2023屆河南省許平汝部分學(xué)校高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值不等式與對數(shù)不等式解不等式，即可得集合，再由交集運(yùn)算即可.【詳解】由，可得，所以，所以則，又，故.故選：C.2．設(shè)非純虛數(shù)滿足，則的虛部為（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】令（，且），代入，可得，從而可求出，進(jìn)而可得答案【詳解】令（，且），則，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得，則，所以的虛部為1.故選：A3．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得出答案.【詳解】，故．故選：D.4．函數(shù)的圖象大致為（    ）A．   B．  C．   D．    【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的特殊值、奇偶性、單調(diào)性排除可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，排除A選項(xiàng)；因?yàn)?/span>，所以為偶函數(shù)，排除C；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；因?yàn)?/span>，所以存在，便得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠，排除.故選：B5．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算出的值，推導(dǎo)出數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成以公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】由可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，則.故對任意的，.所以，數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成以公比的等比數(shù)列，因?yàn)?/span>，則，所以，.故選：D.6．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為（    ）  A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】由題圖可知，該幾何體分上?下兩部分，上面是棱長為1的正方體，下面為長?寬?高分別為的長方體，由正、長方體的表面積公式求解即可.【詳解】由題圖可知，該幾何體分上?下兩部分，上面是棱長為1的正方體，下面為長?寬?高分別為的長方體，該幾何體的表面積為故選：B.    7．已知展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（    ）A．270 B． C．330 D．【答案】D【分析】令，得，得. 再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】令，則，得. 所以，又因?yàn)橹挥?/span>，展開式中有含的項(xiàng)，所以的系數(shù)為.故選：D8．已知四邊形，下列說法正確的是（    ）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【答案】A【分析】根據(jù)向量共線和模長相等的幾何與意義結(jié)合平行四邊形、矩形、梯形的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；選項(xiàng)，如圖  ，但是四邊形不是矩形，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯(cuò)誤．選項(xiàng)，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯(cuò)誤.故選：A9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與該雙曲線的一條漸近線切于點(diǎn)，則的面積為（    ）A．4 B．2 C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線方程可得，利用漸近線與圓相切即可得，從而得的值，聯(lián)立直線與圓可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得的面積.【詳解】雙曲線轉(zhuǎn)化為，則，則，所以.  不妨取雙曲線的一條漸近線的方程為①. 所以，所以，則將代入圓的方程得②，聯(lián)立①②可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.故選：D.10．已知，下列說法正確的是（    ）A．的最大值為8B．的最小值為2C．有最小值D．有最大值4【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式運(yùn)用的三個(gè)條件“一正?二定?三相等”，可知，所以A錯(cuò)誤；將原式化成，即可得，即B正確；不等式變形可得，利用基本不等式中“1”的妙用可知，C錯(cuò)誤；將式子配方可得，再利用基本不等式可得其有最小值，無最大值，D錯(cuò)誤.【詳解】對于選項(xiàng)，，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為，A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，原式化為，故；，故；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，正確；對于選項(xiàng)，原式化為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故有最小值，D錯(cuò)誤．故選：B11．如圖為函數(shù)，的圖象，則函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（    ）  A．9個(gè) B．8個(gè) C．7個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)圖象得到最小周期，從而得到，代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)，得到，得到函數(shù)解析式，解方程，求出解的個(gè)數(shù).【詳解】由題圖得，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以令，故或或或或或或，解得有7個(gè)值，故的圖象與直線在此區(qū)間上有7個(gè)交點(diǎn)．故選：C12．已知中，為的中點(diǎn). 將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，在翻折過程中，下列說法不正確的是（    ）A．平面平面B．三棱錐的體積為定值C．當(dāng)二面角的平面角為時(shí)，三棱錐的體積為D．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球表面積為【答案】B【分析】對于A，由已知條件可證得平面，然后由面面垂直的判定定理判斷，對于B，由于的面積不是定值，從而可進(jìn)行判斷，對于C，由題意可得二面角的平面角為，從而可求得，進(jìn)而可求得三棱錐的體積，對于D，由題意可得，然后利用等體積法可求出三棱錐的內(nèi)切球的半徑，從而可求出球的表面積.【詳解】如圖：  A選項(xiàng)，在中，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，故平面平面，A正確，B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A知平面，但的面積不是定值，故三棱錐的體積不是定值，B錯(cuò)誤， C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以二面角的平面角為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>中，為的中點(diǎn). 所以所以，由選項(xiàng)A知平面，所以三棱錐的體積為，C正確， D選項(xiàng)，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，，所以，因?yàn)?/span>，，所以三棱錐的表面積為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則由等體積法知，解得，所以內(nèi)切球表面積，D正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查面面垂直的判斷，考查棱錐體積的求法，考查二面角，考查棱錐外接球問題，考查由平面圖形折疊成立體圖形問題，解題的關(guān)鍵是弄清折疊前后邊角關(guān)系，考查空間想象能力，屬于較難題. 二、填空題13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為           ．  【答案】4【分析】根據(jù)程序框圖流程，計(jì)算出答案.【詳解】第一步：，執(zhí)行否；第二步：，執(zhí)行否；第三步：，執(zhí)行是，輸出4．故答案為：414．已知，則          .【答案】【分析】運(yùn)用同角關(guān)系和正余弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】，因?yàn)?/span> ，所以，又因?yàn)?/span>，故或，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；故答案為：.15．已知十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬，它們是一一對應(yīng)的關(guān)系，配對如下：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬. 