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數(shù)列中任意一項(xiàng)均不為；
數(shù)列中必有一項(xiàng)為；
數(shù)列中一定不可能出現(xiàn)；
數(shù)列中一定不可能出現(xiàn)．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是( )A. B. C. D. 二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則 ______ ．12. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)為______ ．13. 若，則 ______ ．14. 已知函數(shù)，則的最小值是 ，若關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則整數(shù)的取值范圍是 ．15. 如圖，在正方體，中，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)給出下列四個(gè)結(jié)論：
存在點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足平面；
任意點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足平面；
任意點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足；
任意點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______ ．三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16. 本小題分
如圖，在三棱錐中，和都是等邊三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
證明：；
再?gòu)臈l件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．
；
．
17. 本小題分
如圖，平面四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，．
求的面積；
求的值及的長(zhǎng)度．
18. 本小題分
某人下午：下班，他記錄了自己連續(xù)天乘坐地鐵和連續(xù)天乘坐公交到家的時(shí)間，如下表所示： 到家時(shí)間：：：：：：：：遲于：乘地鐵天乘公交天以頻率估計(jì)概率，每天乘坐地鐵還是公交相互獨(dú)立，到家時(shí)間也相互獨(dú)立．
某天下班，他乘坐公交回家，試估計(jì)他不遲于：到家的概率；
他連續(xù)三天乘坐地鐵回家，記這三天中他早于：回家的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
某天他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘公交，結(jié)果他是：到家的，試求他是乘地鐵回家的概率直接寫出答案
19. 本小題分
已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．
求橢圓的方程；
直線分別交橢圓于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在直線上，求面積的最大值．20. 本小題分
設(shè)，函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
求的單調(diào)區(qū)間；
若函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：．21. 本小題分
若有窮數(shù)列：，，，，滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．
Ⅰ判斷下列數(shù)列是否為數(shù)列，并說明理由；
，，，；
，，，．
Ⅱ已知數(shù)列：，，，，其中，，求的最小值；
Ⅲ已知數(shù)列是，，，的一個(gè)排列若，求的所有取值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題知，．
故選：．
根據(jù)交集的運(yùn)算求解即可．
本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，
，
又，即，
所以．
故選：．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
本題主要考查了三個(gè)數(shù)比較大小，考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
設(shè)出雙曲線方程，求出，，然后求解離心率即可．【解答】解：設(shè)等軸雙曲線的方程是，
，
，，
，
雙曲線為等軸雙曲線離心率為，
故選：． 4.【答案】 【解析】解：由題意可得，
當(dāng)時(shí)，，，，，，
以上各式相加可得：，
所以，
且，滿足上式，
所以，
所以，，
則．
故選：．
由累加法可得，求出，可得答案．
本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．
5.【答案】 【解析】解：由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，
即由不能推出，
由表示同向且模相等，則，
所以“”是“”的必要而不充分條件．
故選：．
根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案．
本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以將向右平移個(gè)單位得到．
故選：．
利用誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的變換規(guī)則計(jì)算可得．
本題主要考查三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，所以，故，
所以的周期為，
又，所以，故關(guān)于對(duì)稱，
又時(shí)，，故畫出的圖象如下：
選項(xiàng)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不中心對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，由圖象可知的最小正周期為，
又，故的最小正周期為，D正確．
故選：．
根據(jù)得到，所以的周期為，根據(jù)得到關(guān)于對(duì)稱，畫出的圖象，從而數(shù)形結(jié)合得到AB錯(cuò)誤；再根據(jù)求出時(shí)函數(shù)解析式；選項(xiàng)，根據(jù)的最小正周期，得到的最小正周期．
本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
8.【答案】 【解析】解：對(duì)于，成績(jī)落在的頻率為，
又成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為，
，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于，由頻率分布直方圖可得，，
解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，估計(jì)全體學(xué)生該學(xué)科成績(jī)的平均分為：分，故C正確；
對(duì)于，，，
等成績(jī)的最低分落在，
又，
