2024屆湖北省武漢第六中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解對(duì)數(shù)不等式求出集合，最后根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，由，即，所以，解得，所以，所以.故選：D2．平面向量，，，則與的夾角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出與的夾角為，利用向量垂直得到方程，得到，求出夾角.【詳解】設(shè)與的夾角為，則，即，解得，因?yàn)?/span>，所以.故選：D3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的除法計(jì)算.【詳解】由，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，，于是.故選：B4．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由題意可得需滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，由此列出不等式，求得答案.【詳解】令，則，由題意可得需滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，而的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，故且，即，故選：C5．已知點(diǎn)F是雙曲線（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合題意可得為等腰三角形，由此可得，進(jìn)而得到關(guān)于的齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題意可知即為等腰三角形，  故是銳角三角形，只需，將代入可得，故在中，，，則，化簡(jiǎn)整理，得，∴，∴，又，∴，故選：B.6．已知是圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解的中點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)向量的運(yùn)算可得，再結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，由圓的弦長(zhǎng)公式，可得，即，解得，設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡表示以為圓心，以為半徑的圓，的軌跡方程為，因?yàn)?/span>，又，，即,即的取值范圍為 .故選：C  7．已知等比數(shù)列的公比為q，則“是“，，成等差數(shù)列”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>為等比數(shù)列，則，若，則，，為常數(shù)數(shù)列，且為等差數(shù)列，所以充分性滿足；若，，成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，化簡(jiǎn)可得，，且，則，解得或，所以必要性不滿足；所以“是“，，成等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A8．已知、是方程的兩個(gè)根，且，則等于（    ）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用韋達(dá)定理、和角的正切求解作答.【詳解】方程中，，則，于是，顯然，又，則有，，所以.故選：B 二、多選題9．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則下列四個(gè)命題中正確的是（    ）A．B．直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C．函數(shù)在區(qū)間上存在3個(gè)零點(diǎn)D．若在區(qū)間上的根為，則【答案】AB【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義可得周期，故A正確；由，，推出，可得B正確；若當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，可推出無(wú)零點(diǎn)，可得C錯(cuò)誤；根據(jù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，推出，可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以周期，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，又，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，若當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，則根據(jù)周期性和對(duì)稱(chēng)性可推出無(wú)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且的周期，又在區(qū)間上的根為，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．下列命題中，正確的命題是（    ）A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，的第百分位數(shù)為B．若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，則變量與負(fù)相關(guān)C．對(duì)于隨機(jī)事件，，若，，，則與相互獨(dú)立D．某小組調(diào)查名男生和名女生的成績(jī)，其中男生成績(jī)的平均數(shù)為，方差為；女生成績(jī)的平均數(shù)為，方差為，則該人成績(jī)的方差為【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由百分位的計(jì)算公式即可判斷A錯(cuò)誤；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程的意義分析可得B正確；由條件概率公式和相互獨(dú)立事件的定義可得C正確；由方差計(jì)算公式即可得出D正確．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，由于，則數(shù)據(jù)，，，，，的第百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，則變量與負(fù)相關(guān)，故B正確；對(duì)于C，若，則有，變形可得，則與相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，人的成績(jī)平均數(shù)，則人的方差，故D正確；故選：BCD．11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，對(duì)任意的，恒有，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A． B．必為奇函數(shù)C． D．若，則【答案】BCD【分析】賦值法求的值，判斷A；賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；賦值法結(jié)合換元法判斷C；利用賦值法求得的值有周期性，即可求得的值，判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，則由可得，故或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令，則，則，故，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，則，所以，則，即，則為奇函數(shù)，綜合以上可知必為奇函數(shù)，B正確；對(duì)于C，令 ，則，故.由于,令,即，即有，故C正確；對(duì)于D，若，令 ，則，則 ，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即， 由此可得的值有周期性，且6個(gè)為一周期，且 ，故，故D正確，故選：BCD.12．棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論成立的有（    ）A．過(guò)的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形B．的最小值為C．當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的半徑為D．兩點(diǎn)間的最短距離為【答案】ABD【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可判斷A；將兩半平面折成一個(gè)平面，從而求得線段和的最小值，判斷B；確定三棱錐的外接球的球心位置，列式求解，可判斷C；求解異面直線的公垂線段的長(zhǎng)可判斷D.【詳解】在正方體中，平面平面，      設(shè)過(guò)的截面截正方體所得的截面為，M為截面與的交點(diǎn)，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，所以，又，故，即∽，而，則，又點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），，即過(guò)的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形，A正確；根據(jù)正方體性質(zhì)可知≌，  故可將沿轉(zhuǎn)到和重合位置，則的最小值為的長(zhǎng)，而正方體棱長(zhǎng)為1，故，即的最小值為，B正確；當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為N，連接，    由于，故，連接交于G，連接，則四邊形為矩形，故，平面，故平面，又，則N為的外心，故三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)為H，而,，則，設(shè)三棱錐的外接球半徑為r，則，解得，C錯(cuò)誤；當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，由C的分析可知Q位于N點(diǎn)位置，此時(shí)，即此時(shí)間距離最短，最短距離為，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了幾何體截面問(wèn)題、線段和最小以及外接球半徑和異面直線間的最短距離問(wèn)題，難度較大，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，特別是求外接球半徑時(shí)，要確定球心位置，再列式求解. 三、填空題13．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為          .