2023屆福建省福州市第四中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合后可求.【詳解】由題可知：，所以．故選：B．2．記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理角化邊可直接化簡得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：.故選：C.3．已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線與已知直線垂直，可以得到切線的斜率，與求導(dǎo)的斜率相等，即可求出參數(shù)的值【詳解】．當(dāng)時，,因為切線與直線垂直，直線斜率為，所以切線斜率為，即，得：故選：A4．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且首項，公比，則數(shù)列的前8項的和為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的前8項的和.【詳解】由已知可得數(shù)列為等比數(shù)列，且首項，公比，則數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的前8項的和為：.故選：B.5．若是第三象限角，且，則等于（　?。?/span>A． B．－ C． D．5【答案】A【分析】先求得的值，然后求得的值，進而求得的值.【詳解】依題意，即，由于是第三象限角，所以，所以.故選：A6．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關(guān)于原點O對稱，若，，則橢圓C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義及所給條件可得出，再由勾股定理可得，據(jù)此可求出離心率得解.【詳解】依題意作圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得．故選：C．7．在棱長為1的正方體中，八個頂點按紅藍間隔染色，使得每條棱上的兩個頂點各不同色，則由紅色頂點連成的四面體與藍色頂點連成的四面體的公共部分的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出幾何體，找到多面體，根據(jù)棱錐體積計算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：多面體即為四面體與四面體的公共部分，其中均為各個面的中心，且平面//面，面，故，又四邊形的面積與其投影在底面所得四邊形的面積相等，如下所示：故四邊形的面積，又點到平面的距離為，故.故選：C.8．已知函數(shù)，則、、的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得出，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、的大小，并比較與的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】因為，對任意的，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，當(dāng)時，，因為二次函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，函數(shù)、在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，令，其中，則，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，即，所以，，所以，，又因為，即，所以，.故選：A. 二、多選題9．已知函數(shù)，若，為的兩個不同的極值點，則實數(shù)a的取值可能是（    ）．A． B． C．3 D．4【答案】AD【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點數(shù)確定參數(shù)a.【詳解】 ，因為有兩個不同的極值點，所以，解得或；故選：AD.10．為迎接黨的二十大勝利召開，某中學(xué)舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進行了統(tǒng)計，把得分數(shù)據(jù)按照?分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（    ）A．B．得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200C．該校學(xué)生黨史知識競賽成績的中位數(shù)大于80D．估計該校學(xué)生黨史知識競賽成績的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)【答案】ABD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)直接計算即可.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故正確；對于B，由頻率分布直方圖得：成績落在區(qū)間的頻率為，所以人數(shù)為，故B正確；對于，由頻率分布直方圖得：的頻率為的頻率為，所以成績的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故錯誤；對于D，估計成績的平均數(shù)為：，所以成績的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：ABD.11．在平面直角坐標系中，三點，，，動點滿足，則（    ）A．點的軌跡方程為 B．面積最大時C．最大時， D．到直線距離最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)可求得點軌跡方程為，A正確；根據(jù)直線過圓心可知點到直線的距離最大值為，由此可確定面積最大時，由此可確定B正確；當(dāng)最大時，為圓的切線，利用切線長的求法可知C錯誤；求得方程后，利用圓上點到直線距離最值的求解方法可確定D正確.【詳解】設(shè)，由得：，即，化簡可得：，即點軌跡方程為，A正確；直線過圓的圓心，點到直線的距離的最大值為圓的半徑，即為，，面積最大為，此時，，B正確；當(dāng)最大時，則為圓的切線，，C錯誤；直線的方程為，則圓心到直線的距離為，點到直線距離最小值為，D正確.故選：ABD.12．已知拋物線，直線l與拋物線C交于A，B兩點，且，O為坐標原點，且，若直線l恒過點，則下列說法正確的是（    ）A．拋物線方程為B．C．的面積的最小值為32D．弦中點的軌跡為一條拋物線【答案】ABD【分析】A選項：設(shè)直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到，，再結(jié)合列方程，解得即可得到拋物線的方程；B選項：利用拋物線方程和韋達定理即可得到，；C選項：求出的面積，利用韋達定理整理即可得到最小值；D選項：利用韋達定理得到中點的坐標，再通過消參的思路即可得到軌跡方程.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立得，所以，，因為，則，利用代入，解得，所以拋物線方程為，且，故A，B正確；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故C錯誤；設(shè)的中點為M，則，所以．即，所以M點的軌跡為一條拋物線，故D正確，綜上ABD正確．故選：ABD. 三、填空題13．已知直線l的一個方向向量，且經(jīng)過點，則直線l的方程為___________【答案】【分析】由直線的方向向量求出直線的斜率，再用點斜式求出直線方程即可；【詳解】解：因為直線l的一個方向向量，所以直線的斜率為所以直線方程為整理得故答案為：14．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則__________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再求模即可得解.【詳解】∵，∴，即，∴．故答案為：．15．甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測，到達檢測點后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測的隊伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊方案共有______種.【答案】24【分析】對該問題進行分類，分成以下情況①3人到隊伍檢測，②2人到隊伍檢測，③1人到隊伍檢測，④0人到隊伍檢測；然后，逐個計算后再相加即可求解；注意計算時要考慮排隊時的順序問題.【詳解】先進行分類：①3人到隊伍檢測，考慮三人在隊的排隊順序，此時有種方案；②2人到隊伍檢測，同樣要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；③1人到隊伍檢測，要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；④0人到隊伍檢測，要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；所以，甲、乙、丙三人不同的排隊方案共有24種.故答案為：2416．