同學(xué)們將十二地支與十二生肖分別用紅藍(lán)兩種顏色做成外觀完全相同的卡片每種一張. 現(xiàn)從兩種顏色的卡片中各取三張，地支與生肖能夠全部正確配對的概率為          .【答案】【分析】利用排列組合知識，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式可求解.【詳解】從紅色的卡片中任取三張，有種情況，從藍(lán)色的卡片中任取三張，有種情況，從兩種顏色的卡片中各取三張，地支與生肖能夠全部正確配對的概率有種情況，.故答案為：.16．已知函數(shù)圖象上某點(diǎn)處的斜率為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍為           ．【答案】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)可得有解，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求出其最小值即可得.【詳解】根據(jù)題意可得，由已知可得有解，即方程有解，則，令，則令得，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，因此有最小值，故只需，即.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)有解的問題，再結(jié)合函數(shù)與方程的思想利用參變分離，求出函數(shù)函數(shù)最值即可求得參數(shù)取值范圍. 三、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）通過對進(jìn)行變形，結(jié)合，得出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)的通項(xiàng)公式進(jìn)行求和，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，則化為，即，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，解得， 當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以.（2）結(jié)合（1）得，，所以，因?yàn)?/span>，所以．18．已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點(diǎn). (1)平面平面，證明：；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，試確定點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析(2)點(diǎn)為棱中點(diǎn) 【分析】（1）由，利用線面平行的判定定理得到平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理證明； （2）取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，設(shè)，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量為，利用夾角公式求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>平面平面，所以平面， 又因?yàn)槠矫?/span>平面，所以.（2）取中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 所以，設(shè)，所以， 設(shè)平面的法向量，則有，即令，則. 平面的一個(gè)法向量為，所以. 解得，即當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)滿足條件.19．近年來，我國清潔能源產(chǎn)業(yè)不斷發(fā)展壯大，清潔能源消費(fèi)量占能源消費(fèi)總量的比重持續(xù)增長. 近5年（2017年記為第1年）我國清潔能源消費(fèi)量占能源消費(fèi)總量的比重統(tǒng)計(jì)如下：  (1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求比重關(guān)于第年的回歸方程，并估計(jì)到2030年我國清潔能源消費(fèi)量占能源消費(fèi)總量的比重是否有可能超過；(2)某市積極響應(yīng)政府號召，鼓勵(lì)企業(yè)積極使用清潔能源，使用清潔能源的企業(yè)達(dá).若從該市10家企業(yè)中隨機(jī)抽取3家，用表示所選3家中使用清潔能源的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 附：.【答案】(1)，有可能超過(2)分布列見解析， 【分析】（1）利用最小二乘法可得.（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式和數(shù)學(xué)期望公式可得.【詳解】（1）由題圖可知，與滿足線性回歸方程，得表：第年12345比重20. 522. 123. 324. 325. 5，，，，，故回歸直線方程為. 2030年是第14年，此時(shí)，即2030年我國清潔能源消費(fèi)量占能源消費(fèi)總量的比重約為，故可判斷有可能超過.（2）由題意可知，，，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.20．已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．(1)求直線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可得出答案；（2）直線與圓錐曲線相交所構(gòu)成三角形的面積，可采運(yùn)用面積分割法與點(diǎn)到直線的距離求解．【詳解】（1）因?yàn)橄?/span>被點(diǎn)平分，所以設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)則，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的方程為（2），聯(lián)立橢圓與直線方程得所以，所以，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以．    21．已知函數(shù).(1)若函數(shù)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)實(shí)根，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函，求出最大值，即可得出答案；（2）依題意設(shè)，從而將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最值即可得證．【詳解】（1）， 若函數(shù)單調(diào)遞減，則恒成立，即， 令，故的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是，故，所以，即的取值范圍為；（2）設(shè)的兩個(gè)實(shí)根，則，所以， 令，則（*）式化為，所以，將代入可得，所以，則，要證，只需證，即證，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且， 所以在上恒成立，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)雙變量不等式證明，是導(dǎo)數(shù)中常見的極值點(diǎn)偏移問題，其常見證明方法如下：（1）利用比值代換，將雙變量不等式化為單變量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值進(jìn)行證明；（2）構(gòu)造對稱函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為證明由函數(shù)值大小關(guān)系解不等式得結(jié)論；（3）結(jié)合對數(shù)平均值不等式，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為最值問題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取與平面直角坐標(biāo)系相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求線段的長．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）通過消參，求得曲線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，求得直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程，利用弦長公式求解即可.【詳解】（1）消去參數(shù)得曲線的方程為．直線的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)可知，直線轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知直線過橢圓的左焦點(diǎn)，聯(lián)立得，所以，所以，所以．23．已知．(1)當(dāng)，時(shí)，求使得的的取值集合；(2)當(dāng)時(shí)，若對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）分類討論，和，解不等式即可得出答案；（2）由三角絕對值不等式可得成立，再求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，解得，所以；②當(dāng)時(shí)，，解得，所以；③當(dāng)時(shí)，，解得，所以．綜上，或．（2）當(dāng)時(shí)，，對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為． 

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