專題07 一次函數(shù)一．選擇題1．（?西城區(qū)二模）某人開車從家出發(fā)去植物園游玩，設(shè)汽車行駛的路程為（千米），所用時(shí)間為（分，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．若他早上8點(diǎn)從家出發(fā)，汽車在途中停車加油一次，則下列描述中，不正確的是　　A．汽車行駛到一半路程時(shí)，停車加油用時(shí)10分鐘 B．汽車一共行駛了60千米的路程，上午9點(diǎn)5分到達(dá)植物園 C．加油后汽車行駛的速度為60千米時(shí) D．加油后汽車行駛的速度比加油前汽車行駛的速度快【解析】、車行駛到一半路程時(shí)，加油時(shí)間為25至35分鐘，共10分鐘，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；、汽車一共行駛了60千米的路程，上午9點(diǎn)05分到達(dá)植物園，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；、汽車加油后的速度為千米時(shí)，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；、汽車加油前的速度為千米時(shí)，，加油后汽車行駛的速度比加油前汽車行駛的速度慢；故本選項(xiàng)不正確，符合題意．故選：．2．（?吳江區(qū)二模）若一次函數(shù)為常數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的方程的解為　　A． B． C． D．【解析】∵一次函數(shù)為常數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，的解是，，則，故選：．3．（?溫嶺市模擬）甲、乙兩人在直線跑道上同時(shí)出發(fā)同方向勻速步行至同一終點(diǎn)，先到終點(diǎn)的人原地休息．出發(fā)時(shí)甲在乙前方6米處．在步行過程中，甲、乙兩人的距離（米與甲的步行時(shí)間（秒之間的關(guān)系如圖所示，則當(dāng)時(shí)，下列描述正確的是　　A．乙比甲多步行了30米 B．乙步行了30米 C．甲在乙的前方30米處 D．乙到達(dá)終點(diǎn)【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，乙已經(jīng)到達(dá)終點(diǎn)，此時(shí)甲、乙兩人的距離為，即乙比甲多步行了36米，故選項(xiàng)、、均不合題意，選項(xiàng)符合題意．故選：．4．（?海安市一模）甲、乙兩車在同一直線上從地駛向地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早出發(fā)，并且甲車途中休息了，如圖是甲、乙兩車離開地的距離與甲車行駛時(shí)間的函數(shù)圖象．小成同學(xué)根據(jù)圖文信息，解讀出以下結(jié)論：①乙車速度是；②的值為1；③的值為40；④乙車比甲車早到達(dá)地．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有　　A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】（千米小時(shí)），即乙車速度是，故①正確；由題意，得．故②正確；，則，故③正確；設(shè)甲車休息之后行駛路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為，由題意，得，解得，，根據(jù)圖形得知：甲、乙兩車中先到達(dá)地的是乙車，把代入得，，∵乙車的行駛速度：，乙車的行駛需要，，乙車比甲車早到達(dá)地．故④正確．綜上所述，正確結(jié)論的有①②③④共4個(gè)．故選：．5．（?朝陽區(qū)校級(jí)模擬）“龜兔賽跑”是同學(xué)們熟悉的寓言故事．如圖所示，表示了寓言中的龜、兔的路程和時(shí)間的關(guān)系（其中直線段表示烏龜，折線段表示兔子）．下列判斷中，正確的是　　A．賽跑中，兔子共休息了50分鐘 B．兔子在不休息的時(shí)間段，速度都比烏龜快 C．烏龜追上兔子用了10分鐘 D．兔子全程的平均速度大于10米分【解析】由圖象可得，賽跑中，兔子共休息了分鐘，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；烏龜在這次比賽中的平均速度是米分鐘，兔子開始的速度是米分鐘，后來的速度是米分鐘，即兔子在不休息的時(shí)間段，速度都比烏龜快，故選項(xiàng)正確；烏龜追上兔子用了20分鐘，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；兔子全程的平均速度是米分鐘，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．6．（?順德區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)與的大致圖象是　　A．  B． C．  D．【解析】、由的圖象知，則，所以的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意．、由的圖象知，則，所以的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意．、由的圖象知，則，所以的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意．、由的圖象知，則，所以的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)符合題意．故選：．7．（?河南模擬）如圖所示，在直線依次取點(diǎn)、、順次構(gòu)造等邊三角形△、△點(diǎn)、、都在軸上，若，則第2019個(gè)等邊三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)為　　A．， B．， C．， D．，【解析】設(shè)，過作軸城，，，，，△為等邊三角形，，，，，，，，過作軸于，為等邊三角形，，，，，，，，同理可得，，，由上可知，，故選：．8．（?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點(diǎn)、，以為一邊向右作等邊，以為一邊向左作等邊，連結(jié)交直線于點(diǎn)．則點(diǎn)的坐標(biāo)為　　A．， B．， C．， D．