2021屆湖南省常德市一中高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求集合，，再根據(jù)集合交集運(yùn)算即可得答案.【詳解】解：由于，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（    ）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】A【解析】化簡復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得，所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的表示方法及其幾何意義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知，則A． B． C． D．【答案】B【解析】運(yùn)用中間量比較，運(yùn)用中間量比較【詳解】則．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．4．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用誘導(dǎo)公式，求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值.【詳解】∵，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦公式求值，屬于中檔題.5．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除C和D，代入特值排除B，可得選項(xiàng)．【詳解】是偶函數(shù)，排除C和D又，排除B故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．向量，，為第三象限角，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由平面向量平行的性質(zhì)可得，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，即可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，且，所以，所以，所以，又為第三象限角，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．《張丘建算經(jīng)》有一道題大意為：今有十等人，每等一人，宮賜金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給，則每等人比下一等人多得（    ）斤？A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意將毎等人所得的黃金斤數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列，設(shè)公差為d，根據(jù)題意和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出公差d即可得到答案．【詳解】設(shè)第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此類推，第一等人得金a10斤，則數(shù)列{an}構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則每一等人比下一等人多得d斤金，由題意得,即，解得，∴每一等人比下一等人多得金．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，前n項(xiàng)和公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及方程思想，屬于容易題．8．設(shè)函數(shù)，其中 ，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)， ，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過定點(diǎn)且斜率為，故且，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題. 二、多選題9．(多選題)下列四個條件，能推出＜成立的有（    ）A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a＞0＞b D．a＞b＞0【答案】ABD【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)以及正數(shù)大于負(fù)數(shù)判斷.【詳解】因?yàn)?/span>＜等價于，當(dāng)a＞b，ab＞0時，＜成立，故B、D正確.又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，A正確，C錯誤，故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的可能取值是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列不等式求出的范圍，可得結(jié)論．【詳解】當(dāng)，，，， 時函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，時，且，求得，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查對基礎(chǔ)知識的掌握與靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．已知函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍為，則取下列哪些值時符合題意（    ）A．-2 B．4 C．6 D．10【答案】ABC【解析】先討論時，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，，進(jìn)而得，再討論時，則需滿足，故的取值范圍為，進(jìn)而得答案.【詳解】解：當(dāng)時，，，令得，所以當(dāng)時，，時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，的取值范圍為，則 當(dāng)時，，的取值范圍依然為，則需要滿足，即，綜上，的取值范圍為.所以ABC均滿足，D不滿足.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，考查分類討論思想，是中檔題.12．若二次函數(shù)的圖象和直線無交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：①方程一定沒有實(shí)數(shù)根；②若，則不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立；③若，則必存在實(shí)數(shù)，使；④函數(shù)的圖象與直線一定沒有交點(diǎn).其中，正確的是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，所以或恒成立.因?yàn)?/span>或恒成立，然后再逐一判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，所以或恒成立.因?yàn)?/span>或恒成立，所以沒有實(shí)數(shù)根，故①正確；若，則不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，故②正確；若，則不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，所以不存在實(shí)數(shù)，使，故③錯誤；由函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱，所以和直線也一定沒有交點(diǎn). 故④正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查恒成立問題，屬于中檔題.  三、填空題13．命題“對任何，”的否定是________．【答案】存在，【解析】對于“任何”，其否定為“存在”，對于后半部分，否定為“”，故答案為“存在，”.14．化簡_________.【答案】【解析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，進(jìn)行求解運(yùn)算.【詳解】原式故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時注意立方差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15．已知，且，則的值為_____【答案】.【解析】先利用正切兩角和公式求出，再利用二倍角公式求出，最后根據(jù)正切的兩角差公式計算出，最后根據(jù)角的范圍確定出的值.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>，所以.所以.因?yàn)?/span>，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)求值，關(guān)鍵是和差角公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題.16．已知，方程有四個實(shí)根，則t的范圍為_________.【答案】【解析】由條件有，分析出函數(shù)的單調(diào)性，作出圖象，根據(jù)圖形結(jié)合條件，則方程有兩個不同的實(shí)根，且，，從而由二次方程根的分布條件得出答案.【詳解】，當(dāng)時，，，易知在上是增函數(shù).當(dāng)時，，，故在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)，作其圖象如下，且，故若方程有四個實(shí)數(shù)根，則方程有兩個不同的實(shí)根，且，，又方程沒有0根.