直線的方程設(shè)為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，，可得，設(shè),，,，，，因為，所以，可得，可得，所以直線的方程為：．即．（2）直線的方程設(shè)為，  令，可得，所以，所以,，,，因為，所以：,,，所以，，，，，化簡可得，，，可得，，，．19．已知函數(shù)，其中為實數(shù)，（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若方程在上有實數(shù)解，求的取值范圍；【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可確定；（2）求導(dǎo)后，在和兩種情況下可確定單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)時，可求得單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可知只需即可滿足題意，由此可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，由得：；當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；.（2）；①當(dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，方程在上無實數(shù)解，不合題意；②當(dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，方程在上無實數(shù)解，不合題意；③當(dāng)時，令得：；當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，若方程在上有實數(shù)解，則只需，即，解得：，；綜上所述：的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)方程有根求解參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是能夠通過分類討論得到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)最值，由此得到不等關(guān)系.20．斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于兩點，與共線.(1)求橢圓的離心率；(2)若（異于）為橢圓上一點，且，求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）設(shè)出焦點的坐標(biāo)，求出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及共線向量列式計算作答.（2）利用（1）的信息，用韋達(dá)定理及點在橢圓上列式求解作答.【詳解】（1）令橢圓的右焦點，則直線的方程為，由消去y并整理得，顯然過橢圓右焦點的直線與橢圓必交于兩點，即，設(shè)，則，有，而與共線，于是，即有，解得，所以橢圓的離心率.（2）由（1）知，，橢圓的方程為，且，，而，，即有點在橢圓上，因此，整理得，即，而，解得，所以的值為.  21．在數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系變形，再構(gòu)造等比數(shù)列求解作答.（2）變形給定不等式，構(gòu)造數(shù)列并探討其單調(diào)性，再求出最小值作答.【詳解】（1）由，，得當(dāng)時，，兩式相減得：，即，而，因此構(gòu)成以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則當(dāng)時，，即，顯然不滿足上式，所以數(shù)列的通項.（2）依題意，由不等式，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，，而，因此當(dāng)時，，數(shù)列是遞增數(shù)列，，即當(dāng)時，，于是，依題意，，所以實數(shù)的范圍是.22．已知是常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點(1)求的取值范圍；(2)求證：【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值點轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求解；（2）根據(jù)（1）可得在上遞增，可證，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得出.【詳解】（1），，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個不相等的根.令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，令，可得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以有兩個不相等的根需滿足，即，解得，故的取值范圍為.（2）由（1）知，當(dāng)時，有兩根，且由單調(diào)性知當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，所以，又，可知，又由可得，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以， 即，綜上，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)函數(shù)有極值，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個零點是解題的關(guān)鍵之一，再由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、極值是關(guān)鍵之二，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷導(dǎo)函數(shù)在的符號，得出函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性是關(guān)鍵之三，據(jù)此可得出. 

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