?江西省2022年初中學(xué)業(yè)水平考試
數(shù)學(xué)試題卷
說明：
1.全卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．
2.請(qǐng)將答案寫在答題卡上，否則不給分．
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1. 下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)是（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可得出答案．
【詳解】解：-1是負(fù)數(shù)，2，是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)，掌握在正數(shù)前面添加“-”得到負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2. 實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】ABC.根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)a、b的位置可知，，，
∴，故AB錯(cuò)誤，C正確；
根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)a、b的位置可知，，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，越向右越大，是解題的關(guān)鍵．
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底數(shù)冪的乘法，去括號(hào)法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式對(duì)各選項(xiàng)依次判斷即可．
【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，故此選項(xiàng)符合題意；
C、，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，涉及到同底數(shù)冪的乘法，去括號(hào)法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，完全平方公式等知識(shí)．熟練掌握各運(yùn)算法則和的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
4. 將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．
【詳解】解：第1個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4，
第2個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2，
第3個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2×2，
第4個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2×3=10，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律：每個(gè)圖形比上一個(gè)圖形多2個(gè)H是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖是四個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】從上面觀察該幾何體得到一個(gè)“T”字形的平面圖形，橫著兩個(gè)正方形，中間有一個(gè)正方形，且有兩條垂直的虛線，下方有半個(gè)正方形．畫出圖形即可．
【詳解】俯視圖如圖所示．

故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的三視圖，俯視圖是從上面觀察幾何體得出的平面圖形．.注意：能看到的線用實(shí)線，看不到而存在的線用虛線．
6. 甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度與溫度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，則下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）

A. 甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度均隨著溫度的升高而增大
B. 當(dāng)溫度升高至?xí)r，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 當(dāng)溫度為時(shí)，甲、乙的溶解度都小于
D. 當(dāng)溫度為時(shí)，甲、乙的溶解度相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)圖象的意義可得答案．
【詳解】解：由圖象可知，A、B、C都正確，
當(dāng)溫度為t1時(shí)，甲、乙的溶解度都為30g，故D錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，熟練掌握橫縱坐標(biāo)表示的意義是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接提公因式a即可．
【詳解】解：原式=.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是正確確定公因式．
8. 正五邊形的外角和等于 _______?．
【答案】360
【解析】
【詳解】試題分析：任何n邊形的外角和都等于360度.
考點(diǎn)：多邊形的外角和.

9. 已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判別式列方程可得答案．
【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
可得判別式，
∴，
解得：．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關(guān)鍵．
10. 甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多采樣10人，甲采樣160人所用時(shí)間與乙采樣140人所用時(shí)間相等，甲、乙兩人每小時(shí)分別采樣多少人？設(shè)甲每小時(shí)采樣x人，則可列分式方程為__________．
【答案】
【解析】
【分析】先表示乙每小時(shí)采樣（x-10）人，進(jìn)而得出甲采樣160人和乙采樣140人所用的時(shí)間，再根據(jù)時(shí)間相等列出方程即可．
【詳解】根據(jù)題意可知乙每小時(shí)采樣（x-10）人，根據(jù)題意，得
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列分式方程，確定等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵．
11. 沐沐用七巧板拼了一個(gè)對(duì)角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長方形（如圖所示），則長方形的對(duì)角線長為__________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圖形可得長方形的長是正方形的對(duì)角線為2，長方形的寬是正方形對(duì)角線的一半為1，然后利用勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對(duì)角線為2，長方形的寬是正方形對(duì)角線的一半為1，
∴根據(jù)勾股定理可知，長方形的對(duì)角線長：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，七巧板，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是所拼成的正方形的特點(diǎn)確定長方形的長與寬．
12. 已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則的長為__________．


