?江西省2022年初中學業(yè)水平考試
數(shù)學試題卷
說明：
1.全卷滿分120分，考試時間120分鐘．
2.請將答案寫在答題卡上，否則不給分．
一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1. 下列各數(shù)中，負數(shù)是（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
【答案】A
【】
【分析】根據(jù)負數(shù)的定義即可得出答案．
【詳解】解：-1是負數(shù)，2，是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，
故選：A．
【點睛】本題考查了實數(shù)，掌握在正數(shù)前面添加“-”得到負數(shù)是解題的關鍵．
2. 實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論中，正確的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【】
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的特點，進行判斷即可．
【詳解】ABC.根據(jù)數(shù)軸上點a、b的位置可知，，，
∴，故AB錯誤，C正確；
根據(jù)數(shù)軸上點a、b的位置可知，，故D錯誤．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上點的特點，熟練掌握數(shù)軸上點表示的數(shù)，越向右越大，是解題的關鍵．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【】
【分析】利用同底數(shù)冪的乘法，去括號法則，單項式乘多項式，完全平方公式對各選項依次判斷即可．
【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；
B、，故此選項符合題意；
C、，故此選項不符合題意；
D、，故此選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，涉及到同底數(shù)冪的乘法，去括號法則，單項式乘多項式的運算法則，完全平方公式等知識．熟練掌握各運算法則和的應用是解題的關鍵．
4. 將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（ ）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
【】
【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．
【詳解】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，
第2個圖中H的個數(shù)為4+2，
第3個圖中H的個數(shù)為4+2×2，
第4個圖中H的個數(shù)為4+2×3=10，
故選：B．
【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關鍵．
5. 如圖是四個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【】
【分析】從上面觀察該幾何體得到一個“T”字形的平面圖形，橫著兩個正方形，中間有一個正方形，且有兩條垂直的虛線，下方有半個正方形．畫出圖形即可．
【詳解】俯視圖如圖所示．

故選：A．
【點睛】本題主要考查了幾何體的三視圖，俯視圖是從上面觀察幾何體得出的平面圖形．.注意：能看到的線用實線，看不到而存在的線用虛線．
6. 甲、乙兩種物質的溶解度與溫度之間的對應關系如圖所示，則下列說法中，錯誤的是（ ）

A. 甲、乙兩種物質的溶解度均隨著溫度的升高而增大
B. 當溫度升高至時，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 當溫度為時，甲、乙的溶解度都小于
D. 當溫度為時，甲、乙的溶解度相等
【答案】D
【】
【分析】利用函數(shù)圖象的意義可得答案．
【詳解】解：由圖象可知，A、B、C都正確，
當溫度為t1時，甲、乙的溶解度都為30g，故D錯誤，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，熟練掌握橫縱坐標表示的意義是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 因式分解：__________．
【答案】
【】
【分析】直接提公因式a即可．
【詳解】解：原式=.
故答案為：.
【點睛】此題主要考查了提公因式法分解因式，關鍵是正確確定公因式．
8. 正五邊形的外角和等于 _______?．
【答案】360
【】
【詳解】試題分析：任何n邊形的外角和都等于360度.
考點：多邊形的外角和.

9. 已知關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是______．
【答案】1
【】
【分析】由一元二次方程根的判別式列方程可得答案．
【詳解】解：一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
可得判別式，
∴，
解得：．
故答案為：
【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關鍵．
10. 甲、乙兩人在社區(qū)進行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人所用時間與乙采樣140人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設甲每小時采樣x人，則可列分式方程為__________．
【答案】
【】
【分析】先表示乙每小時采樣（x-10）人，進而得出甲采樣160人和乙采樣140人所用的時間，再根據(jù)時間相等列出方程即可．
【詳解】根據(jù)題意可知乙每小時采樣（x-10）人，根據(jù)題意，得
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了列分式方程，確定等量關系是列方程的關鍵．
11. 沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為__________．

【答案】
【】
【分析】根據(jù)圖形可得長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，然后利用勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，
∴根據(jù)勾股定理可知，長方形的對角線長：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，七巧板，矩形的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是所拼成的正方形的特點確定長方形的長與寬．
12. 已知點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在x軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則的長為__________．


【答案】5或或
【】
【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可．
【詳解】解：①當AO=AB時，AB=5；
②當AB=BO時，AB=5；
③當OA=OB時，則OB=5，B（5，0），
設A（a，）（a>0），
∵OA=5，
∴，
解得：，，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
綜上所述，AB的長為5或或．
故答案為：5或或．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，考查分類討論的思想，當時，求出點的坐標是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計算：；
（2）解不等式組：
【答案】（1）3；（2）1＜x＜3
【】
【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質，算術平方根的意義，零指數(shù)冪的意義解答即可；
（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】（1）原式=2+2-1，
=3．
（2）
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式組的解集為：1＜x＜3．
【點睛】本題考查是實數(shù)的運算和解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
14. 以下是某同學化筒分式的部分運算過程：
解：原式①
②
③
…
解：

