2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高三（重點(diǎn)班）上學(xué)期7月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，B=，則（    ）A．{-2，-1，1} B．{-2， 0， 1} C．{-2，-1} D．{-1， 1}【答案】A【分析】由題知，再根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算與交集運(yùn)算求解即可.【詳解】，則或，所以.故選：A.2．已知，則“”是“”的（    ）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，進(jìn)而根據(jù)充分、必要條件分析判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，則等價(jià)于，又因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則等價(jià)于，即等價(jià)于，故“”是“”的充要條件.故選：C.3．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以為減函數(shù)．又由函數(shù)在上為減函數(shù)，可得函數(shù)在上大于零，且，故有，解得．故選：A．4．保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財(cái)富，也是經(jīng)濟(jì)財(cái)富，關(guān)系社會(huì)發(fā)展的潛力和后勁．某工廠(chǎng)將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，已知過(guò)濾過(guò)程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過(guò)濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，為原污染物數(shù)量．該工廠(chǎng)某次過(guò)濾廢氣時(shí)，若前9個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過(guò)濾掉80%，那么再繼續(xù)過(guò)濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（    ）參考數(shù)據(jù)：．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過(guò)濾時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍?/span>9個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過(guò)濾掉，所以，即所以．再繼續(xù)過(guò)濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為．故選：C.5．已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（    ）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】化簡(jiǎn)已知式可得，因?yàn)?/span>，由基本不等式求解即可.【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等.故選：C.6．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.故選：A. 7．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由極值點(diǎn)定義確定的關(guān)系，化簡(jiǎn)，由此求的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，又函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，導(dǎo)函數(shù)為，所以方程由兩個(gè)不同的正根，且為其根，所以，，，所以，則，又，即，可得，所以或（舍去），故選：C.8．已知函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，可得函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，且，所以，即.故選：D. 二、多選題9．下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是（    ）A．若，則B．命題的否定是：C．若且，則D．若，則實(shí)數(shù)【答案】AB【分析】對(duì)A，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)即可；對(duì)B，根據(jù)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題判斷即可；對(duì)C，利用作差法判斷即可；對(duì)D，舉反例判斷即可.【詳解】對(duì)A，，則，又，則，，故A正確；對(duì)B，命題的否定是：，故B正確；對(duì)C，，因?yàn)?/span>且，故，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)，時(shí)，不成立，故D錯(cuò)誤；故選：AB10．已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（    ）A．事件發(fā)生的概率為B．事件發(fā)生的概率為C．事件發(fā)生的概率為D．從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為【答案】BC【分析】根據(jù)題意，分別列舉出事件和事件所包含的基本事件，再逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共包含個(gè)基本事件；“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共個(gè)基本事件；即事件是事件的子事件；因此事件發(fā)生的概率為，故A錯(cuò)；事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為；故B正確；事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為，故C正確；從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球，包含的基本事件為：，，，，共個(gè)基本事件，故從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為，即D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，屬于基礎(chǔ)題型.11．已知函數(shù)，令，則（    ）A．或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B．若有2個(gè)零點(diǎn)，則或C．的值域是D．若有3個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍為【答案】BCD【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合選項(xiàng)和函數(shù)的圖象，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，由函數(shù)，則的零點(diǎn)，即，即函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，要使得函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得或，所以B正確；對(duì)于C中，由函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的值域?yàn)?/span>，所以C正確；對(duì)于D中，由有3個(gè)零點(diǎn)，且，可得，由，即，所以，可得，又由，解得，所以的取值范圍為，所以D正確.故選：BCD.    12．已知函數(shù)，，則（    ）A．函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．