成績(jī)?yōu)?/span>分的學(xué)生該學(xué)科成績(jī)肯定不是等，故D正確．
故選：．
對(duì)于，先求出成績(jī)落在的頻率，再由成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)，可求出的值；對(duì)于，由頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形面積之和為求出的值；對(duì)于，估計(jì)平均數(shù)的定義求解；對(duì)于，由于，可知成績(jī)?yōu)?/span>分的學(xué)生該學(xué)科成績(jī)肯定不是等．
本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了平均數(shù)的估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題．
9.【答案】 【解析】解：如下圖所示：
直線的斜率為，傾斜角為，故，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
易知直線交軸于點(diǎn)，所以，
由圖可知，當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)位于軸下方時(shí)，取最小值，
由圓的幾何性質(zhì)可知，且，則，
故．
故選：．
作出圖形，分析可知當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)位于軸下方時(shí)，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值．
本題考查直線與圓的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
10.【答案】 【解析】解：對(duì)于，例如，
當(dāng)時(shí)，，故不正確；
對(duì)于，例如，則恒成立，故不正確；
對(duì)于，由，
，故不正確；
對(duì)于，若，
則，
即，
因?yàn)?/span>，所以，
由，
所以數(shù)列中一定不可能出現(xiàn)，故正確；
故選：．
對(duì)于舉反例即可，對(duì)于舉反例即可，利用反證法即可．
本題主要考查了等比數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系的應(yīng)用，還考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
11.【答案】 【解析】解：，故．
故答案為：．
求出，進(jìn)而利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)性質(zhì)求出答案．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
12.【答案】 【解析】解：是拋物線的焦點(diǎn)，
準(zhǔn)線方程，
設(shè)，，線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
，
線段的長(zhǎng)為．
故答案為：．
設(shè)，利用中點(diǎn)公式即得，再根據(jù)焦點(diǎn)弦公式得到線段的長(zhǎng)．
本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
13.【答案】 【解析】解：由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，
所以，
令，可得．
故答案為：．
求得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，得到，令，即可求解．
本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；
當(dāng)時(shí)，；
所以函數(shù)的最小值是；
作出函數(shù)的圖象如下圖所示，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象無交點(diǎn)，
當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
則符合題意的整數(shù)為或，
故答案為：；．
當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最小值，當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得最小值，綜合即可得到答案；作出函數(shù)的圖象，平移直線，結(jié)合圖象即可得到整數(shù)的范圍．
本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
15.【答案】 【解析】解：對(duì)，當(dāng)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，
取中點(diǎn)，連接，，
則根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，
又平面，平面，
故平面，同理平面，
又，，平面，故平面平面．
又平面，故平面故正確．
對(duì)，當(dāng)在時(shí)，平面不成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，
則，，．
設(shè)，，則，其中，，故，
則當(dāng)時(shí)，即．
故對(duì)任意的，存在滿足條件，
即任意點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足故正確；
當(dāng)，即在點(diǎn)時(shí)，若，則，不滿足，即不在上，故錯(cuò)誤．
故答案為：．
對(duì)，舉例判斷說明即可；對(duì)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，其中，，根據(jù)滿足分析即可．
本題考查線面平行與線線垂直相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
16.【答案】解：證明：連接，，
因?yàn)?/span>和都是等邊三角形，故AB，
所以，同理得：，
又因?yàn)?/span>，平面，平面，
所以平面，因?yàn)?/span>平面，
所以．
選擇，，
由題意可得，所以，同理得，
則，故，所以，
由可得，所以，，兩兩垂直，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，
又易知平面的一個(gè)法向量為，
所以，
又由圖可知二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．
選擇：
由得，，，平面，平面，
，所以平面，
由題，則，
可得為直角三角形，，設(shè)，
所以，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，
又易知平面的一個(gè)法向量，
所以，
又由圖可知二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為． 【解析】連接，，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明平面，即可根據(jù)下年垂直的性質(zhì)定理證明結(jié)論；
選，可證明，，兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法即可求得答案；
選，可證明平面，進(jìn)而證明，，兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法即可求得答案．