，【解析】①，令，則，令，則，故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：，、，即，，則，，故，而為等邊三角形，則與軸的夾角為，則，，故點(diǎn)，，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得：，故直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②并解得：，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，故選：．二．填空題9．（?歷下區(qū)三模）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地．如圖，線段表示貨車離甲地距離（千米）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；折線表示轎車離甲地距離（千米）與（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系．若轎車到達(dá)乙地后，馬上沿原路以段速度返回，則轎車從乙地出發(fā)__________小時(shí)再次與貨車相遇．【解析】轎車在段速度為：（千米小時(shí)），貨車的速度為：（千米小時(shí)），設(shè)轎車從乙地出發(fā)小時(shí)再次與貨車相遇，根據(jù)題意得：，解得（小時(shí)）．即轎車從乙地出發(fā)約4.68小時(shí)再次與貨車相遇．故答案為：約4.68．10．（?徐州模擬）如圖，已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，則使是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________．【解析】（方法一）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，．①當(dāng)時(shí)，，即，；②當(dāng)時(shí)，，即，；③當(dāng)時(shí)，，即，整理，得：．∵△，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，此時(shí)點(diǎn)有兩個(gè)．綜上所述：使是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．故答案為：4．（方法二）過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，此時(shí)；過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，此時(shí)；以為直徑作圓，交直線于點(diǎn)，，此時(shí)（此處需驗(yàn)證線段的中點(diǎn)到直線的距離小于；綜上所述：使是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．故答案為：4．11．（?甘井子區(qū)模擬）甲、乙兩人在一條直線跑道上同起點(diǎn)同終點(diǎn)同方向勻速跑步，先到終點(diǎn)的人原地休息，已知甲先出發(fā)2秒，在跑步過程中，圖1是乙離開起點(diǎn)后跑的路程（單位：米）與所用時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)圖象，圖2是甲、乙兩人之間的距離（單位：米）與乙跑步所用時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)圖象，則__________．【解析】由圖1可得，乙的速度為（米秒），由題意可得，，甲的速度為（米秒），，故，故答案為：23．12．（?市中區(qū)校級(jí)模擬）有兩段長度相等的路面，分別交給甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)行施工，甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)鋪設(shè)路面的長度（米與施工時(shí)間（時(shí)的函數(shù)關(guān)系的部分圖象如圖所示．下列四種說法：①施工2小時(shí)，甲隊(duì)的施工速度比乙隊(duì)的施工速度快；②施工4小時(shí)，甲、乙兩隊(duì)施工的長度相同；③施工6小時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)多施工了10米；④如果甲隊(duì)施工速度不變，乙隊(duì)在施工6小時(shí)后，施工速度增加到每小時(shí)12米，結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成鋪設(shè)任務(wù)，則路面鋪設(shè)任務(wù)的長度為110米．其中正確的有__________．【解析】由圖象可得，施工2小時(shí)，甲隊(duì)的施工速度比乙隊(duì)的施工速度慢，故①錯(cuò)誤；甲的施工速度為：（米時(shí)），當(dāng)時(shí)，乙的施工速度為：（米時(shí)），施工4小時(shí)，甲隊(duì)施工（米），乙隊(duì)施工（米），故②正確；施工6小時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)多施工了（米），故③正確；設(shè)路面鋪設(shè)任務(wù)的長度為米，，解得，，即路面鋪設(shè)任務(wù)的長度為110米，故④正確；故答案為：②③④．13．（?諸城市一模）商店以每件13元的價(jià)格購進(jìn)某商品100件，售出部分后進(jìn)行了降價(jià)促銷，銷售金額（元與銷售量（件的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則售完這100件商品可盈利__________元．【解析】設(shè)降價(jià)段圖象的表達(dá)式為：，將、代入上式并解得：，即每件售價(jià)元；從圖象看，售出80件即收回成本，利潤即為剩下的20件的售出金額，即為：，故答案為：250．14．（?永嘉縣模擬）如圖，直線與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，四邊形是菱形，則的面積為__________．【解析】，當(dāng)，，當(dāng)，則，故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：，、，則點(diǎn)，故菱形的邊長為3，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，解得：，故點(diǎn)，，，故答案為：．三．解答題15．（?張家港市模擬）甲、乙兩車分別從，兩地同時(shí)出發(fā)，甲車勻速前往地，到達(dá)地立即以另一速度按原路勻速返回到地，乙車勻速前往地．