2024屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三上學(xué)期7月新起點摸底考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補集與交集的運算，可得答案.【詳解】由題意，，.故選：C.2．已知雙曲線的離心率為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的離心率公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，故該雙曲線的離心率為，解得.故選：A.3．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式將目標(biāo)式化為含的表達式，即可求值.【詳解】由.故選：D4．“”是“方程有正實數(shù)根”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)零點的幾何意義，將方程有正根問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由方程有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)有正零點，由二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負的兩個零點，則，解得，故選：B.5．已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（    ）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球與圓錐的表面積計算公式，建立方程，可得答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，球的半徑為，則，即，，球的表面積，圓錐的表面積，則.故選：B.6．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（    ）A．80 B．160 C．121 D．242【答案】D【分析】由，得（），兩式相減可求了公比，再將代入中化簡可求出，從而可求出.【詳解】由，得（），所以，得，所以等比數(shù)列的公比為，所以由，得，所以，解得，所以，故選：D7．2023年武漢馬拉松于4月16日舉行，組委會決定派小王、小李等6名志愿者到甲乙兩個路口做引導(dǎo)員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導(dǎo)員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數(shù)為（    ）A．40 B．28 C．20 D．14【答案】B【分析】根據(jù)題意，先分配特殊的兩個人，再將剩余4個人分到兩個路口，按照分組分配相關(guān)知識進行計算即可.【詳解】若小王在1號路口，小李在2號路口，則剩余4個人分到兩個路口，兩個路口為人分布，共有種方案，兩個路口為人分布，共有種方案，此時共有種方案；同理若小王在2號路口，小李在1號路口，也共有種方案.所以一共有28種不同的安排方案種數(shù).故選：B8．已知，均為銳角，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知條件可得，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可得在上為增函數(shù)，從而可得，再由正余弦函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論【詳解】因為，所以，可得，令，，，所以在上為增函數(shù)，∴，∵，均為銳角，∴， ∴，，故A正確C錯誤；因為無法確定的大小，故BD錯誤；故選：A. 二、多選題9．武漢市某七天每天的最高氣溫分別是38，36，35，37，39，37，35（單位℃），則（    ）A．該組數(shù)據(jù)的極差為4 B．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為37C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為37 D．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為38【答案】ACD【分析】根據(jù)極差、眾數(shù)、中位數(shù)和百分位數(shù)的定義求解.【詳解】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：35，35，36，37，37，38，39， 極差為，A選項正確；眾數(shù)為35和37，B選項錯誤；中位數(shù)是第4個數(shù)據(jù)37，C選項正確；，該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第6個數(shù)據(jù)38，D選項正確.故選：ACD10．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（    ）A．若，則是的整數(shù)倍B．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，再向左平移單位得到C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】CD【分析】利用誘導(dǎo)公式可判斷A選項；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則或，可得或，A錯；對于B選項，因為，所以，函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，再向左平移個單位得到，B錯；對于C選項，因為，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，C對；對于D選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對.故選：CD.11．已知直線與圓，下列說法正確的是（    ）A．所有圓均不經(jīng)過點B．若圓關(guān)于直線對稱，則C．若直線與圓相交于、，且，則D．不存在圓與軸、軸均相切【答案】ABD【分析】A假設(shè)存在圓經(jīng)過點，將代入圓的方程判斷是否有解；B由在直線上，代入即可判斷；C幾何法先求到直線的距離，結(jié)合點線距離列方程求；D根據(jù)題設(shè)，假設(shè)存在圓與數(shù)軸相切，判斷是否有解.【詳解】A：將代入，則，所以，此時，所以不存在值，使圓經(jīng)過點，對；B：若圓關(guān)于直線對稱，則在直線上，所以，則，對；C：由題意，到直線的距離，所以，則，可得或，錯；D：若圓與軸、軸均相切，則，顯然無解，即不存在這樣的圓，對；故選：ABD12．已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令，得到，推得為偶函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對稱，再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，則，可得，可得，所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又由，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即時，單調(diào)遞減，由不等式，可得，即所以不等式恒成立，即恒成立，所以的解集為，所以且，解得，結(jié)合選項，可得BC適合.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)，從而得到，證明其為偶函數(shù)，則得到的圖象關(guān)于對稱，再結(jié)合其單調(diào)性即可得到不等式組，解出即可. 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則        ．【答案】3【分析】通過方程解出，再求出即可求解.【詳解】因為，由求根公式可得，，所以.故答案為：314．已知向量，滿足，，，則與的夾角為        ．