【答案】5或或
【解析】
【分析】因?yàn)榈妊切蔚难淮_定，所以分三種情況分別計(jì)算即可．
【詳解】解：①當(dāng)AO=AB時(shí)，AB=5；
②當(dāng)AB=BO時(shí)，AB=5；
③當(dāng)OA=OB時(shí)，則OB=5，B（5，0），
設(shè)A（a，）（a>0），
∵OA=5，
∴，
解得：，，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
綜上所述，AB的長為5或或．
故答案為：5或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計(jì)算：；
（2）解不等式組：
【答案】（1）3；（2）1＜x＜3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的意義，零指數(shù)冪的意義解答即可；
（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】（1）原式=2+2-1，
=3．
（2）
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式組的解集為：1＜x＜3．
【點(diǎn)睛】本題考查是實(shí)數(shù)的運(yùn)算和解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
14. 以下是某同學(xué)化筒分式的部分運(yùn)算過程：
解：原式①
②
③
…
解：

（1）上面的運(yùn)算過程中第__________步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)你寫出完整的解答過程．
【答案】（1）③ （2）見解析
【解析】
【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則：先乘方，再加減，最后乘除，有括號(hào)先算括號(hào)里面的計(jì)算即可．
【小問1詳解】
第③步出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因是分子相減時(shí)未變號(hào)，
故答案為：③；
【小問2詳解】
解：原式＝




【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．
15. 某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．
（1）“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；
A．不可能 B．必然 C．隨機(jī)
（2）若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率．
【答案】（1）C （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件的定義即可解決問題；
（2）從甲、乙、丙、丁名護(hù)士積極報(bào)名參加，設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示，從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，然后利用樹狀圖即可解決問題．
【小問1詳解】
解：“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是隨機(jī)事件；
故答案為：C；
【小問2詳解】
從甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，設(shè)甲 是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表 示．從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，如圖所示：

它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結(jié)果中，被抽到的 兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的（記為事件A)的結(jié)果有6 種，則，
則被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，隨機(jī)事件．解決本題的關(guān)鍵是掌握列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
16. 如圖是的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

（1）在圖1中作的角平分線；
（2）在圖2中過點(diǎn)作一條直線，使點(diǎn)，到直線的距離相等．
【答案】（1）作圖見解析部分
（2）作圖見解析部分
【解析】
【分析】（1）連接，，與交于點(diǎn)，作射線即可；
（2）取格點(diǎn)，過點(diǎn)和點(diǎn)作直線即可．
【小問1詳解】
解：如圖1，連接、，與交于點(diǎn)，設(shè)小正方形的邊長為1個(gè)單位，
∵線段和是矩形的兩條對(duì)角線且交于點(diǎn)，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射線即為所作；
【小問2詳解】
如圖2，連接、、、，直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)小正方形的邊長為1個(gè)單位，
∴，，
，，
∴，
∴四邊形是菱形，
又∵，，，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，，且，
∴直線即為所作．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
17. 如圖，四邊形為菱形，點(diǎn)E在的延長線上，．

（1）求證：；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）AE=9
【解析】
【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，結(jié)合，得出，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可得出AE的值．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
小問2詳解】
∵，
∴，
即，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得出，是解題關(guān)鍵．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在y軸上，，將線段向右下方平移，得到線段，此時(shí)點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D落在x軸正半軸上，且．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________，點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________，點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________（用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直線的表達(dá)式．
【答案】（1）（0，2），（1，0），（m＋1，2）
（2）1；y＝-2x＋6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)OB＝2可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)OD＝1可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），由平移規(guī)律可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)C和D的坐標(biāo)列方程可得m的值，從而得k的值，再利用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．
【小問1詳解】
∵點(diǎn)B在y軸上，，
∴B（0，2），
∵點(diǎn)D落在x軸正半軸上，且
∴D（1，0），
∴線段AB向下平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到線段CD，
∵點(diǎn)A（m，4），
∴C（m＋1，2），
故答案為：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
【小問2詳解】
∵點(diǎn)A和點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
設(shè)直線AC的表達(dá)式為：，
∴ 解得，
∴直線AC的表達(dá)式為：y＝-2x＋6．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平移的性質(zhì)，根據(jù)OB和OD的長得出平移的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
19. （1）課本再現(xiàn)：在中，是所對(duì)圓心角，是所對(duì)的圓周角，我們?cè)跀?shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)圓心O與的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請(qǐng)你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明；
（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖4，若的半徑為2，分別與相切于點(diǎn)A，B，，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在∠ACB的內(nèi)部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②如圖3，當(dāng)O在∠ACB的外部時(shí)，作直徑CD，同理可理結(jié)論；
（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結(jié)論可得∠AOB=120°，由切線的性質(zhì)可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，從而得PA的長．
【詳解】解：（1）①如圖2，連接CO，并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，

∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB；
如圖3，連接CO，并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，

∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB；
（2）如圖4，連接OA，OB，OP，

∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，
∵OA=2，
∴OP=2OA=4，
∴PA=
【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識(shí)，掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關(guān)鍵．
20. 圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測得．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）求雕塑的高（即點(diǎn)G到的距離）．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）見解析 （2）雕塑的高為7.5m，詳見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，計(jì)算AG的長，利用 ∠A的正弦可得結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴ ∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四邊形DEFG為平行四邊形；
【小問2詳解】
如圖，過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
在Rt△APG中，sinA= ，
∴=0.96，
∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高為7.5m.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 在“雙減”政策實(shí)施兩個(gè)月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學(xué)生，就“‘雙減’前后參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班的情況”進(jìn)行了一次隨機(jī)問卷調(diào)查（以下將“參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班”簡稱“報(bào)班”），根據(jù)問卷提交時(shí)間的不同，把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進(jìn)行整理，分別得到統(tǒng)計(jì)表1和統(tǒng)計(jì)圖1：
整理描述
表1：“雙減”前后報(bào)班情況統(tǒng)計(jì)表（第一組）

0
1
2
3
4及以上
合計(jì)
“雙減”前
102
48
75
51
24
m
“雙減”后
255
15
24
n
0
m

（1）根據(jù)表1，m的值為__________，的值為__________；
（2）分析處理：請(qǐng)你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比；
（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報(bào)班情況的折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖2）．請(qǐng)依據(jù)以上圖表中的信息回答以下問題：
①本次調(diào)查中，“雙減”前學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的中位數(shù)為__________，“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的眾數(shù)為__________；
②請(qǐng)對(duì)該市城區(qū)學(xué)生“雙減”前后報(bào)班個(gè)數(shù)變化情況作出對(duì)比分析（用一句話來概括）．
【答案】（1）300；
（2）見解析；
（3）①1；0；②見解析
【解析】
【分析】（1）將表1中“雙減前”各個(gè)數(shù)據(jù)求和確定m的值，然后再計(jì)算求得n值，從而求解；
（2）通過匯總表1和圖1求得“雙減后”報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)，從而求解百分比；
（3）①根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念分析求解；②根據(jù)“雙減”政策對(duì)學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的影響結(jié)果角度進(jìn)行分析說明．
【小問1詳解】
解：由題意得，，解得，
∴，
故答案為：300；
【小問2詳解】
匯總表1和圖1可得：

0
1
2
3
4及以上
總數(shù)
“雙減”前
172
82
118
82
46
500
“雙減”后
423
24
40
12
1
500
∴“雙減”后報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比為；
【小問3詳解】
“雙減”前共調(diào)查500個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大排列后，第250個(gè)和第251個(gè)數(shù)據(jù)均為1，
∴“雙減”前學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的中位數(shù)為1，
“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是0，
∴“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的眾數(shù)為0，
故答案為：1；0；
②從“雙減”前后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的變化情況說明：“雙減”政策宣傳落實(shí)到位，參加校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的學(xué)生大幅度減少，“雙減”取得了顯著效果．
【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，理解題意，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集和整理，掌握中位數(shù)和眾數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．
22. 跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度為，基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為，高度為（h為定值）．設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為．

