?2023年5月長(zhǎng)郡、一中、雅禮、師大附中“一起考”
數(shù)學(xué)
本試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號(hào)。
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。
4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
2．若（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為（ ）
A．1 B． C． D．2
3．若向量，滿足，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4．要測(cè)定古物的年代，可以用放射性碳法：在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的放射性．動(dòng)植物死亡后，停止了新陳代謝，不再產(chǎn)生，且原來(lái)的會(huì)自動(dòng)衰變．經(jīng)過(guò)5730年，它的殘余量只有原始量的一半．現(xiàn)用放射性碳法測(cè)得某古物中含量占原來(lái)的，推算該古物約是m年前的遺物（參考數(shù)據(jù)：），則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
5．若數(shù)列中，，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線的垂線，垂足為P，則的最小值為（ ）
A． B． C．5 D．3
7．若當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足條件的a的最小整數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知底面邊長(zhǎng)為a的正四棱柱內(nèi)接于半徑為的球內(nèi)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，G，H分別為線段，EF上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱柱的體積最大時(shí)，的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)在圓O上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A．若，則 B．若，則
C．，則 D．若，則
10．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，若，則（ ）
A． B．的取值范圍是
C．直線AM與BN的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為1 D．的取值范圍是
11．“”表示不大于x的最大整數(shù)，例如：，，．下列關(guān)于的性質(zhì)的敘述中，正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若數(shù)列中，，，則
D．被3除余數(shù)為0
12．在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段PC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則（ ）
A．存在點(diǎn)M使得
B．四棱錐外接球的表面積為
C．直線PC與直線AD所成角為
D．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線BD的距離最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，D，M作截面交PB于點(diǎn)N，則四棱錐的體積是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知，則________．
14．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將在今年7月28日至8月8日在四川省成都市舉行．有編號(hào)為1，2，3，4，5的五位裁判，分別就座于編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)座位上，每個(gè)座位恰好坐一位裁判，則恰有兩位裁判編號(hào)和座位編號(hào)一致的坐法種數(shù)為________．
15．設(shè)函數(shù)，的定義域均為R，且函數(shù)，均為偶函數(shù)．若當(dāng)時(shí)，，則的值為________．
16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P，Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)耐饨訄A和內(nèi)切圓的半徑之積的最大值為時(shí)，的最大值為4，則________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A的值；
（2）若△ABC是銳角三角形，求的取值范圍．
18．（本小題滿分12分）
某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)選擇一家餐廳用餐。如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8．
（1）（1）求王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率；
（2）如果王同學(xué)第2天去A餐廳用餐，求他第1天在A餐廳用餐的概率．
（2）A餐廳對(duì)就餐環(huán)境、菜品種類與品質(zhì)等方面進(jìn)行了改造與提升改造提升后，A餐廳對(duì)就餐滿意程度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了100名學(xué)生的數(shù)據(jù)，如下表（單位：人）．
就餐滿意程度
A餐廳改造提升情況
合計(jì)
改造提升前
改造提升后
滿意
28
57
85
不滿意
12
3
15
合計(jì)
40
60
100
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對(duì)于A餐廳的滿意程度與餐廳的改造提升有關(guān)聯(lián)？
附：，其中．

0.1
0.05
0.01
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879
19．（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐中，，，G為點(diǎn)B在平面ACD上的射影，M為BC的中點(diǎn)．

（1）證明：平面ABD；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
20．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列滿足，且
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．
21．（本小題滿分12分）
已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A，線段MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，若，證明：直線l過(guò)四個(gè)定點(diǎn)，，，中的一個(gè)．
22．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（1）若，，求證：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
2023屆高三“一起考”大聯(lián)考·數(shù)學(xué)
雙向細(xì)目表
題序
知識(shí)內(nèi)容（考點(diǎn)）
難度系數(shù)
分值
1
集合的概念
0.80
5
2
復(fù)數(shù)的運(yùn)算
0.80
5
3
平面向量的概念
0.70
5
4
指、對(duì)數(shù)運(yùn)算
0.70
5
5
數(shù)列綜合
0.65
5
6
拋物線的性質(zhì)
0.50
5
7
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合（構(gòu)造函數(shù)）
0.30
5
8
立體幾何綜合
0.25
5
9
三角函數(shù)的概念
0.60
5
10
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（切線）
0.50
5
11
新定義
0.35
5
12
立體幾何綜合
0.35
5
13
三角函數(shù)求值
0.75
5
14
排列組合簡(jiǎn)單應(yīng)用
0.65
5
15
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)
0.45
5
16
圓錐曲線綜合
0.35
5
17
解三角形
0.50
10
18
統(tǒng)計(jì)與概率
0.55
12
19
立體幾何
0.45
12
20
數(shù)列綜合（通項(xiàng)與求和）
0.45
12
21
圓錐曲線綜合（方程、過(guò)定點(diǎn)）
0.30
12
22
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合（零點(diǎn)、恒成立問(wèn)題）
0.30
12
參考答案
1．C
解析：由且，得，2，所以，又因?yàn)椋詽M足條件的集合B可能為，，，，共4個(gè)．故選C．
2．C
解析：由，得，即，所以，故選C．
3．B
解析：設(shè)向量與的夾角為，則，在上的投影向量為．故選B．
4．B
解析：設(shè)每年的衰變率為P，古物中原的含量為a，由半衰期，得．所以，即．由題意，知，即．于是．所以．故選B．
5．D
解析：由題意，得，，，，，，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，且前6項(xiàng)積為1，則，，所以原式的值為，故選D．
6．A
解析：因?yàn)閽佄锞€C的方程為，所以，拋物線C的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)榉匠炭苫癁椋赃^(guò)定點(diǎn)．
設(shè)，設(shè)FB的中點(diǎn)為A，則，因?yàn)?，P為垂足，
所以，所以，
即點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心，半徑為的圓．
過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，
所以．
又，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線且P在M，A之間時(shí)等號(hào)成立，所以．