（1）上面的運算過程中第__________步出現(xiàn)了錯誤；
（2）請你寫出完整的解答過程．
【答案】（1）③ （2）見
【】
【分析】根據(jù)分式的運算法則：先乘方，再加減，最后乘除，有括號先算括號里面的計算即可．
【小問1詳解】
第③步出現(xiàn)錯誤，原因是分子相減時未變號，
故答案為：③；
【小問2詳解】
解：原式＝




【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解決本題的關鍵．
15. 某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機抽取的方式確定人選．
（1）“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；
A．不可能 B．必然 C．隨機
（2）若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都是共產(chǎn)黨員的概率．
【答案】（1）C （2）
【】
【分析】（1）根據(jù)隨機事件的定義即可解決問題；
（2）從甲、乙、丙、丁名護士積極報名參加，設甲是共青團員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示，從這4名護士中隨機抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結果共有12種，然后利用樹狀圖即可解決問題．
【小問1詳解】
解：“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是隨機事件；
故答案為：C；
【小問2詳解】
從甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，設甲 是共青團員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表 示．從這4名護士中隨機抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結果共有12種，如圖所示：

它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結果中，被抽到的 兩名護士都是共產(chǎn)黨員的（記為事件A)的結果有6 種，則，
則被抽到的兩名護士都是共產(chǎn)黨員的概率為．
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，隨機事件．解決本題的關鍵是掌握列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
16. 如圖是的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

（1）在圖1中作的角平分線；
（2）在圖2中過點作一條直線，使點，到直線的距離相等．
【答案】（1）作圖見部分
（2）作圖見部分
【】
【分析】（1）連接，，與交于點，作射線即可；
（2）取格點，過點和點作直線即可．
【小問1詳解】
解：如圖1，連接、，與交于點，設小正方形的邊長為1個單位，
∵線段和是矩形的兩條對角線且交于點，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射線即為所作；
【小問2詳解】
如圖2，連接、、、，直線經(jīng)過點和點，設小正方形的邊長為1個單位，
∴，，
，，
∴，
∴四邊形是菱形，
又∵，，，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，，且，
∴直線即為所作．

【點睛】本題考查作圖一應用與設計作圖，考查了等腰三角形三線合一的性質，矩形的性質，正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識．解題的關鍵是理解題意，學會利用數(shù)形結合的思想解決問題．
17. 如圖，四邊形為菱形，點E在的延長線上，．

（1）求證：；
（2）當時，求的長．
【答案】（1）見 （2）AE=9
【】
【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得出，，根據(jù)平行線的性質和等邊對等角，結合，得出，即可證明結論；
（2）根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)進行計算，即可得出AE的值．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
小問2詳解】
∵，
∴，
即，
解得：．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形相似的判定和性質，根據(jù)題意得出，是解題關鍵．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，點B在y軸上，，將線段向右下方平移，得到線段，此時點C落在反比例函數(shù)的圖象上，點D落在x軸正半軸上，且．

（1）點B的坐標為__________，點D的坐標為__________，點C的坐標為__________（用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直線的表達式．
【答案】（1）（0，2），（1，0），（m＋1，2）
（2）1；y＝-2x＋6
【】
【分析】（1）根據(jù)OB＝2可得點B的坐標，根據(jù)OD＝1可得點D的坐標為（1，0），由平移規(guī)律可得點C的坐標；
（2）根據(jù)點C和D的坐標列方程可得m的值，從而得k的值，再利用待定系數(shù)法可得直線AC的式．
【小問1詳解】
∵點B在y軸上，，
∴B（0，2），
∵點D落在x軸正半軸上，且
∴D（1，0），
∴線段AB向下平移2個單位，再向右平移1個單位，得到線段CD，
∵點A（m，4），
∴C（m＋1，2），
故答案為：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
【小問2詳解】
∵點A和點C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
設直線AC的表達式為：，
∴ 解得，
∴直線AC的表達式為：y＝-2x＋6．
【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應用以及平移的性質，根據(jù)OB和OD的長得出平移的規(guī)律是解題關鍵．
19. （1）課本再現(xiàn)：在中，是所對圓心角，是所對的圓周角，我們在數(shù)學課上探索兩者之間的關系時，要根據(jù)圓心O與的位置關系進行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關系中任選一種情況證明；
（2）知識應用：如圖4，若的半徑為2，分別與相切于點A，B，，求的長．

