湖南省長(zhǎng)沙市師大附中梅溪湖中學(xué)（湖南師大附中梅溪湖中學(xué)）等2校2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．設(shè)集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，將集合化簡(jiǎn)，然后由集合的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以故選:A2．?dāng)?shù)列中，，（為正整數(shù)），則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由遞推式證明數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選：B.3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則的最小值為（    ）A．9 B． C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比及m與n的關(guān)系式，由于，所以采取逐一代入法求解最值即可.【詳解】依題意，正項(xiàng)等比數(shù)列{a}滿足，所以，即，解得q＝2或q＝－1．因?yàn)閿?shù)列{a}是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以，且，當(dāng)m＝1，n＝3時(shí)，，當(dāng)m＝n＝2時(shí)，，當(dāng)m＝3，n＝1時(shí)，，則的最小值為.故選：B．4．如圖，M在四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且，設(shè)，，，則下列向量與相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意得出，再用向量線性運(yùn)算化簡(jiǎn)后可得.【詳解】因?yàn)?/span>M在四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)N在線段OM上，且，故點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，所以，所以.故選與相等的向量的向量是；故選：A.5．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，M是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一 ：由題意可得，，，設(shè).表示出，然后根據(jù)橢圓的范圍即可求出范圍；解法二：由題意可得，，，設(shè)，取線段AF的中點(diǎn)，可推得，然后根據(jù)橢圓的范圍即可求出范圍.【詳解】解法一：由題意知，，設(shè).則.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以． 解法二：由題意知，．設(shè)，取線段AF的中點(diǎn)N，則，連接MN.則.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以．故選：D．6．函數(shù)的圖像大致為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)C和D；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，可得正確結(jié)論．【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>，且，是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C和D；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A；故選：B7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項(xiàng)中可以確定其值的量為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即可得，利用已知條件即可確定的值.【詳解】根據(jù)圖象可知，函數(shù)的圖象是由向右平移個(gè)單位得到的；由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：B8．已知甲箱中有6個(gè)籃球，2個(gè)足球，乙箱中有5個(gè)籃球，3個(gè)足球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件表示由甲箱取出的球是籃球、足球，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件B表示“由乙箱取出的兩球都為籃球”，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可求出，根據(jù)全概率公式直接求解即可.【詳解】由題意知，，所以.故選:B. 二、多選題9．已知函數(shù)，下面關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，說(shuō)法正確的是（    ）A．當(dāng)時(shí)，原方程有6個(gè)根B．當(dāng)時(shí)，原方程有6個(gè)根C．當(dāng)時(shí)，原方程有4個(gè)根D．不論a取何值，原方程都不可能有7個(gè)根【答案】ABC【分析】由解析式可畫(huà)出圖像，則方程的根的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).結(jié)合圖像可知在m取各種值時(shí)的根的情況，又，后分別判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】令，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由于，做出函數(shù)的圖像，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線交3點(diǎn)的只有1個(gè)，故方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為1個(gè)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的有2個(gè)，故方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為2個(gè)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的有3個(gè)，故方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為3個(gè)．方程，可化為.AB選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，分別記為，，，且，，，從而方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，方程有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴方程有6個(gè)不等實(shí)根，故AB正確；當(dāng)時(shí)．，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根分別為－1，1，從而方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴方程有4個(gè)不等實(shí)根，故C正確；當(dāng)時(shí)，，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，分別為0，和e，從而方程有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，方程有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則方程有7個(gè)不等實(shí)根故D錯(cuò)誤；故選：ABC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.函數(shù)有零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)對(duì)應(yīng)方程有根，故對(duì)于可較為方便畫(huà)出圖像的函數(shù)常用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)零點(diǎn)，其次對(duì)于含的表達(dá)式，常令，從而簡(jiǎn)化式子.10．