2022-2023學年甘肅省白銀市靖遠縣第四中學高二下學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．復數(shù)的虛部為（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則求的代數(shù)形式，再由虛部的定義確定結論.【詳解】因為，所以復數(shù)z的虛部為，故選：B.2．設全集，集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡集合，根據(jù)集合的運算法則求.【詳解】不等式的解集為，所以，又，所以，故.故選：D.3．設向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)A，C，D三點共線，可得，則存在唯一實數(shù)，使得，再根據(jù)空間向量共線定理即可得解.【詳解】由，，得，因為A，C，D三點共線，所以，則存在唯一實數(shù)，使得，則，解得.故選：C.4．已知數(shù)列，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列中小于2的項有（    ）A．50項 B．51項 C．100項 D．101項【答案】A【分析】令該數(shù)列為，由前幾項歸納得，再令，求出的取值范圍，即可得解.【詳解】令該數(shù)列為，則，，，，由此可歸納得，令，即，所以，解得，又，所以，，故數(shù)列中小于的項有項.故選：A5．已知圓：，則過點的最短弦所在直線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理，分析出圓心和連線的直線垂直于直線時，所截得弦長最短.【詳解】    由于，故點在圓內，化為標準方程：.如圖，設，垂足為，設直線和圓的交點是，根據(jù)垂徑定理，，為使得最小，必須最大，顯然，重合的時候取得等號，此時，由于，所以直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：C6．如圖，這是一個落地青花瓷，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C：的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為8，瓶高等于雙曲線C的虛軸長，則該花瓶的瓶口直徑為（    ）  A． B．24 C．32 D．【答案】D【分析】求出，設出，代入雙曲線方程，求出，得到直徑.【詳解】因為該花瓶橫截面圓的最小直徑為8，所以.設M是雙曲線C與瓶口截面的一個交點，該花瓶的瓶口半徑為r，則，    所以，解得，故該花瓶的瓶口直徑為.故選：D7．將函數(shù)（）的圖象向右平移1個單位長度后，得到的圖象關于原點對稱，則的最小值為（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】先求得的圖象平移后的解析式，再列出關于的方程，進而求得的最小值.【詳解】的圖象向右平移1個單位長度后，可得函數(shù)的圖象，則，，即，.又，故的最小值為1.故選：B8．已知是定義在R上的奇函數(shù)，的導函數(shù)為 ，若 恒成立，則的解集為（    ）A．  B． C．  D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性求解.【詳解】令函數(shù)，則 ，因為 所以. 是增函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以，，所以的解集為，即≥的解集為；故選：D. 二、多選題9．在以下4幅散點圖中，所對應的成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關關系的是（    ）A．  B． C．  D． 【答案】AB【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布情況直觀判斷是否有線性相關關系即可.【詳解】A、B中各點都有線性擬合趨勢，其中A樣本數(shù)據(jù)正相關，B樣本數(shù)據(jù)負相關；C中各點有非線性擬合趨勢，D中各點分布比較分散，它們不具有線性相關.故選：AB10．過點且與曲線相切的直線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設出切點，利用導數(shù)的幾何意義得出切線方程為，再利用條件得到方程，從而求出，進而可求出切線方程.【詳解】設切點為，因為，所以，故切線方程為，又因為切線過點，所以，整理得，解得或，當時，切線方程為，即，當，切線方程為，即.故選：BC.11．如圖，正方體的棱長為2，是的中點，是側面內的一個動點（含邊界），且平面，則下列結論正確的是（    ）  A．平面截正方體所得截面的面積為B．動點的軌跡長度為C．的最小值為D．與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】BCD【分析】根據(jù)正方體的截面、動點軌跡、線段和的最值、線面角等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】如圖1，取的中點，連接，，因為，所以平面截正方體所得的截面為四邊形.因為，所以A錯誤.如圖1，取的中點，的中點，連接，，，因為，，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于平面，所以平面平面，所以點的軌跡為線段.因為，所以B正確.如圖2，將平面，平面展開至共面，連接交于，此時最小，因為，所以C正確.如圖3，建立空間直角坐標系，則，，，，，設，則，所以.設平面的法向量為，因為，，所以，令，得，設與平面所成的角為，則，當時，有最大值，所以D正確.  故選：BCD12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足當時，，若存在等差數(shù)列，其中，使得成等比數(shù)列，則a的取值可能為（   ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】設等差數(shù)列的公差為，不妨設，由，得到，又由等比數(shù)列，設公比為，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求得，再由，得出，轉化為在上有解，令，求得，得出函數(shù)的單調性與，結合，求得，進而結合選項，即可求解.【詳解】當時，則，因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，即函數(shù)，設等差數(shù)列的公差為，不妨設因為，可得，解得，所以，則，又因為等比數(shù)列，設公比為，可得，由且函數(shù)為奇函數(shù)，所以點關于原點對稱，所以，即，解得，所以，因為，可得，所以，即方程即在上有解，即，即在上有解，令，可得，令，即，解得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，，所以，解得，所以A正確；又由，，所以B正確，D不正確；令，可得，所以單調遞減，又因為，所以，即，可得，又由，所以，所以B符合題意.