專題11 四邊形一．選擇題1．（?濱海新區(qū)一模）如圖，矩形的對角線，相交于點，，，則矩形對角線的長等于　　A．6 B．8 C． D．【解析】四邊形是矩形，，，，，，是等邊三角形，，，故選：．2．（?鹽田區(qū)二模）如圖，在正方形中，點是上一動點，點是的中點，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．給出結(jié)論：①；②；③；④若正方形的邊長為2，則點在射線上運動時，有最小值．其中結(jié)論正確的是　　A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解析】如圖，延長交的延長線于點，∵點是的中點，，，，，，，又，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，故①正確；，，，，，，，故②正確；如圖，連接，過點作于點，過點作于，交于，連接，，，，四邊形是矩形，，，，點在上運動，當時，有最小值，，，的最小值，故④正確；，，，，，，是梯形的中位線，，，，，，，，，，又，，，，，，，，故③錯誤；故選：．3．（?寧波模擬）如圖，在矩形中，，分別是，的中點，，則的長為　　A．6 B．5 C．4 D．3【解析】如圖，連接，∵四邊形是矩形，，，分別是，的中點，，故選：．4．（?周村區(qū)一模）如圖，有兩張矩形紙片和，，．把紙片交叉疊放在紙片上，使重疊部分為平行四邊形，且點與點重合．當兩張紙片交叉所成的角最小時，等于　　A． B． C． D．【解析】如圖，∵四邊形和四邊形是矩形，，，，且，，，，且四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，當點與點重合時，兩張紙片交叉所成的角最小，設(shè)，則，，，，，故選：．5．（?高唐縣一模）如圖，的周長為32，對角線、相交于點，點是的中點，，則的周長為　　A．14 B．15 C．18 D．21【解析】四邊形是平行四邊形，，，，的周長為32，，∵點是的中點，，是的中位線，，，的周長；故選：．6．（?揚中市模擬）如圖，已知，為線段上的一個動點，分別以，為邊在的同側(cè)作菱形和菱形，點，，在一條直線上，．，分別是對角線，的中點．當點在線段上移動時，點，之間的距離最短為　　A． B． C．4 D．3【解析】連接、．∵四邊形，四邊形是菱形，，，，，分別是對角線，的中點，，，，設(shè)，則，，，，時，有最小值，最小值為，故選：．7．（?龍華區(qū)二模）如圖，已知四邊形是邊長為4的正方形，為上一點，且，為射線上一動點，過點作于點，交直線于點．則下列結(jié)論中：①；②若，則；③當時，；④的最小值為．其中正確的有　　A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】連接，過作于，則，，，，，，，，，故①正確；，，，，，，，；故②正確；連接，，點，，，四點共圓，，，，同理當運動到點右側(cè)時，此時，且四點共圓，，故此時．因此或7，故③錯誤；取 的中點，連接，，，，點在以為圓心，為直徑的圓上，當最小時，的值最小，，的最小值，，，的最小值為，故④錯誤，故選：．8．（?慶云縣一模）如圖，中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，過作交的延長線于點，連接并延長交于點，連接交于點．下列結(jié)論：①平分；②；③是的中點；④；⑤，其中正確的有　　A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【解析】，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，又，四邊形是矩形，，，，，，，，，，平分，故①正確；，，，，，，，，故②正確；如圖，連接，，，，，，，，，，，，，點是的中點，故③正確，如圖，過點作于，，，，，，，，，，，，，，故④正確；，，，，，故⑤不合題意，故選：．二．填空題9．（?順平縣一模）如圖，中，，．于點，，點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿向點運動，到點停止，設(shè)點的運動時間為．（1）__________；（2）若是等腰三角形，則的值為__________．【解析】（1），，，，，，，故答案為：4；（2）當點在邊上時，是等腰三角形，，，，∵四邊形是平行四邊形，，，，；當點在上時，是等腰三角形，，，，，，，，解得，；由上可得，的值是2或，故答案為：2或．10．（?成都模擬）如圖，在矩形中，，，點為對角線的中點，點在的延長線上且，連接，過點作交延長線于點，連接并延長交的延長線于點，則__________．【解析】作于，于，∵四邊形為矩形，，，，，∵點為的中點，，，，，，，在中，，，，，又，，，即，解得，，，，、、、四點共圓，，又，，，故答案為：．11．（?海門市一模）如圖，正方形的邊長為6，點在延長線上，，作交延長線于點，則的長為__________．【解析】如圖，在上截取，連接．，，，．，即．又，．，．，設(shè)，，，，，，，，解得，，，故答案為：10．12．（?順德區(qū)三模）如圖，分別以的邊、為一邊向外做正方形和正方形，連結(jié)、交于點，連結(jié)和．在不添加任何輔助線和字母的前提下，寫出四個不同類型的結(jié)論__________．【解析】，，，平分，（答案不唯一）理由如下：如圖，連接，正方形和正方形，，，，，，，，，點，點，點，點四點共圓，，，，，，平分．13．（?道里區(qū)二模）在平行四邊形中，，，，則平行四邊形的面積為__________．【解析】過點作于，，，，，在中，，，的面積，故答案為：．14．（?亭湖區(qū)二模）如圖，在四邊形中，，，，，是上一點，且，，則__________．【解析】過作交的延長線于，延長到使，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，，，在中，，即，解得即，故答案為：10．15．（?婁星區(qū)一模）如圖，正方形的對角線相交于點，過點任意作一條直線，分別交、于點、，若正方形的對角線長為，則圖中陰影部分的面積是__________．【解析】∵四邊形是正方形，對角線，正方形的邊長為1，∵依據(jù)已知和正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定可知，則得圖中陰影部分的面積為正方形面積的，因為正方形的邊長為1，則其面積為1，于是這個圖中陰影部分的面積為．