本題考查線線垂直的證明，線面垂直的判定定理與性質(zhì)，向量法求解二面角問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
17.【答案】解：，，，
，，；
，，，則．
，，
，
，，
又，在中，，
，
由正弦定理可知，，
． 【解析】根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合再根據(jù)面積公式求解即可；
根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系與二倍角公式可得，進(jìn)而根據(jù)利用兩角和的正弦公式求解，進(jìn)而用正弦定理求解即可．
本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
18.【答案】解：由表中數(shù)據(jù)可知，他乘坐公共汽車回家的天內(nèi)，不遲于：到家的天數(shù)有，
所以估計(jì)他乘坐公共汽車回家，不遲于：到家的概率為；
根據(jù)題意，他乘坐地鐵回家，每天早于：回家的概率為
則隨機(jī)變量可取值為，，，，
可得；；
；，
則隨機(jī)變量的分布列如下： 所以．
設(shè)事件：乘地鐵回家，則：乘汽車回家，：到家時(shí)間在：：之間，
則，
又由他是拋硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，所以，
所以，
即他是乘地鐵回家的概率為． 【解析】由表中數(shù)據(jù)，求得不遲于：到家的天數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；
根據(jù)題意，求得早于：回家的概率為，得到可取值，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
設(shè)事件：乘地鐵回家，則：乘汽車回家，：到家時(shí)間在：：之間，求得，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解．
本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
19.【答案】解：，，
又在橢圓上，，，
橢圓方程為．
由已知直線的斜率存在，
設(shè)直線方程為，，
由 得．
由，得
，，
，，
又中點(diǎn)在直線上，，即，
將之代入得，，
，
點(diǎn)到直線的距離，
，
設(shè)，，
，
時(shí)的最大值為，
因此，面積的最大值為． 【解析】由離心率以及橢圓經(jīng)過的點(diǎn)即可求解，的值，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到，由點(diǎn)到直線的距離公式以及弦長(zhǎng)公式，得三角形的面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題主要考查橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
20.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，，
則，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
函數(shù)定義域是，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上，時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．
證明：因?yàn)?/span>有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，
由可得，當(dāng)時(shí)，由連續(xù)單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)方程無解，此時(shí)的范圍是，
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等解，
由于，不妨令，則有，，
所以，，
所以，
要證，只需，即，，
即證，即，
即，只需，
令，則，只要證明在上成立，
令，可得，
由，所以恒成立，所以在遞增，
又由，所以時(shí)，恒成立，即恒成立，
即恒成立，從而可得． 【解析】代入的值，計(jì)算，，求出切線方程即可．
通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
問題轉(zhuǎn)化為，令，則，得到，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切線方程求解中的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)在不等式證明中的應(yīng)用，屬于中檔題．
21.【答案】解：因?yàn)?/span>，所以該數(shù)列不是數(shù)列；
因?yàn)?/span>，所以該數(shù)列是數(shù)列．
由，則有，可得或者，
恒成立，可得或者，
同理可得：，，
故，
故最小值為；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，，，此時(shí)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，，，，此時(shí)，符合題意；
下證當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意，
令，
則，且，
所以有以下三種可能：
，，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，
由知：，，，是公差為或的等差數(shù)列，
當(dāng)公差為時(shí)，由得或，所以或，與已知矛盾，
當(dāng)公差為時(shí)，同理得出與已知矛盾，
所以當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意，
其它情況同理，
綜上可知，的所有取值為或． 【解析】Ⅰ利用定義判斷即可；
Ⅱ由已知判斷出，從而解得或者，再同理可得或者，以此類推即可；
Ⅲ分類討論，，及時(shí)，分別研究是否滿足題意．
本題主要考查數(shù)列遞推式及絕對(duì)值不等式的應(yīng)用以及分類討論思想，屬于難題．
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[精] 2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）
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2023北京市大興區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案
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[精] 2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）
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[精] 2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）
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[精] 2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)
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