【答案】（1）見；（2）
【】
【分析】（1）①如圖2，當點O在∠ACB的內部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質和等腰三角形的性質可得結論；②如圖3，當O在∠ACB的外部時，作直徑CD，同理可理結論；
（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結論可得∠AOB=120°，由切線的性質可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，從而得PA的長．
【詳解】解：（1）①如圖2，連接CO，并延長CO交⊙O于點D，

∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB；
如圖3，連接CO，并延長CO交⊙O于點D，

∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB；
（2）如圖4，連接OA，OB，OP，

∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，
∵OA=2，
∴OP=2OA=4，
∴PA=
【點睛】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識，掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關鍵．
20. 圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點在同一直線上，測得．（結果保留小數(shù)點后一位）

（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）求雕塑的高（即點G到的距離）．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）見 （2）雕塑的高為7.5m，詳見
【】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結論；
（2）過點G作GP⊥AB于P，計算AG的長，利用 ∠A的正弦可得結論．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴ ∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四邊形DEFG為平行四邊形；
【小問2詳解】
如圖，過點G作GP⊥AB于P，
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
在Rt△APG中，sinA= ，
∴=0.96，
∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高為7.5m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，正確作輔助線構建直角三角形解決問題．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 在“雙減”政策實施兩個月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學生，就“‘雙減’前后參加校外學科補習班的情況”進行了一次隨機問卷調查（以下將“參加校外學科補習班”簡稱“報班”），根據(jù)問卷提交時間的不同，把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進行整理，分別得到統(tǒng)計表1和統(tǒng)計圖1：
整理描述
表1：“雙減”前后報班情況統(tǒng)計表（第一組）

0
1
2
3
4及以上
合計
“雙減”前
102
48
75
51
24
m
“雙減”后
255
15
24
n
0
m

（1）根據(jù)表1，m的值為__________，的值為__________；
（2）分析處理：請你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報班數(shù)為3的學生人數(shù)所占的百分比；
（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報班情況的折線統(tǒng)計圖（如圖2）．請依據(jù)以上圖表中的信息回答以下問題：
①本次調查中，“雙減”前學生報班個數(shù)的中位數(shù)為__________，“雙減”后學生報班個數(shù)的眾數(shù)為__________；
②請對該市城區(qū)學生“雙減”前后報班個數(shù)變化情況作出對比分析（用一句話來概括）．
【答案】（1）300；
（2）見；
（3）①1；0；②見
【】
【分析】（1）將表1中“雙減前”各個數(shù)據(jù)求和確定m的值，然后再計算求得n值，從而求解；
（2）通過匯總表1和圖1求得“雙減后”報班數(shù)為3的學生人數(shù)，從而求解百分比；
（3）①根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念分析求解；②根據(jù)“雙減”政策對學生報班個數(shù)的影響結果角度進行分析說明．
【小問1詳解】
解：由題意得，，解得，
∴，
故答案為：300；
【小問2詳解】
匯總表1和圖1可得：

0
1
2
3
4及以上
總數(shù)
“雙減”前
172
82
118
82
46
500
“雙減”后
423
24
40
12
1
500
∴“雙減”后報班數(shù)為3的學生人數(shù)所占的百分比為；
【小問3詳解】
“雙減”前共調查500個數(shù)據(jù)，從小到大排列后，第250個和第251個數(shù)據(jù)均為1，
∴“雙減”前學生報班個數(shù)的中位數(shù)為1，
“雙減”后學生報班個數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是0，
∴“雙減”后學生報班個數(shù)的眾數(shù)為0，
故答案為：1；0；
②從“雙減”前后學生報班個數(shù)的變化情況說明：“雙減”政策宣傳落實到位，參加校外培訓機構的學生大幅度減少，“雙減”取得了顯著效果．
【點睛】本題考查統(tǒng)計的應用，理解題意，對數(shù)據(jù)進行采集和整理，掌握中位數(shù)和眾數(shù)的概念是解題關鍵．
22. 跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度為，基準點K到起跳臺的水平距離為，高度為（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關系為．

