2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市林甸縣第一中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列滿足，前5項(xiàng)和，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求和公式求解即可.【詳解】，解得故選：D2．已知曲線在點(diǎn)處切線的斜率為8，則（    ）A．7 B．-4 C．-7 D．4【答案】B【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出的值，再計(jì)算.【詳解】故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由切線的斜率求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.3．兩平行直線，之間的距離是（    ）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行求出，再根據(jù)兩平行直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得，所以兩平行直線，之間的距離.故選：A4．以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　  　)A．  B．C． D．【答案】A【分析】先由雙曲線方程，得到右頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求拋物線方程為，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的方程可得：右頂點(diǎn)為：，設(shè)所求拋物線方程為：，因?yàn)槠湟?/span>為焦點(diǎn)，所以，因此；故拋物線方程為：.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查由焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線方程，熟記雙曲線的性質(zhì)以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型.5．已知等比數(shù)列中，，則公比（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】利用求解即可.【詳解】等比數(shù)列中，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，又因?yàn)?/span>所以，故選：A.6．設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，若曲線的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得，所以，設(shè)曲線上切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由即可求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.【詳解】，由題意，函數(shù)為奇函數(shù)，則必有，解得，即 ，所以，設(shè)曲線上切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則根據(jù)題意得，解得，故切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故選：D.7．在數(shù)列中，若，.是數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（    ）A．2022 B．2024 C．1011 D．1012【答案】D【分析】利用數(shù)列的周期性，即可計(jì)算求解.【詳解】∵，，，，…，∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.又，，∴.故選：D8．過點(diǎn)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：橢圓，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（ ，0），（-，0），c=，∵橢圓的焦點(diǎn)與橢圓有相同焦點(diǎn)設(shè)橢圓的方程為：=1，∴橢圓的半焦距c=，即a2-b2=5結(jié)合，解得：a2=15，b2=10∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，故選A．【解析】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)．點(diǎn)評(píng)：常見題型，圍繞a,b,c布列方程組． 二、多選題9．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用初等函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)即可.【詳解】選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，故B正確；選項(xiàng)C，，故C正確；選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤，故選：BC.10．已知雙曲線，則不因改變而變化的是（    ）A．焦距 B．離心率 C．頂點(diǎn)坐標(biāo) D．漸近線方程【答案】BD【解析】將雙曲線方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出焦距，離心率，頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，判斷是否因改變而變化，即可得解.【詳解】整理雙曲線方程可得，則，該雙曲線焦距為：，離心率為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為和，漸近線方程為，不因改變而變化的是離心率與漸近線方程.故選：BD.11．已知數(shù)列{an}的n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（    ）A． B．S16為Sn的最小值C． D．使得成立的n的最大值為33【答案】AC【分析】根據(jù)已知條件求得，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式確定正確選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也符合上式，所以，A正確.由于開口向下，對(duì)稱軸為，所以是的最大值，B錯(cuò)誤.由解得，所以，C正確.，所以使成立的的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：AC12．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定的單調(diào)性極值及最值情況，就能確定ABC的正誤，對(duì)于D，恒成立問題，可通過參變分離求最值來(lái)解決.【詳解】【解】A選項(xiàng)，，定義域?yàn)?/span>，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在時(shí)取得極大值也是最大值，故A對(duì)，B選項(xiàng)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：函數(shù)有且只有唯一一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，，，，故C對(duì)，D選項(xiàng)，，故，由于函數(shù)在上恒成立，，設(shè)，定義域?yàn)?/span>，則，設(shè)，解得，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，故，故D對(duì).故選：ACD. 三、填空題13．已知向量，若共面，則        ．【答案】±1【分析】利用共面向量定理直接求解【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>共面,所以存在實(shí)數(shù)m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案為：±1.14． ．【答案】【詳解】由，則當(dāng)x=1時(shí)，，函數(shù)取最大值，由，則，則，則.15．已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)在圓上，則的值是        .【答案】【分析】將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求得的值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，，，線段的中點(diǎn)，，由，得（判別式△，，，，點(diǎn)，在圓上，則，故.故答案為：16．給定圓：及拋物線：，過圓心作直線，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次為，，，；如果線段，，的長(zhǎng)度按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則直線的方程為      .【答案】【分析】先確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與直徑長(zhǎng)，設(shè)出的方程，代入拋物線方程，求出，利用線段、、的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，可得，求出的值，由此可求直線的方程.【詳解】解：  圓的方程為，則其直徑長(zhǎng)，圓心為，設(shè)的方程為，即，代入拋物線方程得：，設(shè)，，有，，則，故，因此.因?yàn)榫€段，，的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，所以，即，∴，∴方程.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓、拋物線的位置關(guān)系，考查等差數(shù)列，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定是關(guān)鍵.中檔題. 四、解答題17．設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列 的前項(xiàng)和．【答案】(1) ；(2).【解析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項(xiàng)公式.（2）將的通項(xiàng)公式代入,可得數(shù)列的表達(dá)式.利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.【詳解】（1）數(shù)列滿足時(shí),∴ ∴當(dāng)時(shí),,上式也成立∴（2）∴數(shù)列的前n項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)法求和的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）求出過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程，與聯(lián)立求出圓心，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求出半徑，即可得圓的方程；（2）分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合過原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【詳解】（1）過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，聯(lián)立，解得，所以,所以圓的半徑為,所以圓的方程為.    （2）由（1）可知圓的方程為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)方程為，則,即,解得或,所以直線的方程為或.  19．在四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，平面.（1）是棱的中點(diǎn)，求證：平面；（2）試問棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值是？若存在，求點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，為邊上靠近的四等分點(diǎn).【解析】（1）先證，再根據(jù)線面平行判定定理即可證明命題；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)，，兩兩互相垂直建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)分別求得平面和平面的法向量，再由二面角公式解得值，從而確定的位置.【詳解】（1）證明：連，由，得，故四邊形為平行四邊形.，平面，平面，所以平面，（2）假設(shè)點(diǎn)存在，取中點(diǎn)，因?yàn)榈酌?/span>是菱形，，所以，，又面，所以，，兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由，得，設(shè)，其中.，，，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即可取.易知平面一個(gè)法向量為由，得，故為邊上靠近的四等分點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.20．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算處理；（2）利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列求和運(yùn)算整理；（3）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和．【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，且所以得：則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是．(2) 由且，則，則：，，，…,，以上個(gè)等式疊加得：則：＝2－，又所以：（3）因?yàn)?/span>，所以…….. ①……..②得:∴21．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極值；（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為，無(wú)極大值；（2）由，得．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減．又，且，所以函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，則．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增．所以，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則需，即，得．綜上所述，若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.22．平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線交軌跡于不同兩點(diǎn)?，交軸于點(diǎn)，已知，，試問是否等于定值，并說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)即可求得軌跡的方程；（2）若直線恰好過原點(diǎn)，直接計(jì)算的值即可；若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線，，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量，用表示出，聯(lián)立直線與橢圓方程消去，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，所以，化簡(jiǎn)可得曲線的方程為：． （2）由題知，若直線恰好過原點(diǎn)，則，，，，，則，，，則，．    若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線，，，，，，．則，，，，，，，，由，得，從而；由，得，從而；故．  聯(lián)立方程組得：，整理得，判別式恒大于零，，，．綜上所述，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；② 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值. 

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