若，則的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A：利用導(dǎo)數(shù)推出在單調(diào)遞增，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得其圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，可得B正確；對(duì)于C：根據(jù)在單調(diào)遞增，將不等式化為恒成立，右邊構(gòu)造函數(shù)求出最大值，可得C正確；對(duì)于D：根據(jù)以及指對(duì)同構(gòu)得，將化為，再求導(dǎo)可求出最大值，可得D正確.【詳解】對(duì)于A：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，故在單調(diào)遞增，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，即，又時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖：  若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得 有兩個(gè)實(shí)根，得函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，故B正確；對(duì)于C：由B得：在上恒成立，則在單調(diào)遞增，則不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，故，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，則實(shí)數(shù)的最小值為，故C正確；對(duì)于D：若，則，即，∵，∴，，，由A知，在上單調(diào)遞增，故，所以，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)，故的最大值是，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故. 三、填空題13．現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有           種.(用數(shù)字作答)【答案】【分析】依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，②選兩名男志愿者，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，則有種選派方法；②選兩名男志愿者，則有種選派方法；綜上可得一共有種選派方法；故答案為：14．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為         ．【答案】【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60. 15．已知函數(shù)，若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則的值為        ．【答案】2【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程并求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，又，消去a得：，而，解得，所以的值為2.故答案為：2 四、雙空題16．若對(duì)于恒成立.當(dāng)時(shí)，的最小值為         ；當(dāng)時(shí)，的最小值是            .【答案】     1     【分析】令得到，構(gòu)造函數(shù)，則求出，即可求出的最小值；作出的圖像，結(jié)合函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合確定的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，令，解得：，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因此，故的最小值為，的圖像如下所示：    由于，而點(diǎn)是直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，因?yàn)?，由圖象顯然虛線(xiàn)不符合題意，實(shí)線(xiàn)中直線(xiàn)與函數(shù)相切時(shí)，在軸上的截距較大，其中當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)相切且切點(diǎn)為函數(shù)與軸的交點(diǎn)時(shí)，截距最大，令，所有函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，故，即，故.故答案為：1，.【點(diǎn)睛】恒成立問(wèn)題解題思路：（1）參變量分離：（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參數(shù)分離即可解決問(wèn)題. 五、解答題17．設(shè)，其中，．（1）若，寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式第四項(xiàng)；（2）若，求出的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求第四項(xiàng)；（2）利用賦值令或求奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和.【詳解】（1）時(shí)二項(xiàng)式展開(kāi)式第四項(xiàng)為：；（2），令，，令，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，系數(shù)和，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.18．設(shè)全集，，．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求，；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；或(2) 【分析】（1）解不等式可得集合，將代入解出集合，根據(jù)集合基本運(yùn)算即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得集合是集合的真子集，根據(jù)集合間的基本關(guān)系即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）令可得，解得，所以，或當(dāng)時(shí)，，所以，或.（2）由“”是“”的充分不必要條件可得，集合是集合的真子集，又，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．19．已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程有兩個(gè)實(shí)根為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，解關(guān)于x的不等式：．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意把方程的根3,4分別代入方程，解方程組可得答案；（2）根據(jù)（1），把代入不等式化簡(jiǎn)可得，根據(jù)k與2的大小關(guān)系，可得不等式的解集.【詳解】（1）將代入，可得：，解得，則，因?yàn)?/span>，則，即符合題意，所以.（2）由（1）可得：，整理得，則，令，解得或或，且，可得或，所以不等式的解集為.20．某公司是一家專(zhuān)做產(chǎn)品A的國(guó)內(nèi)外銷(xiāo)售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品A上市銷(xiāo)售40天內(nèi)全部售完．該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)銷(xiāo)售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖一、圖二、圖三所示，其中圖一中的折線(xiàn)表示的是國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖二中的拋物線(xiàn)表示國(guó)外市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖三中的折線(xiàn)表示的是每件產(chǎn)品A的銷(xiāo)售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系（國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)相同）．    (1)如上圖所示，分別寫(xiě)出國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量、國(guó)外市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量與第一批產(chǎn)品A的上市時(shí)間t的關(guān)系式；(2)第一批產(chǎn)品A上市后，問(wèn)哪一天這家公司的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大是多少萬(wàn)元？【答案】(1)，(2)第天這家公司的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大是萬(wàn)元 【分析】（1）根據(jù)圖象結(jié)合一次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，從而可求得日銷(xiāo)售利潤(rùn)，再分類(lèi)討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有，解得，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有，解得，所以，綜上，設(shè)，則有，解得，所以；（2）設(shè)每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為，日銷(xiāo)售利潤(rùn)為，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，綜上，所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，，所以第天這家公司的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大是萬(wàn)元.21．網(wǎng)上購(gòu)物就是通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過(guò)電子訂購(gòu)單發(fā)出購(gòu)物請(qǐng)求，廠(chǎng)商通過(guò)郵購(gòu)的方式發(fā)貨或通過(guò)快遞公司送貨上門(mén)，貨到后通過(guò)銀行轉(zhuǎn)賬?微信或支付寶支付等方式在線(xiàn)匯款，根據(jù)年中國(guó)消費(fèi)者信息研究，超過(guò)的消費(fèi)者更加頻繁地使用網(wǎng)上購(gòu)物，使得網(wǎng)上購(gòu)物和送貨上門(mén)的需求量激增，越來(lái)越多的消費(fèi)者也首次通過(guò)第三方?品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺(tái)進(jìn)行購(gòu)物，某天貓專(zhuān)營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了年月日至日這天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)和時(shí)間第天間的數(shù)據(jù)，列表如下：（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線(xiàn)性回歸模型擬合人數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系？若可用，估計(jì)月日到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若，則線(xiàn)性相關(guān)程度很高，可用線(xiàn)性回歸模型擬合，計(jì)算時(shí)精確到).參考數(shù)據(jù)：.附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線(xiàn)方程的斜率，截距.（2）運(yùn)用分層抽樣的方法從第天和第天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人中隨機(jī)抽取人，再?gòu)倪@人中任取人進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，求這人取自不同天的概率.（3）該專(zhuān)營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷(xiāo)方案：方案一，購(gòu)物金額每滿(mǎn)元可減元；方案二，一次性購(gòu)物金額超過(guò)元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打折，中獎(jiǎng)兩次打折，中獎(jiǎng)三次打折.某顧客計(jì)劃在此專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)買(mǎi)元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.【答案】（1）可用線(xiàn)性回歸模型擬合人數(shù)與天數(shù)之間的關(guān)系，月日到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)約為；（2）；（3）選擇方案二更劃算.【分析】（1）利用題中所給數(shù)據(jù)和公式，求出相關(guān)系數(shù)的值，由此判斷變量與具有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性，再求出和，得線(xiàn)性回歸方程，令代入即可求解；（2）先利用分層抽樣得到第1天和第5天取的人數(shù)分別為3人和4人，然后由古典概型概率計(jì)算公式即可求解；（3）分別求出方案一和方案二所需付款數(shù)，比較即可求解.【詳解】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，，，，所以，所以可用線(xiàn)性回歸模型擬合人數(shù)與天數(shù)之間的關(guān)系.而，則，所以，令，可得.答：月日到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)約為.（2）因?yàn)?/span>，所以從第天和第天取的人數(shù)分別為和，從而人取自不同天的種數(shù)為，所以概率.答：這人取自不同天的概率為.（3）若選方案一，需付款元.若選方案二，設(shè)需付款元，則的取值可能為，，，，則，，，，所以，因此選擇方案二更劃算.22．已知函數(shù)（1）若在處有極值，求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）由題可得，再分析處是否為極值即可；（2）求導(dǎo)可得，再分與討論單調(diào)區(qū)間即可；（3）由（2）可得，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得，求得，再分別證明與即可【詳解】解：（1）函數(shù)在處有極值，又因?yàn)?/span>，解得 當(dāng)列出表格如下：10單調(diào)遞增極大值1單調(diào)遞減所以，在處有極大值. （2）     當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)，令，得時(shí)，在為單調(diào)增函數(shù)時(shí)，在單調(diào)減函數(shù)綜上：當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為 （3）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（2）知，增區(qū)間為，減區(qū)間為 解得： 因?yàn)?/span>， 所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)由得下證令在即，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)綜上：時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn) 

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