設(shè)甲、乙兩車距地的路程為（千米），甲車行駛的時(shí)間為（小時(shí)），與之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）圖中，　 　，　　；（2）求甲車返回時(shí)與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）在甲車返回到地的過程中，當(dāng)為何值時(shí)，甲、乙兩車相距190千米？【解析】（1），，故答案為：2.5；3.75；（2）設(shè)甲車返回時(shí)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)題意得：，解得，甲車返回時(shí)與之間的函數(shù)關(guān)系式是；（3）乙車的速度為：（千米時(shí)），甲車返回時(shí)的速度為：（千米時(shí)），根據(jù)題意得：，解得．答：當(dāng)時(shí)，甲、乙兩車相距190千米．16．（?浦東新區(qū)三模）甲、乙兩輛汽車沿同一公路從地出發(fā)前往路程為100千米的地，乙車比甲車晚出發(fā)15分鐘，行駛過程中所行駛的路程分別用、（千米）表示，它們與甲車行駛的時(shí)間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）分別求出、關(guān)于的函數(shù)解析式并寫出定義域；（2）乙車行駛多長時(shí)間追上甲車？【解析】（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析為，，得，即關(guān)于的函數(shù)解析為，設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析為，，得，即關(guān)于的函數(shù)解析為；（2）令，得，（分鐘），即乙車行駛25分鐘追上甲車．17．（?寧波模擬）“青青學(xué)習(xí)網(wǎng)”上網(wǎng)學(xué)習(xí)有，兩種付費(fèi)方式．上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間（時(shí)與學(xué)習(xí)費(fèi)（元之間的函數(shù)關(guān)系如圖．（1）當(dāng)時(shí)，方式中與的函數(shù)表達(dá)式是__________，方式中與的函數(shù)表達(dá)式是__________．（2）在什么時(shí)間段，選擇方式的學(xué)習(xí)費(fèi)較少？（3）當(dāng)學(xué)習(xí)時(shí)間為多少時(shí)，方式的學(xué)習(xí)費(fèi)比方式的學(xué)習(xí)費(fèi)高得最多？最多高多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)方式中與的函數(shù)表達(dá)式是，把代入得，，，方式中與的函數(shù)表達(dá)式是；設(shè)方式中與的函數(shù)表達(dá)式是，把和代入得，，解得：，方式中與的函數(shù)表達(dá)式是；故答案為：；； （2）解得，當(dāng)或時(shí)，選擇方式的學(xué)習(xí)費(fèi)較少； （3）當(dāng)學(xué)習(xí)時(shí)間為2.5時(shí)，方式的學(xué)習(xí)費(fèi)比方式的學(xué)習(xí)費(fèi)高得最多，最多高為（元）．18．（?平頂山模擬）某文具廠接到生產(chǎn)一批橡皮和水筆的任務(wù)，已知該文具廠銷售200個(gè)橡皮和200個(gè)水筆的利潤為160元，銷售100個(gè)橡皮和200個(gè)水筆的利潤為130元．已知該文具廠每天生產(chǎn)橡皮和水筆共4500個(gè)，生產(chǎn)橡皮和水筆每個(gè)成本分別為2元，3元，設(shè)每天生產(chǎn)橡皮個(gè)，該文具廠每天生產(chǎn)成本為元．（1）求橡皮和水筆的銷售單價(jià)；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）若該文具廠每天最多投入成本為10000元，求該文具廠每天獲得利潤最多是多少元？【解析】（1）設(shè)橡皮和水筆的銷售單價(jià)分別為元和元，根據(jù)題意得：，解得：，答：橡皮的銷售單價(jià)是2.3元，水筆的銷售單價(jià)是3.5元；（2）由題意得：；（3）設(shè)該文具廠每天獲得利潤為元，則，當(dāng)時(shí)，，，，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，取得取大值，，當(dāng)每天生產(chǎn)橡皮3500個(gè)時(shí)，所獲利潤最大，最大是1550元．19．（?武漢模擬）城有肥料，城有肥料．現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往、兩鄉(xiāng)，鄉(xiāng)需要肥料，鄉(xiāng)需要肥料，其運(yùn)往、兩鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)如表：兩城兩鄉(xiāng)（元（元20241517設(shè)從城運(yùn)往鄉(xiāng)的肥料為，從城運(yùn)往兩鄉(xiāng)的總運(yùn)費(fèi)為元，從城運(yùn)往兩鄉(xiāng)的總運(yùn)費(fèi)為元．（1）分別寫出、與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）試比較、兩城總運(yùn)費(fèi)的大??；（3）若城的總運(yùn)費(fèi)不得超過4800元，怎樣調(diào)運(yùn)使兩城總費(fèi)用的和最少？并求出最小值．【解析】（1）根據(jù)題意得：，． （2）由，解得，當(dāng)時(shí)，，城的總運(yùn)費(fèi)較少；當(dāng)時(shí)，，兩城的總運(yùn)費(fèi)相等；當(dāng)時(shí)，，城的總運(yùn)費(fèi)較少． （3）由得，解得，設(shè)兩城總費(fèi)用為，則，，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，有最小值9240．答：當(dāng)從城調(diào)往鄉(xiāng)肥料，調(diào)往鄉(xiāng)肥料，從城調(diào)往鄉(xiāng)肥料，調(diào)往鄉(xiāng)肥料，兩城總費(fèi)用的和最少，最小值為9240元．20．（?中原區(qū)校級(jí)模擬）某商場銷售10臺(tái)型和20臺(tái)型加濕器的利潤為2500元，銷售20臺(tái)型和10臺(tái)型加濕器的利潤為2000元．