廣州市廣州大學(xué)附屬中學(xué)、鐵一中學(xué)、廣州外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A．1 B． C． D．3．已知函數(shù)，將其圖象向右平移個單位后得函數(shù)圖象，若為奇函數(shù)，則的值可以為（    ）A． B． C． D．4．已知橢圓的右焦點是雙曲線的右頂點，則該雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．5．被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)有，0.618就是黃金分割比的近似值，黃金分割比還可以表示成，則（    ）A．4                     B．         C．2      D．6．把一個半徑為10cm的皮球放入由8根長均為acm的鐵絲焊接成的正四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點（皮球不變形），則a的值為（    ）A．20 B． C． D．7．在平面直角坐標系中，已知點，.若直線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．             B．        C．              D．8．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動點M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且．則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．當(dāng)時，與相交C．異面直線AC與BF所成的角為45°D．直線MN與平面BCE相交 9．設(shè)，，，且，則下列關(guān)系式中可能成立的是（    ）A．B．C．D．二、多選題10．有甲、乙兩種套餐供學(xué)生選擇，記事件A為“只選甲套餐”，事件B為“至少選一種套餐”，事件C為“至多選一種套餐”，事件D為“不選甲套餐”，事件E為“一種套餐也不選”．下列說法正確的是（    ）A．A與C是互斥事件 B．B與E是互斥事件，且是對立事件C．B與C不是互斥事件 D．C與E是互斥事件11．對任意實數(shù)a，b，c，下列命題中正確的是（    ）A．“”是“”的充要條件B．“是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件12．已知向量，，滿足，且，，向量與，與，與的夾角都是，則的值可能為（    ）A． B． C． D．1三、填空題13．已知函數(shù)，那么的值為______．14．某民營企業(yè)開發(fā)出了一種新產(chǎn)品，預(yù)計能獲得50萬元到1500萬元的經(jīng)濟收益．企業(yè)財務(wù)部門研究對開發(fā)該新產(chǎn)品的團隊進行獎勵，并討論了一個獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨經(jīng)濟收益x（單位：萬元）的增加而增加，且，獎金金額不超過20萬元．請你為該企業(yè)構(gòu)建一個滿足要求的y關(guān)于x的函數(shù)模型______（答案不唯一）．15．已知拋物線上三點A，B，C，直線AB，AC是圓的兩條切線，若直線BC與直線垂直，則點A的縱坐標值為______．16．甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別是，，，則至少有一人成功破譯的概率是______；密碼被兩人成功破譯的概率為______． 四、解答題17．在①，②，③，這三個條件中任選一個作為已知條件，補充在下面問題中作答．問題：在中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a，b、c，若，______，求角B的值和b的最小值．注：如果選擇條件①、②、③分別解答，按第一個解答計分．18．已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過點，．(1)求圓C的標準方程；(2)直線l過點且與圓C相交，所得弦長為，求直線l的方程．19．已知函數(shù)，．(1)判斷的奇偶性和單調(diào)性；(2)若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．20．某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.有人為了獲得該校全體高中學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標值（單位：cm），計算得男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值為163.83，方差為30.03.（1）根據(jù)以上信息，能夠計算出總樣本的均值和方差嗎？為什么？（2）如果已知男、女樣本量按比例分配，你能計算出總樣本的均值和方差各為多少嗎？（3）如果已知男、女的樣本量都是25，你能計算出總樣本的均值和方差各為多少嗎？它們分別作為總體均值和方差的估計合適嗎？為什么？21．如圖，四棱錐的底面ABCD為矩形，，，平面平面ABCD，E是AB的中點．(1)證明：平面PAC；(2)若，且二面角余弦值為，求直線PA與平面PBD所成的角的正弦值．   22．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標準方程；（2）點是軸上的定點，直線與橢圓交于不同的兩點，已知A關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于原點的對稱點為，已知三點共線，試探究直線是否過定點.若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