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律求出，再利用向量夾角公式計算作答.【詳解】向量，滿足，，由，得，因此，而，則，所以與的夾角為.故答案為：15．已知四棱錐的底面為平行四邊形，點，分別是、的中點，過，，三點的平面與棱的交點為，若，則        ．【答案】2【分析】延長和交于點，根據(jù)，得到，連接交于點，得到過點的截面，取的中點，連接，根據(jù)，求得，進而得到，即可求解.【詳解】如圖所示，延長和交于點，由，且為的中點，所以，即，連接交于點，連接，則過點的截面即為截面，取的中點，連接，因為為的中點，所以，且，所以，可得，即，所以，因為，所以.故答案為：.    16．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則        ．【答案】8【分析】先設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達出，，再由正弦定理得到，得到，代入兩根之和，兩根之積，列出方程，求出，進而求出，.【詳解】由題意得，，當(dāng)直線的斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立，可得，易得，設(shè)，則，則，則，，由正弦定理得，，因為，，所以，，即，又由焦半徑公式可知，則，即，即，解得，則，解得，故，當(dāng)時，同理可得到.  故答案為：8【點睛】方法點睛：解三角形中，當(dāng)條件中有角平分線時，可利用正弦定理得到角平分線的性質(zhì)，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的比例關(guān)系，再進行求解. 四、解答題17．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求的大??；(2)當(dāng)，時，求的面積．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系、和角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，即可得大?。?/span>（2）由余弦定理列方程求，再應(yīng)用三角形面積公式求的面積．【詳解】（1）由得：，∴，，∴．又，則．（2）由余弦定理得：，整理得：．解得，檢驗均滿足構(gòu)成三角形．∴或．18．已知圖1是由等腰直角三角形和菱形組成的一個平面圖形，其中菱形邊長為4，，．將三角形沿折起，使得平面平面（如圖2）．  (1)求證：；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取的中點，連接，，則，再結(jié)合已知面面垂直可得平面，則，而，再由線面垂直的判定可得面，從而可證得，（2）以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，．∵，∴．又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴．∵在菱形中，， ∴為等邊三角形，∵的中點為，∴，∵∥，∴∵，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）由（1）平面，∵平面，∴，∵，∴如圖,以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，不妨設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)二面角的大小為，由圖可知為鈍角，∴，∴．∴二面角的正弦值為．  19．已知是數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用與的關(guān)系，結(jié)合累乘法即可求出數(shù)列的通項公式；（2）分和利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時，，所以時，，又時，，得，也滿足上式．故．（2）由（1）可知：．記，設(shè)數(shù)列的前項和．當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上：20．已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，明確其定義域并求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程，將其等價于新函數(shù)求零點問題，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理，可得答案.【詳解】（1）的定義域是，，當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則，顯然成立，解得：，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．（2），則，設(shè)切點坐標(biāo)為．由直線與函數(shù)的圖象相切，則，解得：．顯然直線過原點，則，所以．整理得，即：，得：．設(shè)，．當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增．又，．所以存在，使得．存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．21．“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動．(1)若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利，假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，，且，如果甲、乙兩位同學(xué)想在此次答題活動中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競賽？【答案】(1)分布列見解析，(2)11輪 【分析】（1）根據(jù)超幾何分布列分布列計算數(shù)學(xué)期望即可；（2）先求每輪答題中取得勝利的概率的最大值，再應(yīng)用獨立重復(fù)實驗數(shù)學(xué)期望的范圍求出最少輪數(shù).【詳解】（1）由題意可知的可能取值有0、1、2、3，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：0123所以．（2）他們在每輪答題中取得勝利的概率為，由，，，得，則，因此，令，，于是當(dāng)時，．要使答題輪數(shù)取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值．設(shè)他們小組在輪答題中取得勝利的次數(shù)為，則，，由，即，解得．而，則，所以理論上至少要進行11輪答題．22．已知為坐標(biāo)原點，橢圓的離心率為，橢圓的上頂點到右頂點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左、右頂點分別為、，過點作直線與橢圓交于、兩點，且、位于第一象限，在線段上，直線與直線相交于點，連接、，直線、的斜率分別記為、，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）不妨設(shè)、，設(shè)直線的方程為，可得，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，設(shè)，根據(jù)點在直線上，得出，然后利用斜率公式以及韋達定理可求出的值.【詳解】（1）解：由題意知，，橢圓的上頂點到右頂點的距離為，即，解得，，，因此，橢圓的方程為．（2）解：如下圖所示：不妨設(shè)、，由圖可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因為點，則，則，聯(lián)立可得，，可得，即，解得，由韋達定理可得，解得，所以，，易知、，由于在直線上，設(shè)，又由于在直線上，則，所以，，.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 

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