故答案為：．16．（?新北區(qū)一模）已知在菱形中，，，，，，則菱形的邊長__________．【解析】連接，過作交的延長線于，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，過作交的延長線于，，，，，，，在菱形中，，是等邊三角形，，故答案為：．17．（?溫州模擬）如圖，四邊形，均為菱形，，連結(jié)，，，，若，菱形的周長為12，則菱形的周長為__________．【解析】四邊形，均為菱形，，，，，，，，，連接交于，交于，延長交于，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，∵菱形的周長為12，，，，過作于，，，，，設(shè)，，，，，．菱形的周長為，故答案為：．三．解答題18．（?寧鄉(xiāng)市一模）如圖，點在的內(nèi)部，，．（1）求證；（2）若的面積為，求四邊形的面積．【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，同理得，在和中，，；（2）點在內(nèi)部，，由（1）知：，，，的面積為，四邊形的面積為．19．（?上虞區(qū)模擬）如圖，矩形的四個頂點在正的邊上，已知正的邊長為2，記矩形的面積為，邊長為．求：（1）關(guān)于的函數(shù)表達式和自變量的取值范圍；（2）當時，的值．【解析】（1）在矩形中，，則，是等邊三角形，，正的邊長為2，，在中，，，，即關(guān)于的函數(shù)表達式為，自變量的取值范圍為；（2）當時，，解得．20．（?建甌市模擬）如圖，在矩形中，，，是邊上的中點，是邊上的一點，且，連接并延長交的延長線于點．（1）求；（2）判斷是否平分，并說明理由；（3）連接，不添加輔助線，試證明，直接寫出一種經(jīng)過兩次變換的方法使得與重合．【解析】（1），，在中，，，；（2）平分，理由如下：在中，，，，，，，平分；（3），，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，在和中，，，變換的方法為：①將繞點順時針旋轉(zhuǎn)和重合，再沿折疊；②將以過點垂直于的直線折疊，再繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．21．（?李滄區(qū)一模）如圖，是的邊的中點，，，與相交于點，連接，．（1）求證：；（2）當滿足什么條件時，四邊形是菱形？請說明理由．【解析】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，，是的邊的中點，，；（2）解：當滿足是直角三角形，時，四邊形是菱形；理由如下：由（1）得：，，四邊形是平行四邊形，，是的邊的中點，，四邊形是菱形．22．（?秦淮區(qū)一模）如圖，在中，是的中點．作，且使，連接，與交于點．（1）求證；（2）連接、，要使四邊形是菱形，的邊或角需要滿足什么條件？證明你的結(jié)論．【解析】（1）證明：是的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，；（2）解：當（或時，四邊形是菱形；理由如下：如圖2所示：是的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，由（1）得，四邊形是平行四邊形，，當時，，，即，四邊形是菱形．23．（?斗門區(qū)二模）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線與相交于點，與相交于點，連接，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求菱形的周長和對角線的長．【解析】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，．是的垂直平分線，在和中，，，．，四邊形是平行四邊形．，四邊形是菱形．（2）解：設(shè)，則．在中，由勾股定理得：，解得：．即，菱形的周長為．在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：，由（1）得：，．24．（?資興市二模）如圖①所示，已知正方形和正方形，、、在同一直線上，點在上，連接，．（1）證明：；（2）發(fā)現(xiàn)：當正方形繞點旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）探究：如圖③所示，若四邊形與四邊形都為矩形，且，時，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否與（2）的結(jié)論相同，并說明理由．【解析】（1）證明：四邊形和四邊形是正方形，，，，，；（2），．如圖1中，四邊形和四邊形是正方形，，，，，在和中，，，；，延長交于，交于．，，，，，．（3）數(shù)量關(guān)系不成立，，位置關(guān)系成立．如圖2中，延長交于，交于．∵四邊形與四邊形都為矩形，，，，，，，，，，，，，，，．25．（?宛城區(qū)一模）如圖，在中，，，正方形的邊長為2，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，連接、、．（1）猜想：的值是__________，直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是__________；（2）探究：直線與垂直時，求線段的長；（3）拓展：取的中點，連接，直接寫出線段長的取值范圍．【解析】（1），都是等腰直角三角形，，，，，，則可以看成是繞點旋轉(zhuǎn)后放大倍得到的，故直線與直線相交所成的銳角的度數(shù)是；故答案為：，．（2）是腰長為4 的等腰直角三角形，四邊形的邊長為2的正方形，，，，，，，，，，當時，，，三點在一直線上時，在中，，，如圖1，當點在線段上時，，．如圖2，當點在線段的延長線上時，，．綜合以上可得，當時，線段的長為或；（3）延長到，使得，連接，，則為等腰直角三角形，，為的中點，為的中點，為的中位線，，在中，，，．  

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