定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心．已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（    ）A．， B．函數(shù)既有極大值又有極小值C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．過(guò)可以作三條直線與圖像相切【答案】AB【分析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的定義與的對(duì)稱中心，建立方程求出可判斷A，再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷的極值，從而判斷B，根據(jù)的單調(diào)性及的極值可判斷C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的切線方程，從而轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題即可判斷D.【詳解】，，，即，解得，故A正確；，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以既有極大值又有極小值，故B正確；由選項(xiàng)B可知在與處取得極大值與極小值，又，，即的極大值與極小值大于0，所以函數(shù)不會(huì)有3個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過(guò)，則，化簡(jiǎn)得，即，解得或，即滿足題意的切點(diǎn)只有兩個(gè)，所以滿足題意只有兩條切線，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．如圖，設(shè)E，F分別是正方體的棱CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在F的左邊，且，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．平面B．三棱錐的體積為定值C．點(diǎn)P到平面的距離為D．直線與直線所成角的余弦值的最大值為【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，假設(shè)與平面垂直，又⊥平面，推出矛盾；B選項(xiàng)，等體積法求解三棱錐體積為定值；C選項(xiàng)，等體積法求解點(diǎn)到平面的距離；D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值的最大值.【詳解】對(duì)于A，平面與平面為同一個(gè)平面，假設(shè)⊥平面，則⊥平面，連接交于，由為正方形，，正方體中，平面，平面，又，平面，⊥平面，則可推出平面與平面平行或重合，由圖易知這兩個(gè)平面顯然是相交的，矛盾，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，因?yàn)?/span>，而定值，也為定值，所以為定值，故B正確．對(duì)于C，因?yàn)?/span>，平面，所以平面．又點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，其中，．設(shè)點(diǎn)B到平面 的距離為d，由，得：，解得：，即點(diǎn)P到平面的距離為，故C正確．對(duì)于D，以D為原點(diǎn)，分別以為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，．設(shè)直線與成的角為，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC12．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F，G分別為棱AD，，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E，F，G的平面記為平面，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．平面B．平面C．平面截正方體外接球所得圓的面積為D．正方體的表面上與點(diǎn)E的距離為的點(diǎn)形成的曲線的長(zhǎng)度為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，對(duì)AB，利用向量法判斷線面平行、線面垂直；對(duì)C，由向量法求點(diǎn)面距離判斷外接球到及所截圓心重合，進(jìn)而可求面積；對(duì)D，將所求曲線轉(zhuǎn)化為球截面上的圓弧長(zhǎng)，進(jìn)而逐個(gè)表面討論即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，對(duì)A，設(shè)平面的法向量為，，，，則有，令得，由，而FG不在平面ACB1中，故平面，A對(duì)；對(duì)B，，，由，，∵平面，故平面，B對(duì)；對(duì)C，設(shè)，則O為正方體外接球心，，外接球半徑，設(shè)平面，由，，平面，則，故與重合，故平面截正方體外接球所得圓的面積為，C錯(cuò)；對(duì)D，由題意，所求的點(diǎn)可看作正方體與半徑為的球E的交點(diǎn)，則由球的性質(zhì)，在表面上，∵，故只有兩個(gè)交點(diǎn)，不形成曲線；在表面上，形成的曲線為以為圓心，半徑為的圓與正方形交得的圓弧，長(zhǎng)度為；在表面上，形成的曲線為以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與正方形交得的圓弧，長(zhǎng)度為.由正方體的對(duì)稱性，所求的曲線長(zhǎng)度為，D對(duì).故選：ABD. 三、填空題13．設(shè)，則滿足在上恒正的是__________.（填寫(xiě)序號(hào)）①；②；③；④.【答案】①③【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意逐項(xiàng)分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)①：，則，故在上恒成立，①成立；對(duì)②：，則，故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；對(duì)③：，則，故在上恒成立，③成立；對(duì)④：由，解得，故的定義域?yàn)?/span>，則，故在上恒成立，④不成立；故答案為：①③.14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，而，解得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，，所以.故答案為：15．若且，圓：和圓：有且只有一條公切線，則的最小值為______．【答案】4【分析】首先根據(jù)題意得到圓與圓內(nèi)切，從而得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為2；圓的圓心為，半徑為3.因?yàn)閳A和圓只有一條公切線，所以圓與圓內(nèi)切，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4．故答案為：416．若一個(gè)非空數(shù)集滿足：對(duì)任意，有，，，且當(dāng)時(shí)，有，則稱為一個(gè)數(shù)域，以下命題中：（1）0是任何數(shù)域的元素；（2）若數(shù)域有非零元素，則；（3）集合為數(shù)域；（4）有理數(shù)集為數(shù)域；真命題的個(gè)數(shù)為________【答案】3【分析】根據(jù)新定義逐一判斷即可求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，屬于數(shù)域，故（1）正確，（2）若數(shù)域有非零元素，則，從而，故（2）正確；（3）由集合的表示可知得是3的倍數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故（3）錯(cuò)誤，（4）若是有理數(shù)集，則當(dāng)，，則，，，且當(dāng)時(shí)，”都成立，故（4）正確，故真命題的個(gè)數(shù)是3.故答案為：3 四、解答題17．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若且方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知列出方程組，即可得出；（2）由已知可轉(zhuǎn)化為在上恒成立.根據(jù)基本不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由已知可推得有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，作出的函數(shù)圖象，可得.