故，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了根的存在性以及根的個數(shù)的判斷，考查利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題. 四、解答題17．設(shè)集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．（1）若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時，不存在元素x使x∈A與x∈B同時成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1) m≤3;(2) {m|m＜2或m＞4}.【解析】試題分析：(1)根據(jù)B是A的子集,分別討論集合B是空集和不是空集兩類,限制端點(diǎn)的大小關(guān)系,列出不等式組,解出m的范圍;(2) 根據(jù)不存在元素x使x∈A與x∈B同時成立,分別討論集合B是空集和不是空集兩類,限制端點(diǎn)的大小關(guān)系,列出不等式組,解出m的范圍試題解析:（1）當(dāng)m＋1＞2m－1，即m＜2時，B＝?，滿足B?A．當(dāng)m＋1≤2m－1，即m≥2時，要使B?A成立，只需，即2≤m≤3．綜上，當(dāng)B?A時，m的取值范圍是{m|m≤3}．（2）∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又不存在元素x使x∈A與x∈B同時成立，∴當(dāng)B＝?，即m＋1＞2m－1，得m＜2時，符合題意；當(dāng)B≠?，即m＋1≤2m－1，得m≥2時，或，解得m＞4．綜上，所求m的取值范圍是{m|m＜2或m＞4}．18．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．（1）證明為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)見證明；(2)【解析】（1）當(dāng)時，，求得首項(xiàng)為3，由題意可得，運(yùn)用等比數(shù)列的定義即可得證；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求和．【詳解】解：（1）證明：當(dāng)時，，，可得，轉(zhuǎn)化為：，即，所以注意到，所以為首項(xiàng)為4，公比為2等比數(shù)列；（2）由（1）知：，所以，于是．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，同時考查等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點(diǎn)，求b的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)第一步根據(jù)降冪公式，化簡，第二步，對降冪后的式子，再根據(jù)輔助角公式化簡，得到，令，得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換規(guī)律，“左＋右－，上＋下－”，得到函數(shù)，令，得到的值，根據(jù)的取值集合，只需大于等于 10個點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.試題解析：（1）由題意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣），由最小正周期為π，得ω=1，所以，由，整理得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是．（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到y=2sin2x+1的圖象，所以g（x）=2sin2x+1，令g（x）=0，得或，所以在[0，π]上恰好有兩個零點(diǎn)，若y=g（x）在[0，b]上有10個零點(diǎn)，則b不小于第10個零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，即b的最小值為．【考點(diǎn)】1.三角恒等變換；2.單價函數(shù)的性質(zhì)；3.三角函數(shù)的圖像變換.【方法點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)圖像的問題，屬于基礎(chǔ)題型，重點(diǎn)說說對于（1）所考查到的三角恒等變換的問題，比較常見，所使用的公式包括，，，降冪后采用輔助角公式化簡，，其中，這樣函數(shù)就可以化簡為.20．在淘寶網(wǎng)上，某店鋪專賣當(dāng)?shù)啬撤N特產(chǎn).由以往的經(jīng)驗(yàn)表明，不考慮其他因素，該特產(chǎn)每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克，）：當(dāng)時滿足關(guān)系式， （為常數(shù)）；當(dāng)時滿足關(guān)系式.已知當(dāng)銷售價格為2元/千克時，每日可售出該特產(chǎn)700千克；當(dāng)銷售價格為3元/千克時，每日可售出該特產(chǎn)150千克（1）求的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若該特產(chǎn)的成本為1元/千克，試確定銷售價格x的值，使店鋪每日銷售該特產(chǎn)所獲利潤最大.（x精確到0.01元/千克）【答案】(1)答案見解析；(2)銷售價格元/千克時，每日利潤最大.【解析】(1)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)a,b的方程組，求解方程組可得，則每日的銷售量；(2)利用(1)中的結(jié)論求得利潤函數(shù)，然后討論可得：銷售價格元/千克時，每日利潤最大.【詳解】（1）因?yàn)?/span>x=2時，y=700；x=3時，y=150，所以解得每日的銷售量；（2）由（1）知， 當(dāng)時：    每日銷售利潤 （） 當(dāng)或時當(dāng)時，單增；當(dāng)時，單減. 是函數(shù)在上的唯一極大值點(diǎn)， ；當(dāng)時：每日銷售利潤=在有最大值，且 .            綜上，銷售價格元/千克時，每日利潤最大.21．如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn).（1）求面積的最大值；（2）若，的面積為4，為銳角，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件建立面積的關(guān)系式，利用基本不等式求最值即可；（2）結(jié)合正余弦定理即可求解.試題解析：（1）∵在中，，，是邊上一點(diǎn)，∴由余弦定理，得.∴，∴，∴面積的最大值為； （2）設(shè)，在中，∵，的面積為，為銳角，∴，∴，，由余弦定理，得，∴【考點(diǎn)】1.正余弦定理解三角形；2.不等式求最值．22．已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的x值；（2）當(dāng)時，討論方程的根的個數(shù)；（3）若，且對任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上的最大值為，相應(yīng)的x值為e；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）實(shí)數(shù)a的取值范圍不存在.【解析】（1）當(dāng)時，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和討論函數(shù)的單調(diào)性，特別注意當(dāng)時，求出函數(shù)在上的最小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和的值的符號，討論在時，方程的零點(diǎn)；（3）當(dāng)時，得出在上為增函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，由該函數(shù)為減函數(shù)，得到在恒成立，分離參數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，，所以函數(shù)在上的最大值為，相應(yīng)的x值為e.（2）由，得.若，則在上，函數(shù)在上為增函數(shù)，由知，方程的根的個數(shù)是0；若，由，得（舍）或，若，即，在上為增函數(shù)，由知，方程的根的數(shù)是0；若，即，在上為減函數(shù)，又，，所以方程在上有1個實(shí)數(shù)根；若，即，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，，.當(dāng)，即時，，方程在上的根的個數(shù)是0；當(dāng)時，方程在上的根的個數(shù)是1；當(dāng)時，，，方程在上的根的個數(shù)是2；當(dāng)時，，，方程上的根的個數(shù)是1.（3）若，由（2）知，函數(shù)在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，即為，由此說明函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，對恒成立，即對恒成立，而在上單調(diào)遞減，所以.所以滿足，且對任意的，都有成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍不存在.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)的零點(diǎn)與恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． 

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