【答案】【分析】利用項(xiàng)可由的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)?一次項(xiàng)與一次項(xiàng)?二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)相乘得到，結(jié)合組合即可得出結(jié)果.【詳解】整個(gè)式子中項(xiàng)可由的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)?一次項(xiàng)與一次項(xiàng)?二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)相乘得到，故所求為：.故答案為：.14．函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間是      ．【答案】（開(kāi)區(qū)間也對(duì)）【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再與定義域取交集可得出答案．【詳解】由，得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 再結(jié)合，可得函數(shù)在上的遞減區(qū)間為.故答案為：.15．如圖1是某校園內(nèi)的一座涼亭，已知該涼亭的正四棱臺(tái)部分的直觀圖如圖2所示，則該正四棱臺(tái)部分的體積為          .  【答案】/【分析】根據(jù)棱臺(tái)體積公式求解即可；【詳解】  由圖可知，因?yàn)?/span>故答案為：16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸下方.設(shè)，，的內(nèi)切圓的半徑分別 為，，.若橢圓C的離心率為，且，則直線l的斜率為       .【答案】【分析】依題意可得橢圓方程表示為，設(shè)直線為，，，，根據(jù)面積公式及橢圓的定義得到，再由，即可得到，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到、，代入解得.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，，則橢圓方程可以表示為，設(shè)直線為，，，，由，消去整理得，顯然，所以，，則，由，由，由，又，所以，所以，又，所以，又，，所以，所以，，所以，所以，則或（舍去），所以直線的斜率為.  故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解. 四、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別為.(1)求角；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換化簡(jiǎn)已知條件，從而求得.（2）利用三角形的面積求得，進(jìn)而求得，根據(jù)余弦定理求得，從而求得的周長(zhǎng).【詳解】（1）由得，，，由正弦定理得，，.（2）的面積為，即，得，，，，由余弦定理可得，，三角形的周長(zhǎng)為.18．如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點(diǎn).    (1)求證：平面平面；(2)若平面，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）連交于，則為的中點(diǎn)，由線面平行的判定定理證明平面，平面，再用面面平行的判定定理證明平面平面；（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量可求出結(jié)果.【詳解】（1）連交于，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>，平面，所以平面平面.    （2）因?yàn)?/span>平面，是正方形，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?/span>，則，，，，，，則，，因?yàn)?/span>，所以，得，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?/span>，，所以，令，則，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?/span>，所以，則，令，則，.所以平面與平面夾角的余弦值為.  19．已知函數(shù)在處的切線與直線：垂直．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)1 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間即可；（2）分離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求最值結(jié)合隱零點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．所以，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．設(shè)，即．，令，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在，使得，即，所以．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時(shí)，，所以，由題意知且所以，即整數(shù)的最大值為1．20．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合可求出，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，從而可求出通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，配方化簡(jiǎn)后可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可證得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又，所以，因?yàn)?/span>，所以，．當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以，，又，所以，．當(dāng)時(shí)，也符合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以，所以，所以．21．已知直線軸，垂足為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)E，點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，且，直線，垂足為A，線段AF的垂直平分線與直線交于點(diǎn)B，記點(diǎn)B的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，若的面積是，求直線的斜率.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）分析給定的條件，結(jié)合拋物線的定義求出曲線的方程，即可求解；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，結(jié)合三角形面積及向量的垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】（1）解：由線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，可得，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，又因?yàn)?/span>，的方程為，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）解：根據(jù)題意，直線的斜率不為，設(shè)直線，且，聯(lián)立方程組，可得，則，所以，所以，又點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，所以，又以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以或，又直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，此時(shí)滿足，所以，解得或，所以直線的斜率為或.  【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決拋物線問(wèn)題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問(wèn)題：拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．2、涉及直線與拋物線的綜合問(wèn)題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.22．根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有個(gè)孩子的概率模型為：1230（其中）每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為，且相互獨(dú)立，事件表示一個(gè)家庭有個(gè)孩子，事件B表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多（若一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多）.(1)若，求，并根據(jù)全概率公式求；(2)是否存在值，使得，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，(2)不存在，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）由概率之和為1列出方程，求出，計(jì)算出，然后利用全概率公式可求得結(jié)果，（2）假設(shè)存在，使，由于，兩式相乘后得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求出其最小值進(jìn)行判斷.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，解得.由題意，得.由全概率公式，得又，所以.（2）由，得.假設(shè)存在，使.將上述兩式相乘，得，化簡(jiǎn)，得.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以不存在使得.即不存在值，使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查全概率公式的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是根據(jù)概率和為1，和期望公式列方程，化簡(jiǎn)后利用導(dǎo)數(shù)解決，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題. 

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