結(jié)合函數(shù)圖象，該方程一個(gè)根大于0小于1，一個(gè)根大于等于1.令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，即可得出不等關(guān)系，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知可得.當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，所以，解得；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以，解得.由于，所以.（2）由（1）知，所以在上恒成立，即，因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，即.所以求實(shí)數(shù)的范圍為.（3）方程化為，化為，且.令，則方程化為.作出的函數(shù)圖象因?yàn)榉匠?/span>有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以有兩個(gè)根，且一個(gè)根大于0小于1，一個(gè)根大于等于1.設(shè)，記，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，或，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的函數(shù)特性，即可得出零點(diǎn)的分布情況.18．函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)先將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，最后得到函數(shù)，求在區(qū)間上的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由圖可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得在上的值域.【詳解】（1）解：由圖可知，，函數(shù)的最小正周期為，，，可得，，則，，則，所以，.（2）解：將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，可得到函數(shù)的圖象，再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，最后得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，因此，在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.19．某工廠統(tǒng)計(jì)2022年銷售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)量與售賣出的產(chǎn)品件數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：銷售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x（單位：個(gè)）1719202123售賣出的產(chǎn)品件數(shù)y（單位：萬(wàn)件）2122252730假定該工廠銷售網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與售賣出的產(chǎn)品件數(shù)呈線性相關(guān)關(guān)系，(1)求2022年售賣出的產(chǎn)品件數(shù)y（單位：萬(wàn)件）關(guān)于銷售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x（單位：個(gè)）的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)2022年該工廠建立40個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)時(shí)售賣出的產(chǎn)品件數(shù).參考公式：，.【答案】(1)；(2)約萬(wàn)件. 【分析】（1）由參考公式可算出銷售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x（單位：個(gè)）的線性回歸方程；（2）將代入由（1）算得的回歸方程可得答案.【詳解】（1）由題，可得，，，.則，.故回歸方程為：.（2）將代入回歸方程，則.故2022年該工廠建立40個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)時(shí)售賣出的產(chǎn)品件數(shù)約萬(wàn)件.20．甲、乙足球愛(ài)好者為了提高球技，兩人輪流進(jìn)行點(diǎn)球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲、乙每次踢球命中的概率均為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．(1)經(jīng)過(guò)1輪踢球，記甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求經(jīng)過(guò)3輪踢球累計(jì)得分后，甲得分高于乙得分的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望為(2) 【分析】（1）先分別求甲、乙進(jìn)球的概率，進(jìn)而求甲得分的分布列和期望；（2）根據(jù)題意得出甲得分高于乙得分的所有可能情況，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）記一輪踢球，甲進(jìn)球?yàn)槭录?/span>A，乙進(jìn)球?yàn)槭录?/span>B，A，B相互獨(dú)立，由題意得：，，甲的得分X的可能取值為，，，所以X的分布列為：X01p.（2）經(jīng)過(guò)三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分，甲3輪各得1分的概率為，甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分的概率為，甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分的概率為，甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分的概率為，所以經(jīng)過(guò)三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙的概率.21．設(shè)函數(shù)部分圖像如圖所示．(1)求；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)，，(2)． 【分析】（1）利用最低點(diǎn)的值找到的值，由圖像得，從而取出周期，進(jìn)而求出，將圖像上的點(diǎn)代入表達(dá)式中，結(jié)合題目所給即可求出的值；（2）先求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)所給的區(qū)間分析求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）由題意得，則周期為，則，所以，將代入得，所以，即，由可得，則；（2），令，得，令，則，因?yàn)?/span>， 所以單調(diào)遞減區(qū)間為．22．如圖在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝.(1)用表示向量；(2)若點(diǎn)F在AC上，且，求AF∶CF.【答案】(1).(2) 【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算法則求解；（2）設(shè)＝λ(0＜λ＜1)，由向量線性運(yùn)算用表示出，再與已知比較求得后即可得．【詳解】（1）因?yàn)?/span>＝－＝，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以＝＝()，因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.（2）設(shè)＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝，.又＝，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1. 

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