過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，M，A三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，M，P，A四點(diǎn)共線且P在M，A之間時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選A．
7．A
解析：關(guān)于x的不等式恒成立，
因?yàn)?，所以?br /> 即，即，
即，易證，且，
所以，所以，即．
又易知，據(jù)此可以判斷滿足不等式成立，但考慮其充分性及題設(shè)中為最小整數(shù)．故選A．
8．B
解析：正四棱柱的高．
（方法一），令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．
（方法二），，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)正四棱柱為正方體，的最小值就是點(diǎn)G到EF的距離，由正方體的性質(zhì)知，當(dāng)H為EF的中點(diǎn)時(shí)，，動(dòng)線段GH，GM分別在，內(nèi)，將兩個(gè)平面沿展開翻折至共面．如圖，當(dāng)M，G，H三點(diǎn)共線時(shí)，最小，可得，又因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，
所以．

9．AD
解析：由于單位圓的半徑為1，根據(jù)弧長(zhǎng)公式有，所以A正確．
由于B是∠AOB的一邊與單位圓的交點(diǎn)，是對(duì)應(yīng)∠AOB的正弦值，即，所以是對(duì)應(yīng)∠AOB的余弦值，即，所以B錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，，，所以C錯(cuò)誤．
反過(guò)來(lái)，當(dāng)，即時(shí)，一定成立，所以D正確．故選AD．
10．ABD
解析：不妨設(shè)，，則，，則，．
因?yàn)榈膱D象在A，B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，所以，即．
對(duì)于A，因?yàn)?，所以A正確．
對(duì)于B，因?yàn)椋?，：?br /> 則，，所以，所以B正確．
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
即直線AM與BN的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒小于1，所以C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，，所以D正確．故選ABD．
11．ACD
解析：對(duì)于A，由定義“”表示不大于x的最大整數(shù)可知，，故，用代換x，即得，故A正確．
對(duì)于B，不妨設(shè)，，易知B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，由，可得，故，
則，故C正確．
對(duì)于D，對(duì)任意自然數(shù)k，與均不是整數(shù)，且，
則．
當(dāng)時(shí)，，即被3除余數(shù)為1．
當(dāng)時(shí)，，
，
則被3除余數(shù)為1，
，
由上述分析知其被3除余數(shù)為1011，而，即M能被3整除，故D正確．
故選ACD．
12．BCD
解析：如圖1，取AD的中點(diǎn)G，連接GC，PG，BD，．
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，易知，平面平面，所以平面ABCD，則．
又因?yàn)?，所以?br /> 又，所以平面PGC．
因?yàn)槠矫鍼GC，平面PGC，所以不成立，A錯(cuò)誤．

