分宜縣中學(xué)2023屆高三下學(xué)期4月第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題 一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．已知集合，集合，則（       ）A． B．C． D．2．設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若，則的虛部為（    ）A． B． C． D．3．等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別是a－1，a＋1，2a＋3，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（    ）A．an＝2n－1 B．an＝2n－3C．an＝a＋2n－3 D．an＝a＋2n－14．函數(shù)的部分圖像大致是（    ）A． B．C． D．5．從分別寫(xiě)有1，3，5，7，9的五張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第二張卡片上的數(shù)字小于第一張卡片上的數(shù)字的概率為（    ）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式組,則z＝2x＋y的最大值為(　　)A．7 B．3 C．2 D．－18．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則（    ）X01Pab A．9 B．7 C．5 D．39．五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽.如果把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)5個(gè)音階的音序，從所有的這些音序中隨機(jī)抽出一個(gè)音序，則這個(gè)音序中宮、羽不相鄰的概率為（    ）A． B． C． D．10．已知函數(shù)相鄰兩零點(diǎn)之間的距離為1，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．11．如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…．設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（    ）．A． B．C． D．12．已知函數(shù)y=f（x），若給定非零實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈M，總存在非零常數(shù)T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）是M上的a級(jí)T類(lèi)周期函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）是[0，+∞）上的2級(jí)2類(lèi)周期函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=，又函數(shù)g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。)13．對(duì)實(shí)數(shù)定義新運(yùn)算“*”如下：，如，，若的兩根為，則________．14．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第二項(xiàng)的系數(shù)為_______.15．已知，，P是圓O：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_________.16．已知橢圓，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，則______________.三、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程。)17．已知函數(shù)滿(mǎn)足，且的最小值為．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．18．某市舉辦徒步（健步）示范隊(duì)評(píng)選活動(dòng)，其宗旨是，激發(fā)大眾健身熱氣，展現(xiàn)徒步（健步）隊(duì)伍風(fēng)采.某小區(qū)計(jì)劃按年齡組隊(duì)，現(xiàn)從參與活動(dòng)的居民中隨機(jī)抽取人，將他們的年齡分為段：得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試求這人年齡的平均數(shù)和分位數(shù)的估計(jì)值（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）已知該小區(qū)年齡在內(nèi)的總?cè)藬?shù)為，試估計(jì)該小區(qū)年齡不超過(guò)歲的成年人（周歲以上（含周歲）為成年人）的人數(shù).19．如圖，在矩形ABCD中，，E為邊CD上的點(diǎn)，，以BE為折痕把折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且使二面角為直二面角，三棱錐的體積為．(1)求證：平面平面PAE；(2)求二面角的余弦值．20．已知點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，作軸，垂足為，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，求證：為定值.21．已知函數(shù).（1）時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值. 請(qǐng)從下面所給的 22、23 兩題中選定一題作答，并用2B 鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分.22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程是，曲線的極坐標(biāo)方程是，與的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)異于點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，求． 23．選修4-5： 不等式選講設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
1．A2．A3．B4．C5．C6．A7．A8．C9．C10．B11．C12．B13．14．－515．16．17．（1）；（2）.【分析】（1）化簡(jiǎn)，再利用條件求得的值，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出，再進(jìn)行配角得，利用兩角差的正弦公式，即可得答案；【詳解】（1）因?yàn)?/span>，且的最小值為，所以，因此由得即遞增區(qū)間為（2），.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、已知三角函數(shù)值求值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意角的配湊.18．（1）平均數(shù)約為，分位數(shù)約為；（2）1840.【分析】（1）以每個(gè)小長(zhǎng)方形的中點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)的面積即頻率為平均數(shù)，再利用分位數(shù)的定義計(jì)算即可得解；（2）以頻率當(dāng)作概率的近似值，利用頻數(shù)等于總數(shù)乘以頻率即可得解.【詳解】（1）平均數(shù)年齡在歲以下的居民所占比例為，年齡在歲以下的居民所占比例為，因此分位數(shù)一定位于內(nèi)，所以故可估計(jì)，這人的年齡的平均數(shù)約為分位數(shù)約為.（2）樣品中，年齡在歲以上的居民所占頻率為.故可估計(jì)，該小區(qū)年齡不超過(guò)歲的成年人人數(shù)約為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)和中位數(shù)，做題時(shí)要認(rèn)真審題，準(zhǔn)確把握題意，屬于一般題.19．(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取BE中點(diǎn)，則，由三棱錐的體積得，可得，由平面ABCD得，故平面PBE，得，又，可得平面，進(jìn)而得證；（2）以D為原點(diǎn)，為x，y軸正向，過(guò)作軸垂直于平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夾角公式求解即可．【詳解】（1）設(shè)，由題意為等腰直角三角形，折疊后為等腰直角三角形，取BE中點(diǎn)，連接PF，則，由于二面角為直二面角，故平面ABCD，且，則，得，即．則，故，又平面ABCD，故，又PF與BE相交，故平面PBE，故，又，且PE與AE相交，故平面，又面PAB，故平面平面.（2）以D為原點(diǎn)，為x，y軸正向，過(guò)作軸垂直于平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面BPA的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面DPA的法向量為，則，取，可得，則，由于二面角為鈍角，故其余弦值為．20．（1）（2）見(jiàn)解析【詳解】分析：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，利用題中的條件，求得向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到，代入圓的方程求得結(jié)果；(2)設(shè)出直線的方程，與第一問(wèn)中所求的橢圓方程聯(lián)立，消元，利用其有兩個(gè)交點(diǎn)以及韋達(dá)定理，得到相應(yīng)的不等式和方程，化簡(jiǎn)代入，求出定值，證得結(jié)果.詳解：（1）設(shè)，，易知，，，∵，即，∴，，即，，又在上，∴，∴，即，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消并整理得：，∴，∵，，，∴ ，∴為定值.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，直線與橢圓相交的問(wèn)題，兩點(diǎn)斜率坐標(biāo)公式，韋達(dá)定理等，在解題的過(guò)程中，需要細(xì)心運(yùn)算，思路清晰.21．（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求得，分別解不等式、可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和遞增區(qū)間；（2）分析可知不等式在時(shí)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在時(shí)的最小值，即可得出整數(shù)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.由，可得；由，可得.所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），可得，因?yàn)?/span>，可得，所以，不等式在時(shí)恒成立，令，其中，所以，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以，存在使得.且當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)地增，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，因此，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.22．（1）； （2）3.【解析】（1）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程，先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，再將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)即可.（2）根據(jù)曲線、曲線與曲線C的極坐標(biāo)方程，可分別求得曲線與曲線的極徑，結(jié)合極坐標(biāo)的幾何意義即可求得.【詳解】1曲線C的參數(shù)方程是為參數(shù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為．2曲線的極坐標(biāo)方程是，曲線的極坐標(biāo)方程是，與C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)M異于點(diǎn)，則，解得，與的交點(diǎn)為N，則解得，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.23．（1）4（2）【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求得最小值；（2）將不等式恒成立中求解參數(shù)的范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，其中求解函數(shù)最值時(shí)可結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得以實(shí)現(xiàn).（1）時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為4．（2）恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，．綜上，的取值范圍是．
 

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