（1）c的值為__________；
（2）①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h；
②若時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，則b的取值范圍為__________；
（3）若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為時(shí)，恰好達(dá)到最大高度，試判斷他的落地點(diǎn)能否超過K點(diǎn)，并說明理由．
【答案】（1）66 （2）①基準(zhǔn)點(diǎn)K高度h為21m；②b＞；
（3）他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)，理由見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)起跳臺(tái)的高度OA為66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根據(jù)基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m，即得基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h為21m；
②運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，即是x＝75時(shí)，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，即是拋物線的頂點(diǎn)為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，可得拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當(dāng)x＝75時(shí)，y＝36，從而可知他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)．
【小問1詳解】
解：∵起跳臺(tái)的高度OA為66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案為：66；
【小問2詳解】
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h為21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，
∴當(dāng)x＝75時(shí)，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案為：b＞；
小問3詳解】
解：他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)，理由如下：
∵運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，
∴拋物線的頂點(diǎn)為（25，76），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，
當(dāng)x＝75時(shí)，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
六、解答題（本大題共12分）
23. 問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與重合時(shí)，重疊部分的面積為__________；當(dāng)與垂直時(shí)，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與S的關(guān)系為__________；
（2）類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．
①如圖2，當(dāng)時(shí)，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；
②如圖3，當(dāng)時(shí)，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；
（3）拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處，該銳角記為（設(shè)），將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請(qǐng)直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示），
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）1,1，
（2）①是等邊三角形，理由見解析；②
（3）
【解析】
【分析】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，OE與OC重合，此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）①結(jié)論：△OMN是等邊三角形．證明OM=ON，可得結(jié)論；
②如圖3中，連接OC，過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．證明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解決問題；
（3）如圖4-1中，過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，當(dāng)BM=CN時(shí)，△OMN的面積最小，即S2最?。鐖D4-2中，當(dāng)CM=CN時(shí)，S2最大．分別求解即可．
【小問1詳解】
如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，OE與OC重合，此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；
當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；
一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．
理由：如圖1中，設(shè)OF交AB于點(diǎn)J，OE交BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N．

∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM=ON，
∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，
∴四邊形OMBN是矩形，
∵OM=ON，
∴四邊形OMBN是正方形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOJ=∠NOK，
∵∠OMJ=∠ONK=90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ=S△ONK，
∴S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD，
∴S1=S．
故答案為：1，1，S1=S．
【小問2詳解】
①如圖2中，結(jié)論：△OMN是等邊三角形．

理由：過點(diǎn)O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT=CT，
∵BM=CN，
∴MT=TN，
∵OT⊥MN，
∴OM=ON，
∵∠MON=60°，
∴△MON是等邊三角形；
②如圖3中，連接OC，過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．

∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM=∠CON=30°，
∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM=90°-75°=15°，
∵BJ=JC=OJ=1，
∴JM=OJ?tan15°=2-，
∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1，
∴S四邊形OMCN=2××CM×OJ=-1．
【小問3詳解】
如圖，將沿翻折得到，則，此時(shí)則當(dāng)在上時(shí)，比四邊形的面積小，

設(shè)，則當(dāng)最大時(shí)，最小，
，即時(shí)，最大，
此時(shí)垂直平分，即，則
如圖4-1中，過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，

，
BM=CN
當(dāng)BM=CN時(shí)，△OMN的面積最小，即S2最?。?br /> 在Rt△MOQ中，MQ=OQ?tan=tan，
∴MN=2MQ=2tan，
∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．
如圖4-2中，同理可得，當(dāng)CM=CN時(shí)，S2最大．


則△COM≌△CON，
∴∠COM=，
∵∠COQ=45°，
∴∠MOQ=45°-，
QM=OQ?tan（45°-）=tan（45°-），
∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-），
∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．

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