（1）c的值為__________；
（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時，求基準點K的高度h；
②若時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為__________；
（3）若運動員飛行的水平距離為時，恰好達到最大高度，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．
【答案】（1）66 （2）①基準點K高度h為21m；②b＞；
（3）他的落地點能超過K點，理由見．
【】
【分析】（1）根據(jù)起跳臺的高度OA為66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根據(jù)基準點K到起跳臺的水平距離為75m，即得基準點K的高度h為21m；
②運動員落地點要超過K點，即是x＝75時，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，即是拋物線的頂點為（25，76），設拋物線式為y＝a（x﹣25）2+76，可得拋物線式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當x＝75時，y＝36，從而可知他的落地點能超過K點．
【小問1詳解】
解：∵起跳臺的高度OA為66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案為：66；
【小問2詳解】
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基準點K到起跳臺的水平距離為75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基準點K的高度h為21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵運動員落地點要超過K點，
∴當x＝75時，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案為：b＞；
小問3詳解】
解：他的落地點能超過K點，理由如下：
∵運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，
∴拋物線的頂點為（25，76），
設拋物線式為y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴拋物線式為y＝﹣（x﹣25）2+76，
當x＝75時，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地點能超過K點．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實際問題轉化為數(shù)學問題．
六、解答題（本大題共12分）
23. 問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當與重合時，重疊部分的面積為__________；當與垂直時，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積與S的關系為__________；
（2）類比探究：若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉過程中，分別與正方形的邊相交于點M，N．
①如圖2，當時，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；
②如圖3，當時，求重疊部分四邊形的面積（結果保留根號）；
（3）拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為（設），將繞點O逆時針旋轉，在旋轉過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示），
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）1,1，
（2）①是等邊三角形，理由見；②
（3）
【】
【分析】（1）如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當OF與OB重合時，OE與OC重合，此時重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當OF與BC垂直時，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積S1與S的關系為S1=S．利用全等三角形的性質證明即可；
（2）①結論：△OMN是等邊三角形．證明OM=ON，可得結論；
②如圖3中，連接OC，過點O作OJ⊥BC于點J．證明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解決問題；
（3）如圖4-1中，過點O作OQ⊥BC于點Q，當BM=CN時，△OMN的面積最小，即S2最?。鐖D4-2中，當CM=CN時，S2最大．分別求解即可．
【小問1詳解】
如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當OF與OB重合時，OE與OC重合，此時重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；
當OF與BC垂直時，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；
一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積S1與S的關系為S1=S．
理由：如圖1中，設OF交AB于點J，OE交BC于點K，過點O作OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N．

∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM=ON，
∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，
∴四邊形OMBN是矩形，
∵OM=ON，
∴四邊形OMBN是正方形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOJ=∠NOK，
∵∠OMJ=∠ONK=90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ=S△ONK，
∴S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD，
∴S1=S．
故答案為：1，1，S1=S．
【小問2詳解】
①如圖2中，結論：△OMN是等邊三角形．

理由：過點O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT=CT，
∵BM=CN，
∴MT=TN，
∵OT⊥MN，
∴OM=ON，
∵∠MON=60°，
∴△MON是等邊三角形；
②如圖3中，連接OC，過點O作OJ⊥BC于點J．

∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM=∠CON=30°，
∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM=90°-75°=15°，
∵BJ=JC=OJ=1，
∴JM=OJ?tan15°=2-，
∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1，
∴S四邊形OMCN=2××CM×OJ=-1．
【小問3詳解】
如圖，將沿翻折得到，則，此時則當在上時，比四邊形的面積小，

設，則當最大時，最小，
，即時，最大，
此時垂直平分，即，則
如圖4-1中，過點O作OQ⊥BC于點Q，

，
BM=CN
當BM=CN時，△OMN的面積最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ=OQ?tan=tan，
∴MN=2MQ=2tan，
∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．
如圖4-2中，同理可得，當CM=CN時，S2最大．


則△COM≌△CON，
∴∠COM=，
∵∠COQ=45°，
∴∠MOQ=45°-，
QM=OQ?tan（45°-）=tan（45°-），
∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-），
∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，旋轉變換，全等三角形的判定和性質，四邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．

相關試卷

2023年江西省中考數(shù)學真題：

這是一份2023年江西省中考數(shù)學真題，文件包含精品解析江西省中考數(shù)學真題原卷版docx、精品解析江西省中考數(shù)學真題解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共33頁， 歡迎下載使用。

2022年江西省中考數(shù)學真題：

這是一份2022年江西省中考數(shù)學真題，共32頁。

2023年江西省中考數(shù)學真題：

這是一份2023年江西省中考數(shù)學真題，文件包含江西省中考數(shù)學真題解析版docx、江西省中考數(shù)學真題原卷版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共33頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2022北京中考真題數(shù)學（教師版）

2022北京中考真題數(shù)學（教師版）
2022年江西省中考數(shù)學真題（教師版）

2022年江西省中考數(shù)學真題（教師版）
2022年江西省中考數(shù)學真題

2022年江西省中考數(shù)學真題
2022年江西省中考數(shù)學真題

2022年江西省中考數(shù)學真題
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部