因?yàn)椤鰽PD為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面APD作為底面，補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．
如圖2，直線PC與直線AD所成角即為直線PC與直線BC所成角，為，C正確．
如圖1，因?yàn)槠矫鍼GC，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線BD的距離最小時(shí)，此時(shí)M為PC的中點(diǎn)．如圖3，由M為PC的中點(diǎn)，可知N為QA的中點(diǎn)，故，D正確．
故選BCD．
13．1
解析：由，得，則，
所以．
14．20
解析：由題意，5人中選出2人出來(lái)，她們的編號(hào)一致，有種方法，剩余3人都不坐與自己編號(hào)相同的座位有兩種情形，故總的坐法種數(shù)為．
15．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)，的定義域均為R，且函數(shù)為偶函數(shù)，
則，求導(dǎo)得，
即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱．
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得函數(shù)的周期為4，．所以，即，即，于是．
16．2
解析：令，則的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，故兩半徑之積為，
因?yàn)椋裕?br /> 所以，此時(shí)P是橢圓的短軸頂點(diǎn)．不妨設(shè)P是橢圓的上頂點(diǎn)，
設(shè)，，
則，所以．
17．解析：（1）因?yàn)椋?br /> 所以，……（2分）
即，……（3分）
所以或（舍去）．
所以，結(jié)合，得．……（5分）
（2）由（1）得，．……（7分）
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以B，C均為銳角，
即，，所以，……（8分）
所以，，
所以的取值范圍是．……（10分）
18．解析：（1）設(shè)事件A：第i天去A餐廳用餐，事件B：第i天去B餐廳用餐，其中，2．
①王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為：
．……（4分）
②如果王同學(xué)第2天去A餐廳用餐，那么他第1天在A餐廳用餐的概率為：
．……（8分）
（2）提出零假設(shè)：學(xué)生對(duì)于A餐廳的滿意程度與餐廳的改造提升沒(méi)有關(guān)聯(lián)．
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生對(duì)于A餐廳的滿意程度與餐廳的改造提升有關(guān)聯(lián)．……（12分）
19．解析：（1）（方法一）過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)N，連接MN，則，
又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD．……（2分）
因?yàn)椋矫鍭CD，連接AG，則，所以N為AC的中點(diǎn)，故MN為△CBA的中位線，．……（4分）
又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD．
又，所以平面平面ABD，
又平面MNG，所以平面ABD．……（5分）
（方法二）延長(zhǎng)CG，交AD于點(diǎn)K，連接AG，BK．
因?yàn)?，平面ACD，則．
又，所以，即G為CK的中點(diǎn)．
因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以MG為△CBK的中位線，．……（3分）
因?yàn)槠矫鍭BD，平面ABD，所以平面ABD．……（5分）
（2）過(guò)點(diǎn)A作，以A為原點(diǎn)，AC，AD，AF所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由于，，則由（1）知，
又，所以．
則，，，．……（7分）
設(shè)，則，設(shè)平面AMC的法向量為，
又，，
則可?。?分）
設(shè)平面AMD的法向量為，
又，，
則可?。?0分）
設(shè)二面角的平面角為，
則，，
即二面角的正弦值為．……（12分）
20．解析：（1）因?yàn)?br /> 所以，，，所以．
又因?yàn)?，所以，所以?br /> 因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)?，所以，所以，所以?br /> 即，……（3分）
所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．……（5分）
（2）由（1）可知，所以，
所以，……（6分）
又因?yàn)?，所以?br /> 即，所以，……（8分）
所以，
因?yàn)椋?br /> ，……（10分）
所以是一個(gè)增數(shù)列，
因?yàn)椋?br /> 所以滿足題意的n的最小值是20．……（12分）
21．解析：（1）設(shè)C的焦距為2c，則，即，，．……（1分）
由雙曲線的定義，得，
即，所以，故C的方程為．……（4分）
（2）證明：設(shè)，，，直線l的方程為，
聯(lián)立整理得，……（5分）
由題意，得即
則，，……（6分）

．……（7分）
設(shè)MN的中點(diǎn)為，則，，……（8分）
所以線段MN的垂直平分線的方程為．
令，得，即，
所以，……（9分）
由題意，得，即，……（10分）
從而．
當(dāng)，即時(shí)，解得或；
當(dāng)，即時(shí)，解得或．……（11分）
所以直線l的方程為，或，或，或．
故直線l過(guò)四個(gè)定點(diǎn)，，，中的一個(gè)．……（12分）
22．解析：（1）證明：由題意得，當(dāng)時(shí)，，
故．
（i）當(dāng)時(shí)，，記，
則，單調(diào)遞增，，
所以，即當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)．……（2分）
（ii）當(dāng)時(shí)，，，
即當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)．……（3分）
（iii）當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)?，所以，即單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，?br /> 所以當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．……（6分）
（2）易知，由題意，在0的左側(cè)鄰域內(nèi)，有，則．
因?yàn)椋?br /> 所以，得是對(duì)任意成立的必要條件．……（7分）
下面證明充分性．
當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于．
令，，即證．……（8分）
（i）當(dāng)時(shí)，，，
即成立．……（9分）
（ii）當(dāng)時(shí)，記，則．
由，得，所以，即單調(diào)遞增，
，即，
又．
綜上，．……（12分）

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精品解析：湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)、長(zhǎng)沙一中、雅禮中學(xué)、湖南師大附中高三下學(xué)期5月“一起考”數(shù)學(xué)試題：

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湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)二模試題（Word版附解析）：

這是一份湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)二模試題（Word版附解析），共25頁(yè)。試卷主要包含了本試卷分第Ⅰ卷兩部分等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)、長(zhǎng)沙一中、雅禮中學(xué)、湖南師大附中高三下學(xué)期5月“一起考”數(shù)學(xué)試題 PDF版：

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湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模試題（Word版附解析）

湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模試題（Word版附解析）
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