故選：ABC【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 三、填空題13．已知向量，滿足，，，則         .【答案】【分析】利用平方的方法化簡已知條件，由此求得.【詳解】因為，所以，即，解得.故答案為：14．從一箱臍橙（共10個，其中7個是大果，3個是中果）中任選3個，則恰有2個中果的概率為          ．【答案】/0.175【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解.【詳解】恰有2個中果的概率為．故答案為：15．如圖，是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，以為始邊、為終邊的角，則         .  【答案】10【分析】根據(jù)列方程，求得點的橫坐標，進而求得.【詳解】依題意，過向軸作垂線，記垂足為，如下圖所示，設的橫坐標為，則，.因為，所以.由，得，故.故答案為：    16．如圖所示的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱組合而成.已知正四棱錐的側棱長為，正四棱柱的高為，則該幾何體的體積的最大值為         .  【答案】/【分析】設正四棱錐的高為，則，底面積為，設正四棱錐的底面邊長為，根據(jù)幾何關系可得，可得出該幾何體的體積關于的函數(shù)關系式，利用導數(shù)求出的最大值，即為所求.【詳解】設正四棱錐的高為，則，底面積為，設正四棱錐的底面邊長為，則正四棱錐的底面對角線長為，由勾股定理可得，可得，則.該幾何體的體積.令函數(shù)，則.當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.故.因此，該幾何體的體積的最大值為.故答案為：. 四、解答題17．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此求得.（2）先求得，，利用三角形的面積公式求得的面積.【詳解】（1）因為，所以，所以.因為，所以.（2）因為，所以.因為，所以.因為，所以由正弦定理得，所以的面積為.18．已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）方法一：由題意可得，解方程組求出，從而可求出通項公式，方法二：由，得，兩式相減可求出公比，再由可求出，從而可求出通項公式，（2）由（1）得，再利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）方法一：設等比數(shù)列的首項為，公比為.由，得，即，解得，故.方法二：設等比數(shù)列的首項為，公比為.由，得，兩式相減得，即，得.由，得，解得.故.（2）因為，所以，①.②由①-②得，故.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，分別為棱的中點，.  (1)證明：四點共面；(2)求平面與平面的夾角的大小.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量共面的充要條件可知，若存在，使，則四點共面；（2）分別求出平面與平面的法向量，從而根據(jù)夾角公式求解即可.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，又底面為直角梯形，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則..設，即，解得所以.故四點共面.  （2）設是平面的法向量，則，令，得.取的中點，則，連接，又因為，所以，又由（1），，平面，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，即平面的一個法向量為.所以.故平面與平面的夾角的大小為.20．已知函數(shù)的最小值為．(1)求的值；(2)設函數(shù)，求的最值．【答案】(1)1(2)有最小值為0，無最大值. 【分析】（1）用導數(shù)求出的單調性即可知，從而可求的值；（2）構造函數(shù)可得，無最大值，而即可得的最值．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，令得，時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，解得，故所求的值為1.（2）令，，令得，時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，無最大值，所以，而函數(shù)單調遞增，且，由上可知有最小值為0，當且僅當即時取得最小值，無最大值.21．已知橢圓：的離心率為，左、右焦點分別為，，左、上頂點分別為，，且外接圓的半徑為，為坐標原點.(1)求橢圓的標準方程；(2)設為橢圓上一點，直線的平行線與橢圓相交于，兩點，直線，分別與軸交于，兩點，求線段的中點的縱坐標.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）根據(jù)離心率得到、，即可求出，再由正弦定理求出，即可求出橢圓方程；（2）首先求出點坐標，設直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可得到的方程，從而得到，同理得到，計算出即可得解.【詳解】（1）根據(jù)離心率為，得，所以，所以.在中，，解得，所以，，所以橢圓的標準方程為.  （2）因為點在橢圓上，所以，解得或（舍去），所以點，所以，設直線的方程為.聯(lián)立方程組得，由，解得，且.設，，則，，直線的方程為，令，得點的縱坐標為.同理可得點的縱坐標為.所以，所以線段的中點的縱坐標為.  【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.22．某同學正在研究投擲骰子的概率問題，在連續(xù)3次得到6點朝上的結果時，他產生了一個疑問：在連續(xù)多少次6點朝上時，是否該合理懷疑骰子不是均勻的?帶著這個疑問，他研究了以下問題：有兩個骰子，一個是正常的、均勻的1號骰子，另一個是不均勻的2號骰子.經測1試，投擲2號骰子得到6點朝上的概率為.(1)若等可能地選擇其中一個骰子，連續(xù)投擲3次，在得到都是6點朝上的結果的前提下，求這個骰子是2號骰子的概率.(2)若每次都等可能地選擇其中一個骰子，投擲了10次，在得到都是6點朝上的結果的前提下，設這10次中有次用了2號骰子的概率為，試問當取何值時最大?并求的最大值.【答案】(1)(2)當時最大，且最大值為 【分析】（1）利用條件概型概率計算公式求得所求的概率.（2）利用條件概型概率計算公式求得，利用商比較法求得的最大值.【詳解】（1）設事件{3次6點朝上}，事件{選擇了2號骰子}，則，，所以所求概率為.（2）設事件{10次有次用了2號骰子}，則.設事件{10次6點朝上}，則.，.令，，則.當時，，即；當時，，即.因為，所以的最大值是，因為，所以的最大值是，所以當時最大，且最大值為. 

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