參考答案：1．C【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合集合交集的定義進行運算求解即可.【詳解】由可知，從而得到．而，，故選：2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】由題意可知，所以，故選：D3．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換可得，由奇偶性可知，求得后即可對照選項得到結(jié)果.【詳解】由題意得：，為奇函數(shù)，，解得：；當(dāng)時，.故選：A.4．C【分析】根據(jù)橢圓半焦距公式，結(jié)合雙曲線的右頂點的定義、漸近線方程進行求解即可【詳解】因為橢圓的半焦距為：，所以雙曲線的右頂點坐標為，即，因此該雙曲線的漸近線方程為，故選：C5．C【分析】由平方關(guān)系、倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】故選：C6．A【分析】根據(jù)題意皮球與8根鐵絲都相切，另一方面，棱均相等的正四棱錐的底面中心到各棱的距離均相等，即為球心，進而求解.【詳解】解：因為皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點（皮球不變形），所以皮球與8根鐵絲都相切，所以，如圖，在正四棱錐中，所有棱的長度均為acm，連接交于，連接，易知，在中，，所以 此時點到棱的距離為，又因為點是正方形的中心，所以點到正四棱錐的各條棱的距離均為，所以一個半徑為的皮球放入由8根長均為acm的鐵絲焊接成的正四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點（皮球不變形）時，球的半徑為，因為，所以，即故選：A7．D【分析】根據(jù)，可得到關(guān)于點的軌跡方程，由已知可得直線與圓由公共點，列出不等式可求出的范圍.【詳解】設(shè)，因為，，，所以，整理得，所以點P的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓因為，直線上存在點，使得，所以直線與圓相交或相切.所以，，解得.故選：D8．B【分析】建立空間直角坐標系，求出各點坐標，然后A、C、D選項均可以用空間坐標處理；B選項找到與相交時的值，進而作出判斷.【詳解】解：∵邊長為1的正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直∴以點B為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系， ∴，，，，∵∴過點作于點，連接，則， ，顯然，與不一定相等，選項A錯誤.B選項：當(dāng)時，即M為AC中點，N為BF中點時，如圖所示，此時與相交，故選項B正確；C選項：，∴∴異面直線與所成的角為，C選項錯誤D選項：平面BCE的法向量為∴，∴∴始終與平面平行，∴選項D錯誤故選：B9．D【分析】由條件，且分析出的大小關(guān)系，再討論函數(shù)的單調(diào)性即可逐一判斷作答【詳解】因，且，則有且，于是得，函數(shù)，則在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，有成立，A選項可能成立；當(dāng)時，有成立，C選項可能成立；由知，即取某個數(shù)，存在，使得成立，如圖，即B選項可能成立；對于D，由成立知，必有，由成立知，必有，即出現(xiàn)矛盾，D選項不可能成立，所以不可能成立的是D.故選：D10．BC【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念，將每個事件的基本事件列出來，對照即可判斷.【詳解】事件A為“只選甲套餐”；事件B為“至少選一種套餐”，包括選甲套餐，選乙套餐，甲乙兩種套餐都選；事件C為“至多選一種套餐”，包括選甲套餐，選乙套餐，甲乙兩種都不選；事件D為“不選甲套餐”，包括選乙套餐，甲乙兩種都不選；事件E為“一種套餐也不選”.A.事件A與C既不互斥也不對立，故A錯誤；B.事件B與E是互斥事件，且是對立事件，故B正確；C.事件B與C不互斥，故C正確；D.事件C與E不互斥，故D錯誤.故選：BC.11．BD【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)，對各個選項逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于A，當(dāng)時，由不能推出，故A錯誤；對于B，若是無理數(shù)，則a是無理數(shù)，若a是無理數(shù)，則是無理數(shù)，所以“是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件，故B正確；對于C，若，當(dāng)時，，所以“”不是“”的充分條件，故C錯誤；對于D，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：BD.12．AD【分析】設(shè)與的夾角為，由，解得，由數(shù)量積夾角公式計算即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與的夾角為，則，得，解得．又與的夾角都是，而，，，所以，解得或，故選：AD．13．【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式直接求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以故答案為：14．(答案不唯一)【分析】答案不唯一，構(gòu)造出一個函數(shù)，說明是單調(diào)嚴格增函數(shù)，且函數(shù)的取值滿足要求.【詳解】函數(shù)，就是符合企業(yè)獎勵的一個函數(shù)模型.理由：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，易知，隨增大而增大，即為嚴格增函數(shù)；當(dāng)時，，當(dāng)時，，即獎金金額且不超過20萬元.故該函數(shù)是符合企業(yè)獎勵要求的一個函數(shù)模型.故答案為：(答案不唯一).15．【分析】根據(jù)題意設(shè)，，，進而得，再根據(jù)直線BC與直線垂直得，同理得，直線的方程為，再根據(jù)直線與圓相切得，同理得，兩式作差解方程即可得答案.【詳解】解：因為A，B，C三點在拋物線上，所以設(shè)，，所以，因為直線BC與直線垂直，所以，即，同理得，故直線的方程為，整理得，同理得直線的方程為因為直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，整理得①，②所以①②得，所以，再將代入的，解得故答案為：16．     ##0.75     ##0.25【分析】計算全部都不成功的概率，再得到至少一人成功的概率，兩人成功共有三種情況，計算得到答案.【詳解】至少有一人成功破譯的概率是,；密碼被兩人成功破譯的概率為,.故答案為：；.17．；【分析】選①由三角恒等變換化簡條件求B，由余弦定理可得邊a,b的關(guān)系，由此求b的最值，選②由內(nèi)角和公式和二倍角余弦公式化簡條件，求角B，由余弦定理可得邊a,b的關(guān)系，由此求b的最值，選③由正弦定理化邊為角，再通過化簡求角B，由余弦定理可得邊a,b的關(guān)系，由此求b的最值.【詳解】若選擇①：在中，有，所以，即，所以，又所以，所以．又因為，所以因為，所以且由余弦定理得：，所以當(dāng)時，取最小值，，所以b的最小值為若選②，在中，，則由題可得所以或（舍去），又因為，所以因為，所以且由余弦定理得：，所以當(dāng)時，取最小值，，所以b的最小值為若選③，由正弦定理可將已知條件轉(zhuǎn)化為，又，所以，又，所以，所以又因為，所以，因為，所以且由余弦定理得：，所以當(dāng)時，取最小值，，所以b的最小值為18．(1)(2)或 【分析】（1）設(shè)圓方程為，帶入點解得答案.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)弦長公式計算得到答案.(1)設(shè)圓心為，半徑為，則，圓經(jīng)過點，，則，，解得，即.(2)當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，帶入原方程得到和，弦長為，滿足條件；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離為，，即，解得，故直線方程為.綜上所述：直線方程為或.19．(1)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，證明見解析.(2) 【分析】（1）結(jié)合對數(shù)的真數(shù)大于零求得的定義域，由判斷出為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的知識來判斷出的單調(diào)性.（2）將問題轉(zhuǎn)化為，先求得，然后對進行分類討論，由列不等式來求得的取值范圍.(1)要使有意義，只需，即，解得，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱. 所以又因為，所以函數(shù)是奇函數(shù).設(shè)，則因為，所以，則，且，所以，則，因此，故，即，結(jié)合單調(diào)性的概念可知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)對任意，存在，使得不等式成立，等價于，由（1）知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，，函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，，則，解得，所以，當(dāng)時，，則，解得，所以，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.20．（1）不能，見解析；（2）能，170.02，43.24；（3）168.67,46.89，不合適，見解析.【解析】（1）由于不知道如何抽取的樣本，因此沒法計算總體均值，同樣沒法計算總體方差；（2）按男女生比例抽取樣本，可按相應(yīng)公式計算均值和方差；（3）已知樣本量，可按樣本量所占比計算均值與方差，但不具代表性，個體不是等概率抽取的．公式：分層抽樣中兩組數(shù)據(jù)的抽樣比例是，則總體均值為，總體方差【詳解】（1）不能，因為本題沒有給出男、女生的樣本量，或者男、女生樣本量的比例，故無法計算出總樣本的均值和方差..（2）總樣本的均值為.總樣本的方差.（3）總樣本的均值為.總樣本的方差為.不能作為總體均值和方差的估計，因為分層抽樣中未按比例抽樣，總體中每個個體被抽到的可能性不完全相同，因而樣本的代表性差.【點睛】本題考查用樣本估計總體，掌握抽樣分析中能用樣本估計總體所必須具備的條件是總體中每個個體被抽取的概率應(yīng)相等，即等可能．21．(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）證得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)即可證出結(jié)果；（2）作出輔助線，證得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，結(jié)合已知條件求出的長度，進而可求出結(jié)果.(1)因為，，， E是AB的中點，在中，，所以,故，所以，又因為平面平面ABCD，且平面平面ABCD，故平面PAC；(2)設(shè)交于，連接，取的中點，連接,因為四邊形為矩形，所以是的中點，因為，所以，又因為平面平面ABCD，且平面平面ABCD，所以平面ABCD，因此兩兩垂直，故以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則則，設(shè)平面的法向量為，則，則平面的一個法向量為，則，設(shè)平面的法向量為，則，則平面的一個法向量為，由題意可知，即，解得，因此，設(shè)直線PA與平面PBD所成的角為，則所以直線PA與平面PBD所成的角的正弦值為.22．（1）；（2）直線恒過定點.【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距可求出，由橢圓的面積等于得，求出，即可求出橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線，，進而寫出為，兩點坐標，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求，，由三點共線可知，將，代入并化簡，得到的關(guān)系式，分析可知經(jīng)過的定點坐標.【詳解】（1）橢圓的面積等于，，，橢圓的焦距為，，，橢圓方程為 （2）設(shè)直線，，則，，三點共線，得，直線與橢圓交于兩點,,，，由，得，，，代入中，，，當(dāng)，直線方程為，則重合，不符合題意；當(dāng)時，直線,所以直線恒過定點.

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