若指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】根據(jù)題意可得：由兩個函數(shù)（且）與圖像的交點轉(zhuǎn)化為方程的解，再由方程轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)與圖像的交點，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性及最大值，從而可得到的取值范圍即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得：指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個不同的交點，等價于方程有兩個不同的解，對方程兩邊同時取對數(shù)得：，即，，，從而可轉(zhuǎn)化為：與在圖像上有兩個不同的交點，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取到極大值，也是最大值，最大值為，又因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，解得故答案為：【點睛】本題考查了函數(shù)與方程以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，考查了學(xué)生的計算能力，屬于一般題. 四、解答題17．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變?橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，求在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程為，(2) 【分析】（1）利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡可得，再根據(jù)周期的公式與余弦函數(shù)的對稱軸公式求解即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.【詳解】（1），，所以函數(shù)的最小正周期為，令，，得函數(shù)的對稱軸方程為，（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后所得圖象的解析式為，所以，令，所以.又，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.18．進入高三時需要檢測考試，并且命題是以高二每次月考成績?yōu)閰⒄找罁?jù)，在整個高二期間共有8次月考，某學(xué)生在高二前5次月考的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤恚?/span>高二月考第x次12345月考考試成績y分85100100105110 (1)已知該學(xué)生的月考試成績 y 與月考的次數(shù) x 滿足回歸直線方程，若進入高三時檢測考試看作高二第9次月考考試，試估計該學(xué)生的進入高三時檢測考試成績：(2)把該學(xué)生前5次月考的考試成績寫在紙片上，折成紙團放在不透明的箱中充分混合，從紙箱中隨機抽出3個紙團上寫的月考成績進行研究，設(shè)抽取的紙團上寫的成績等于平均值的個數(shù)為，求出的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，，【答案】(1)該學(xué)生的進入高三時檢測考試成績?yōu)?/span>133分；(2)分布列見解析，. 【分析】（1）根據(jù)最小二乘法可得線性回歸直線，根據(jù)方程進而預(yù)測即得；（2）由題可知可取0,1,2，根據(jù)古典概型概率公式計算概率，可得分布列，然后利用期望公式即得.【詳解】（1）由題可得，，，，∴，，所以，當(dāng)時，，即該學(xué)生的進入高三時檢測考試成績?yōu)?/span>133分；（2）由題可知可取0,1,2，則，，，所以的分布列為：012 ∴.19．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，若，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求滿足條件的正整數(shù)n的最大值．【答案】(1)(2)505 【分析】（1）由題知，進而解方程得，再根據(jù)通項公式求解即可；（2）結(jié)合（1）得，進而得，再解不等式即可得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差，∵，且，，成等比數(shù)列，∴，即，解得，∴數(shù)列的通項公式；（2）解：由（1）得，，則，∴， ∵，∴，解得，∴正整數(shù)n的最大值為．20．如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形，，，，，四邊形為矩形．(1)求證：平面平面ABCD；(2)線段MN上是否存在點H，使得二面角的余弦值為？若不存在，請說明理由．若存在，確定點H的位置．【答案】(1)證明見解析(2)存在，為線段上靠近的四等分點 【分析】（1）根據(jù)平面幾何知識，結(jié)合勾股定理得，再根據(jù)證明平面即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意，以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形為直角梯形，，，，，∴由平面幾何的知識得，，又，∴在中，滿足，∴為直角三角形，且．∵四邊形為矩形，∴．∵，，，平面，平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面； （2）解：存在點，使得二面角的余弦值為，點為線段上靠近的四等分點．以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖2，∴，設(shè)，由，即，得．設(shè)平面的一個法向量為，∴，即，不妨設(shè)，則． 平面的一個法向量為． 設(shè)二面角的平面角大小為，∴，解得或（舍去）所以當(dāng)點為線段上靠近的四等分點時，二面角的余弦值為．21．已知雙曲線的離心率是，點是雙曲線的一個焦點，且點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標準方程.(2)設(shè)點在直線上，過點作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線交于兩點.若直線與直線的傾斜角互補，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由題知，進而解方程即可得答案；（2）由題設(shè)，直線，進而與雙曲線聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理得，直線的斜率為，同理可得，進而根據(jù)可得，進而可證明結(jié)論.【詳解】（1）解：根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，其漸近線方程為，因為焦點到雙曲線的一條漸近線的距離是2. 所以，因為雙曲線的離心率是，所以，，解得所以，雙曲線的標準方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)，直線.聯(lián)立整理得，所以，.故.設(shè)直線的斜率為，同理可得.因為直線與直線的傾斜角互補，所以，所以，則，即，所以.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和;單調(diào)遞減區(qū)間為(2) 【分析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解不等式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2) 令，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值可求的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，其定義域為，，令，得或;令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和;單調(diào)遞減區(qū)間為（2），令，由已知當(dāng)時，恒成立.①若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，因為，所以所以恒成立，所以符合題意.②若，由，得或;由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和的單調(diào)遞減區(qū)間為.（i） 當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對，要使恒成立，只需而成立，所以符合題意;（ii） 當(dāng)，即時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以對，要使恒成立，只需即可，而成立， 所以符合題意;（iii） 當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以對，要使恒成立恒成立，只需，可見，或符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是 

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