（1）求每臺(tái)型加濕器和型加濕器的銷售利潤；（2）該商店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號(hào)的加濕器共100臺(tái)，其中型加濕器的進(jìn)貨量不超過型加濕器的2倍，設(shè)購進(jìn)型加濕器臺(tái)，這100臺(tái)加濕器的銷售總利潤為元．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②該商店應(yīng)怎樣進(jìn)貨才能使銷售總利潤最大？（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)型加濕器出廠價(jià)下調(diào)元，且限定商店最多購進(jìn)型加濕器70臺(tái)，若商店保持同種加濕器的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)加濕器銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．【解析】（1）設(shè)每臺(tái)型加濕器銷售利潤為元，每臺(tái)型加濕器的銷售利潤為元；根據(jù)題意得：，解得，答：每臺(tái)型加濕器銷售利潤為50元，每臺(tái)型加濕器的銷售利潤為100元； （2）①據(jù)題意得，，即，②據(jù)題意得，，解得，，，隨的增大而減小，為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最大值，則，即商店購進(jìn)34臺(tái)型加濕器和66臺(tái)型加濕器的銷售利潤最大． （3）據(jù)題意得，，即，，①當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，取最大值，即商店購進(jìn)34臺(tái)型加濕器和66臺(tái)型加濕器的銷售利潤最大．②時(shí)，，，即商店購進(jìn)型加濕器數(shù)量滿足的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤；③當(dāng)時(shí)，，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，取得最大值．即商店購進(jìn)70臺(tái)型加濕器和30臺(tái)型加濕器的銷售利潤最大．21．（?大東區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是經(jīng)過 ， 兩點(diǎn)的直線，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)，之間的距離；（2）當(dāng)時(shí)，求直線1的解析式；（3）在（2）的條件下，直接寫出與重疊部分的面積．【解析】（1）如圖1，連接，，，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，，，； （2）如圖2，由（1）知，，，，，在中，，則，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，，，（負(fù)的已舍去），，，過點(diǎn)作于，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，，設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)，在直線上，，，直線的解析式為； （3）與軸的交點(diǎn)記作，由（2）知，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的解析式為，，與重疊部分的面積為．22．（?富寧縣模擬）如圖所示的是一個(gè)寬5米的餐廳，只能放8張餐桌．現(xiàn)計(jì)劃擴(kuò)建增加座位，只能對(duì)原寬度進(jìn)行加長，設(shè)加長后的長度為米．若餐廳的餐桌數(shù)為，經(jīng)計(jì)算，得到如下數(shù)據(jù)：（注和都為正整數(shù)）（米581114餐桌數(shù)（張81216　20　（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的規(guī)律，完成以上表格；（2）求出關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）若這家餐廳至少要有80張餐桌，求的最小值．【解析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可得，每加長3米，餐桌數(shù)就增加4張，故當(dāng)時(shí)，，故答案為：20；（2）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，，得，即與的函數(shù)關(guān)系式為；（3），解得，，的最小值是59．23．（?拱墅區(qū)校級(jí)二模）甲、乙兩車同時(shí)從地出發(fā)，勻速開往地，甲車行駛到地后立即沿原路線以原速度返回地，到達(dá)地后停止運(yùn)動(dòng)：當(dāng)甲車到達(dá)地時(shí)，乙車恰好到達(dá)地，并停止運(yùn)動(dòng)．已知甲車的速度為，設(shè)甲車出發(fā)后，甲、乙兩車之間的距離為，圖中的折線表示了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中與之間的函數(shù)關(guān)系．（1）、兩地的距離是　600　，乙車的速度是　　；（2）指出點(diǎn)的實(shí)際意義，并求線段所表示的與之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)兩車相距時(shí)，直接寫出的值．【解析】（1）由圖象可得，、兩地的距離是，乙車的速度為：，故答案為：600，75；（2），點(diǎn)的實(shí)際意義是，在兩車行駛4小時(shí)時(shí)，甲車到達(dá)地，此時(shí)甲乙兩車的距離是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)線段所表示的與之間的函數(shù)表達(dá)式為，，得，即線段所表示的與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（3）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，；由上可得，當(dāng)兩車相距時(shí)，的值是或或．  

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